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编委会

前言

第1章 激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿

1.1 从第一级到第三级——数学运算步步高

1.2 “在离天很近的地方”——斯蒂费尔的遗憾

1.3 教授与贵族——激情相约爱丁堡

1.4 汗水、智慧加机遇——纳皮尔发明对数

1.5 科学更有力量——天才的遗憾

1.6 承伟业自有来人——从布里格斯到弗拉格

1.7 并非风景这边独好——“杀鸡杀喉”比尔吉

1.8 天文学家延寿一倍——拉普拉斯这样说

1.9 “迟到的爱”——对数在中国

第2章 无处不在的对数——“天地英雄”大显神通

2.1 吹拉弹唱也要讲数学——音乐中的对数

2.2 从希帕恰斯到普森——星星亮度的“对数尺”

2.3 借得贝尔寻规律——噪声的“对数尺”

2.4 里克特的尺子——地震中的对数

2.5 科学家笔下的曲线——实用的对数图

第3章 奇趣就在对数中——从“乌龙”到海难

3.1 2>3——欧拉时代的人自摆乌龙

3.2 对数的奇迹——速算大师、麦粒与金盘

3.3 狄拉克也会疏忽——3个2的奇趣

3.4 错误对数表惹祸——海难、蜜蜂和数学家

第4章 对数的华丽转身——“常用”和“自然”

4.1 以2为底的对数——神通广大，应用广泛

4.2 常用对数——爱你没商量

4.3 自然对数——不只是大自然的选择

4.4 e的又一用武之地——编造对数表

第5章 “王宫”中的漫游——数学殿堂中的e

5.1 关系你的钱包——无处不在复利律

5.2 数学珍宝——e和π的一家亲

5.3 弟弟帮哥哥——e为π开路立功

5.4 e连横合纵之后——3种“桃园三结义”

5.5 定义和纽带——对数积分和指数积分中的e

5.6 悄悄走近数学王子——素数研究中的e

5.7 从麦齐里阿克到陈景润——华林-哥德巴赫猜想中的e

5.8 吉利斯猜想——梅森素数个数中的e

5.9 自然数“切蛋糕”——整数分拆也要e

5.10 对数正态分布——概率计算中的e

5.11 数学的诗歌——三角级数中暗藏的e

5.12 从达·芬奇到伯努利——悬在空中的e

5.13 数学也要轻装上阵——e与微积分

5.14 e书荟萃

第6章 大众情人——走出王宫的e

6.1 物理学的宠儿——从大力士到衰变时钟

6.2 走进化学世界——反应速度和焓变

6.3 生物学和医学——增殖中的e奥秘

6.4 何时牵手“另一半”——相亲中的e

第7章 掀起你的盖头来——e的质和量

7.1 e的性质——从无理数到超越数

7.2 e的定义和符号——是“贵人”也是“打工仔”

7.3 计算e值——从欧拉到亚历山大·伊

第8章 妙趣横生的e——数学界的快乐天使

8.1 数学家的魔术——e的8类表达式

8.2 乘积最大和开方最大——这里e也显神通

8.3 神秘的∞——争论、思考和余味

8.4 不考虑它们的收敛——交错级数的悖论

8.5 是整数吗——加德纳的愚人节玩笑

8.6 “准确”与“奇怪”——e的有趣谜团

探秘数学常数

陈梅　陈仁政　主编

不可思议的自然对数

黎渝　陈梅　著

人民邮电出版社

北京

图书在版编目（CIP）数据

不可思议的自然对数/陈梅，陈仁政主编；黎渝，陈梅著.--北京：人民邮电出版社，2016.4

（探秘数学常数）

ISBN　978-7-115-41571-4

Ⅰ.①不…　Ⅱ.①陈…②陈…③黎…　Ⅲ.①对数—普及读物　Ⅳ.①0122.6-49

中国版本书图书馆CIP数据核字（2016）第036381号

内容提要

你知道凡尔纳小说中的冒牌大力士吗？你想以一己之力赢得与多人拔河的比赛吗？你想掌握牵手“另一半”的最佳时机吗......

本书通俗地介绍了对数的发明、常用对数的诞生以及如何用其来解决实际问题，更多的篇幅则留给了“主角”自然对数：e究竟是一个什么样的数，以e为底的对数为什么叫自然对数，为什么数学家们要用e作为自然对数的底，e为什么以及如何像圆周率π一样在科学中大放异彩？

本书适合广大数学爱好者阅读。

◆主编　陈梅　陈仁政

著　黎渝　陈梅

责任编辑　刘朋

责任印制　彭志环

◆人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164　　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　http://www.ptpress.com.cn

三河市中晟雅豪印务有限公司印刷

◆开本：700×1000　1/16

印张：17

字数：322千字　　2016年4月第1版

印数：1-3000册　　2016年4月河北第一次印刷

定价：39.00元

读者服务热线：(010)81055410　印装质量热线：(010)81055316

反盗版热线：(010)81055315

广告经营许可证：京东工商广字第8052号

编委会

丛书主编 ：陈　梅　　陈仁政

丛书副主编 ：陈仕达　　陈　雪　　黎　渝

本册主编 ：黎　渝　　陈　梅

丛书编委 （以姓氏的汉语拼音为序排列）：

曹明清　　陈出新　　陈　立　　陈　梅　　陈仁政　　陈仁仲　　陈仕达

陈　雪　　方裕强　　傅艳艳　　龚炳文　　郭　春　　郭汉卿　　胡权阳

胡　晓　　江明珍　　匡晓燕　　黎　渝　　李昌敏　　李　骥　　李军红

梁　聪　　梁媛琳　　廖洪波　　刘　伟　　刘　洋　　卢　颖　　丘　雷

钱丹锋　　全　刚　　全建辉　　任治奇　　税康秀　　王　可　　王　奎

王明华　　王　倩　　魏　佳　　席　波　　席　涛　　杨素君　　易　扬

曾君成　　张　静　　周兴国

前言

著名数学家哥德尔18岁进入维也纳大学时学习的是理论物理专业，他常到位于维也纳第九区斯特鲁德尔霍夫大街4号的理论物理研究所四楼的大教室聆听奥地利物理学家蒂林的课。有一次，他参加了德国哲学家、物理学家施里克介绍罗素数论著作的研讨会，由此对数理逻辑产生了浓厚的兴趣。数的吸引力如此之大，竟致哥德尔改换门庭。入校两年后，哥德尔放弃了物理学专业，改学数学。5年以后的1931年，25岁的哥德尔发表了震惊数学界的不完备定理。而在今天，用他的姓氏命名的哥德尔奖从1993年起每年都在颁发。

提到数学，我们自然无法回避数学常数。最著名的数学常数当属圆周率π、黄金分割数φ和自然对数的底 e。以色列数学史家马奥尔在《无穷之旅——关于无穷大的文化史》一书中称它们为“3个著名的无理数”。在美国加州谷歌公司总部的4座办公大楼中，有3座是以这3个数学符号命名的。当然，数学中重要的常数远不止于此。

数学常数是古老而又年轻的数论的重要组成部分。虽然截至目前已经取得了许多重大数论研究成果，但是还有不少谜团让人看朱成碧，不辨五色。正如日本著名数学家弥永昌吉所说，数论的“大部分仍然笼罩在神奇的面纱之下”。因此，需要我们继续不断探索。“苔花如米小，也学牡丹开。”本丛书作者虽然明知力所不逮，但凭借着对数学常数的浓厚兴趣，自 1982年开始，断续经过33年的努力，终于编写成了这套系统介绍数学常数的普及读物。这套书包括《说不尽的圆周率》《不可思议的自然对数》《奥妙无穷的黄金分割》《妙趣横生的数学常数》。

虽然目前国内外出版了一些介绍上述三大数学常数的图书，但总体来说不够系统全面，许多有趣的知识没有罗列其中。本套图书希望能在以下方面做出有益探索。

首先，本套图书以π、φ、e等主要的数学常数为主线，但又不限于此，内容涵盖重要数学概念和数学思想的形成、著名公式和定理的证明以及它们在各学科和生活中的应用。单是书中涉及的数学家以及相关的科学家、哲学家等就有2000多位，读者可以从书中了解这些著名人物在数学研究中的探索历程、所取得的重要成果以及逸闻趣事。

其次，本套图书在化繁为简、深入浅出方面进行了积极的尝试，力求消除“数学是可怕的学科”这样的误解，把“可怕”变为“可爱”，让读者充分感受到数学之真、之美、之乐、之用，感受到数学的魅力。中国数学家张景中在其所著的《数学与哲学》一书开篇就指出：“联系数学的发展历史学习数学哲学，有趣又有效。”在编写过程中，作者也尽力将数学史和科学史内容融入书中，从而梳理出重要数学思想和数学定理的发展脉络，以及著名数学难题的求解历程。读者感受到的将不再是仅以定理、证明、计算面孔出现的枯燥乏味的脑力训练，而将看到一个有血有肉、充满活力与无限乐趣的新形象。

再次，知识驱动着人类文明的发展，数学作为我们理解和探索科学以及世界的重要工具发挥了重要作用。知识的获取过程是艰辛的，但也充满着乐趣，数学更是如此。本套图书在介绍数学知识之外，更加注重表现数学家的优秀品质以及探索精神，希望读者在享用前人所留下的宝贵精神财富的同时能有一些感触或感悟。

除了作者团队的协作与努力之外，许多专家、学者、朋友及相关人士也为本套图书的编写与出版给与了帮助。在此感谢张景中、李敏、郭书春、宁挺、梁宗巨、张奠宙、査有良、吴振奎、丘和、曾润生、王青建、邹大海、彭定才、潘宁、邓文华、陈文伟、贾小勇、吴至友、罗明、安克·毛雷尔等。由于篇幅所限，还有不少人士的姓名在此未能提及，一并表示感谢。

限于作者的陋见，书中难免存在疏漏与不当之处，请读者批评指正。

爱因斯坦说：“不要担心你在数学上遇到的困难，我敢保证我遇到的困难比你大得多。”让我们以此共勉，并慢慢爱上有趣又好玩的数学吧。

编者

第1章 激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿

在能够对科学做出贡献的所有因素中，观念的冲破是最伟大的。

——英国物理学家约瑟夫·约翰·汤姆森

“混沌初分盘古先，太极两仪四象悬……”

很有可能，人类茹毛饮血的年代就有了数学，那我们就从数学运算谈起。

1.1 从第一级到第三级——数学运算步步高

山洞口坐着一个盲目的老人，他的眼睛是被奥德修斯刺瞎的。

这个不幸的老人就是独眼巨人波吕斐摩斯。他每天只有一件事：照料他的羊群。

早晨，母羊外出吃草，每出去一只，他就从石子堆中捡起一颗石子。

傍晚，母羊归来，每回来一只，他就扔下一颗石子。当把早晨捡起的石子全部扔光的时候，他就知道全部母羊已经返洞归家。显然，他用的是“一一对应”的计（记）数方法——“匹配法”。

这是公元前八九世纪古希腊著名盲诗人荷马写在《荷马史诗·奥德赛》中的故事。奥德修斯是《奥德赛》（奥德赛的意思是长期冒险旅行）中的主角，他和波吕斐摩斯都是希腊神话中的人物。

荷马

匹配法计数（事）的另一表现是大家熟悉的“结绳计数（事）”。

但是，用匹配法计数，既不能解决有多少只羊的问题，也不能解决一群羊增加或减少几只之后还有多少只羊的问题。于是自然数（本书所说的自然数从 1 开始）计数的方法应运而生，它解决了前一个问题。数的加法和减法也发明出来了，它解决了后一个问题。

秘鲁邮票：结绳计数的实物标本

埃及邮票：右侧画面为结绳记事

卢旺达邮票：印加信使传递计数结绳

当然，我们知道，加法和减法不但有数的加法和减法，而且包括集合的加法和减法。

用手指计算1+1=2，1971年5月15日尼加拉瓜发行的10枚邮票之一

“哲学就记载在我们一直都能看到的这本“巨著’（我指的是宇宙）之中，但必须先理解其语言和符号才能领会。”意大利科学家伽利略于1623年10月在罗马出版的科学著作《试金者》中说，“它是用数学语言记载的，使用的符号是三角形、圆和其他几何图形，没有这些，人类就对它一无所知。”伽利略在这里所说的“哲学”，当时是指物理学，实际也包含自然科学。这样，我们在下面叙述数学运算时就必须研究符号。

在人类最古老的文字中就有用符号表示的第一级运算——加法和减法。例如，在古埃及的《艾哈麦斯纸（莎）草书》，也就是《兰德纸草书》中，就有了加法和减法的符号。艾哈麦斯是大约公元前 20 世纪（或公元前 17～16 世纪）的埃及祭司和数学家。他的加号“ ”是向右走的两条腿，他的减号“ ”是向左走的两条腿。到了15世纪，法国数学家丘凯在1484年发表的论文《数的科学》，意大利数学家帕奇奥里在1494年出版的图书《算术、几何、比与比例集成》中，都用p或p表示加号——源于拉丁语plus（加）的第一个字母，用m或 m 表示减号——源于拉丁语 minus（减）的第一个字母。16世纪的许多数学家都是这样用的。

维德曼第一次使用加号和减号

今天通用的加号“+”和减号“−”，由15世纪最后20年内的一位德国仓库管理员最早使用，他用“+”和“−”分别表示包装箱比标准的“重”或者“轻”。在德国德累斯顿城图书馆保存着 1486年写的手稿卷 C·80，其中就有这两个符号。而最早（1489年）在印刷的算术书《奇妙的商业速算法》（在莱比锡出版）中使用它们的，则是出生在捷克的德国数学家维德曼，但他没有用来表示数学运算，而是分别代表“过剩”和“不足”。1514年，荷兰数学家赫克最早在安特卫普出版的著作（Een sonderlinghe boeck in dye edel conste Arithmetica）中，用“+”和“−”来表示数学运算，但可能在他之前就有人这样用了。接着，英国数学家雷科德于1557年出版了《砺志石》一书，用到了“+”和“−”，从此这两个符号在才开始在英格兰得到普遍使用。不过，当今的“+”和“−”除了是运算符号之外，也是性质符号（例如“+3”和“-3”分别表示3的正负性质），还是关系符号［例如在“3=-（-3）”中，前一个“−”表示3和（-3）的相反数关系］。

1690年，大名鼎鼎的德国数学家莱布尼茨还发明了一个概念加号“⊕”。它和概念减号“ —”或“-”表示逻辑概念演算和逆运算。在内涵方面，A⊕B表示既A且B的那个性质；在外延方面，A⊕B表示属于A或属于B的那个类。

但是，在遇到“连加”或“连减”的时候，加法或减法的效率就低了。于是第二级运算乘法和除法以及乘号和除号应运而生了。

古中国、古希腊、古印度都没有使用乘号，而是用两个数并列表示相乘。最早用字母表示相乘的是德国数学家斯蒂费尔，他在1545年出版的一本算术书中用大写的德文字母M表示相乘，这一方法被荷兰数学家斯蒂文在1634年出版的书中沿用。例如，斯蒂文用“3①M sec①M ter②”（其中的sec和ter分别表示第二个与第三个未知数）表示现在的3xyz^2 。

在西方，“×”被称为和数学毫无关系的“圣安德鲁斜十字”。圣安德鲁是耶稣的十二门徒之一，由于他被钉在斜十字架上处死，所以斜十字也叫圣安德鲁斜十字。英国数学家奥特雷德首先在1631年出版的《数学指南》（又译《数学之钥》）一书中使用了现代意义上的“×”。他认为“×”由“+”旋转 45°而成，是另一种表示增加的符号。把“×”作为乘号，既表示了乘法与加法的关系，又表示了相乘的方法，实在妙不可言。这位原来是牧师的奥特雷德后来虽然当了主教，但仍痴迷于数学研究，每天只睡两三个小时。

雅格布·伯努利

用小圆点“· ”表示乘号，是为了避免乘号“×”与字母“X”或“x”混淆。它的发明者是怕引起这种混淆而反对使用“×”作为乘号的莱布尼茨。他在 1698年 7月 29日给瑞士数学家雅格布·伯努利（即詹姆斯·伯努利）的一封信中，首先使用“· ”表示乘号。但是，用“· ”表示乘号引出了新的麻烦——它容易和小数点“.”混淆。于是，又有人建议用逗号“，”代替“· ”，但没有被大家接受。

不过，有时“· ”和“×”的含义是不同的，例如，在向量代数中，a·b表示a和b的点积，也就是数量积或标量积、内积；而a×b表示a和b的（交）叉积，也就是矢量积或向量积、外积。

现在，在中国用“×”或“· ”都符合规范，通常在字母前或括号前可以略去。而欧洲大陆派（例如德国、法国、俄罗斯）规定用“· ”表示乘号，其他国家则用“×”表示乘号。

中国香港发行哥伦比亚发行纪念发明四则运算的邮票

德国数学家斯蒂费尔在1544年出版的《算术集成》一书中用“）”或“（）”表示相除。例如，用“8）24”或“8（）24”表示今天的8÷24。他还在1545年出版的一本算术书中用大写的德文字母 D 表示相除，也被荷兰数学家斯蒂文在1634年出版的书中沿用。

莱布尼茨

莱布尼茨也是一种除号“︰”的发明者之一。他是在1666年的论文《组合艺术的历史》中用“︰”作为除号的，这种方式至今仍在使用。当然，此前的奥特雷德也在1631年使用过“︰”，但没有被推广。莱布尼茨不但是微积分的发明者之一，而且也是一位数学符号大师。我们知道，他发明的几乎所有的微积分符号，我们至今还在使用。1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中用横分数线代表除号（例如 ）。不过，在斐波那契之前（即约12世纪），生活在摩洛哥的阿拉伯人阿尔-海塞尔是最早使用横分数线的数学家。他曾用“外形”复杂的 来表示现在的 。由此可见，现在我们得心应手地使用的横分数线在历史上却是那么“难产”。另一个实例是，直到1530年，在国外最早建立分数加法运算的德国数学家克里斯托 夫·鲁道夫还“傻傻地”把 写成我们“搞不懂”的 。用斜分数线代替横分数线（例如用b/a代替 ）利于排版印刷，是出生在印度的英国数学家奥古斯都·德·摩根在1845年发表的论文《函数计算》中的主张。

今天用的除号“÷”被称为“雷恩记号”。它是由瑞士数学家雷恩于1659年在苏黎世出版的《代数》一书中正式首先采用的。为什么雷恩要用“÷”作为除法的运算符号呢？原来，他把阿拉伯人表示除法的符号“/”与奥特雷德的“︰”合而为一：将“/”变成“-”，把“︰”的两个小圆点分开。随着1668年这本书被英国数学家佩尔译为英文，“÷”逐渐通用。

雷恩和他的《代数》一角

第二级运算已经进步了，但是人们发现在“连乘”或“连除”的时候还需要第三级运算——乘方、开方和对数。

我们知道，乘方有开方和对数两种逆运算，而加法和乘法分别只有减法和除法各一种逆运算，这是第三级运算和第一、第二级运算的不同之一。

1484年，法国数学家丘凯使用了与现代指数符号比较接近的负数指数和零指数符号。到了1634年，法国数学家、天文学家赫里冈用a，a2，a3，…分别表示a^1 ，a^2 ，a^3 ，…。赫里冈还是当今还在使用的许多数学符号（例如小于符号“＜”、垂直符号“⊥”——来自颠倒的“T”）的首创者。而现在用的乘方中的指数符号源自苏格兰数学家休姆。他于1636年居住在巴黎的时候就用小的罗马数字放在字母的右上角表示指数，例如用Aiii 表示A^3 。1637年，法国数学家笛卡儿完成了现代乘方中的指数符号——在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。但是，笛卡儿的指数只是正整数，而法国数学家奥雷斯姆则在14世纪最早使用分数指数。在接下来的16～17世纪，荷兰数学家斯蒂文、英国数学家沃利斯等也先后使用或提到过分数指数和负数指数。现行的分数指数符号和负数指数符号则出自牛顿之手。1676年6月13日，他在写给生于德国的英国皇家学会秘书奥尔登伯格转给莱布尼兹的信中创设了这些指数符号。

虚数指数的发明者，是一位最先使用虚数的意大利业余数学家法格纳诺。他的时候就用了虚数指数。1679年，莱布尼兹在一在 1719年将 π 定义为 2i ln封写给荷兰数学家、物理学家惠更斯的信里，在一个方程中引入了可变的指数。

1525年，德国数学家鲁道夫用的平方根符号是“√”。在《莫斯科纸草书》中也用了这样的平方根符号。

有人（例如瑞士数学家欧拉）说，“ ”来自于和它形状相像的字母r，其根源是拉丁文“radix”的第一个字母。“radix”的意思是“根”或“平方根”，可用首尾两个字母合并成“ ”——一个最早出现在由阿拉伯文本（9～10世纪）译成拉丁文的《几何原本》（约1120年，译者是英国数学家阿德拉德，原作者为欧几里得）第10卷中的平方根号。后来，从12世纪到17世纪之间，包括意大利的斐波那契、帕奇奥里、塔尔塔里亚等在内的不少数学家都用“ ”作为平方根的符号。“√”的优点是在计算机文件中或排版印刷时不会增大行距，所以至今有的电子文件还在使用，例如用“√3”表示“ ”。历史上最早使用“ ”的是笛卡儿， 。《几何学》是他在1637年出他在第一版的《几何学》第229页用到了版的哲学巨著《方法论》的附录。在历经无数次变革之后，现代方立方根符号“ ”由法国数学家卢贝尔于1732年首先使用在 中之后才逐渐流行，并推广到各次方根。

随着乘方运算的出现，指数函数也出现了。数学家们用“exp”或“Exp”表示以e为底的指数函数。例如，有时用“expx”表示指数函数“ex ”。

可以想象，乘方的一种逆运算开方的诞生是“顺理成章”的。可是，乘方的另一种逆运算对数的出生就有些“难产”了。

1.2 “在离天很近的地方”——斯蒂费尔的遗憾

“1533年10月3日（一说19日）8时是基督教的世界末日！”1532年，一个人在匿名出版的书《基督末日的算术书：启示录中的启示》中这样预言。他还在1533年新年晚上把他的这个“计算”告诉给德国一个小地方洛豪（今安娜堡）的教会。

听了他的宣传，他的追随者要么不再种地，要么毁掉或消耗掉所有的财物，惶惶不安地等待着这一天的来临。但是，“世界末日”并没有如期而至。由于这一蛊惑人心的言论和传播，他被当局投入监狱。

斯蒂费尔

这则趣闻轶事的主角——“他”，就是德国数学家斯蒂费尔。

斯蒂费尔是德国厄斯林根地区的新教牧师，后来又在著名的哥尼斯堡大学里担任神学和数学讲师，以及耶拿大学的数学教授。

作为数学教授，斯蒂费尔当然懂得一一对应的方法，于是就在1544年写了一本名叫“整数的算术”的书。在这本书中，他就几乎用这种方法建造了一座数学丰碑。

斯蒂费尔在书中欣喜地写道：“关于整数的这些奇妙性质，可以写成整本整本的书……”那么，斯蒂费尔发现了整数的什么“奇妙性质”，使他这样惊喜万分呢？我们还是先来看看他在书中的两个数列吧。

容易看出，下表的上一列是一个通项公式为2n （n为整数）的等比数列，他称之为“原数”。下一列是一个整数构成的等差数列，他称之为与原数对应的“代表人物”（德文“Exponent”或“exponent”），也可翻译成“代表者”，而我们把它叫作“代言人”。

斯蒂费尔书中的两个数列

斯蒂费尔发现，如果要计算16×128的话，可以用下面的巧妙方法。

先找到16的代言人4，再找到128的代言人7，然后把4和7相加，就得到了16×128的新代言人11，最后找到11对应的新数2048。这个2048就是16×128的答案。

如果把斯蒂费尔的方法用今天的数学语言来表示，就是这样一个对应关系：

m × n=mn

↓ ↓ ↓ ↓

lbm+lbn=lb（m+n）

真是美妙极了，计算乘法变成了计算比乘法更简单的加法！对此，当然我们很容易理解，因为xa ×xb =xa+b 。所以，上表实际上是底数为2的最原始的对数表。

美妙的感觉还没有完，用它们还可以做除法哩！

举例来说吧，在计算 2048÷128 的时候，只要用它们各自的代言人 11 和 7相减，就得到新代言人4，再由4找到对应的新原数16就是答案。当然，我们知道，这是因为xa /xb =xa−b 。

一句话说完，利用这两个数列，就可以把较复杂的乘除法变成加减法。大致同时，法国数学家丘凯也意识到这一点。

对于我们来说，斯蒂费尔的这个结论已经没有什么神奇之处，因为一眼就能看出，斯蒂费尔的代言人就是原数以2为底的对数，例如lb 64=6，等等。这里的“lb”是“log_2 ”的规范简写。

我们还可以看出，斯蒂费尔实际上已经掌握了对数运算法则：lb（M×N）=lb M+lb N，以及lb（M/N）=lb M−lb N。

遗憾的是，在斯蒂费尔的时代，还没有分数指数的概念。那么，不是数列中的数要进行运算（例如17×127和2049÷257）时又该怎么办呢？它们没有代言人呀！这一连串问题把斯蒂费尔弄得焦头烂额，不知“云横秦岭家何在”。他只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究。”从此就“雪拥蓝关马不前”，把它搁到一边。

当然，斯蒂费尔也不是全然无功，他用的代言人这个词后来被数学界正式采用，就是我们现在说的“指数（函数）”Exp或exp。而且，他还把这种对应关系推广到负指数、分指数的情形。

阿基米德

“在离天很近的地方，总有一双眼睛在守望。”这是中国歌曲《神奇的九寨》中的一句。可惜的是，斯蒂费尔在离天那么近的地方，却没能望见那并非浮云的“神马”，让已经走到发明“天堂”边缘上的脚缩了回去，把机会留给比他更具慧眼的来者（见1.3节）——苏格兰数学家约翰·纳皮尔。

不过，斯蒂费尔也不必懊悔。因为在他之前近两千年，比他更光辉夺目的科学巨匠、古希腊数学家阿基米德虽然也注意到了类似关系的两个数列（见右表），但也不知道在高远的云端还有对数那如花似玉般的容颜！

这样，阿基米德，特别是斯蒂费尔的前驱性工作成了下面要说的纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。

1.3 教授与贵族——激情相约爱丁堡

1．“站在巨人肩上”的对数

弹指一挥间，斯蒂费尔之后半个世纪过去了。阿基米德、斯蒂费尔的前驱性工作，在大约1594年开始绽花结果。经过多年的潜心研究，苏格兰数学家、物理学家和天文学家约翰·纳皮尔男爵站在这些巨人的“肩膀”上，发明了对数，也成了“巨人”。

《奇妙的对数定律说明书》

在大约努力了 20年以后的 1614年 6月，居住在豪华庄园梅尔契斯顿堡（现在是纳皮尔大学的一部分）的贵族约翰·纳皮尔，在苏格兰首府爱丁堡用拉丁文出版了大作《奇妙的对数定律说明书》。这本书是如此著名，以致许多科学文献都必须提到它，于是也就有了许多译名或缩略译名，如《关于奇妙的对数法则的说明》《论对数的奇妙性》《奇妙的对数》《论述对数的奇迹》《惊人的对数规则》《奇妙的对数表的描述》等。

这本有200余页（含37页的解释和90页的对数表）的书公布了纳皮尔发明的对数的一些详情和他编制的间隔为1′的7位（一说8位）正弦对数表（世界上第一个三角函数的对数表），以及对数的性质、对数表的说明、使用规则和实例。后来，各种各样的对数表已经超过500种，但随着20世纪下半叶袖珍计算器的广泛使用而退出了历史舞台，甚至一些著名的数学手册已经删去了对数表。

纳皮尔发明对数的消息很快就传开了，像晴天霹雳那样震惊了当时的伦敦数学界。拉丁文《奇妙的对数定律说明书》的第一个英文译本，由塞缪尔·赖特和布里格斯补充后，于1616年在伦敦出版。翻译者是此前一年 11月下旬谢世的塞缪尔·赖特的父亲、数学家和设备制造者爱德华·赖特。

《奇妙的对数表的构造》

此外，在1619年1月，约翰·纳皮尔的遗作《奇妙的对数表的构造》出版。书中有他在生前承诺的、介绍他构想对数的方法和编造对数表的方法。这本书也是如此吸引来者，于是也有许多其他的译名，如《奇妙对数规则的结构》《做出对数的奇迹》《奇妙的对数定律的构造》。整理、撰写相关著述并出版这本书的人，是纳皮尔与其续弦妻子奇斯霍姆所生的第二个儿子罗伯特· 蒙哥·纳皮尔。

2．教授初访贵族

约翰·纳皮尔在大约1614年发明对数的消息很快就传遍英伦三岛的数学界。

“纳皮尔用他新颖而巧妙的对数使我能够用脑和手来工作。我从未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书了。”一位伦敦的数学教授看到纳皮尔的这一成果后，立即就看出了它的重大价值，他在1615年3月10日给朋友的一封信中写道：“我希望今年夏天就能见到他。因为我从未读过一本能令我更加喜爱、更加惊异的书了。”真是难得的慧眼识英雄。

经过一些通信联系之后，这位数学教授决定移樽就教，与纳皮尔“面对面”。1615年夏天，他不辞劳苦坐马车从伦敦出发，专程到爱丁堡去会见这位他无比崇敬的、天才的苏格兰贵族。

这不是当今四五个小时的火车车程，也没有汽车和飞机，而必须用“马蹄声碎”去踏遍“层山叠嶂，复水纵横”的“千山万水”。

在4天漫长而又崎岖的旅途上，这位数学教授在日记中写道，这个苏格兰人的前额一定很高，因为他头脑发达，否则难以做出如此惊人的发明。

虽然“五月的鲜花”如约美丽绽放，“开遍了原野”，但却好事多磨。由于各种意外事故，数学教授在路上延误了时间。

焦急等待的纳皮尔终于失望了，他向一位朋友抱怨道：“咳！布里格斯教授不会来了吧？”

可就在这时，有人敲门了。“哦！约翰，”纳皮尔欣喜若狂地说，“布里格斯先生今天终于来了！”这位朋友立即下楼冲过去开门，数学教授突然出现在他们的面前。

“相知无远近，万里尚为邻。”这对“海内知己”相拥相抱，在沉默中相互凝视了达一刻钟之久，“让真心的话和开心的泪，在心中流动”！

“阁下，我经历了长途跋涉专程来看望您，就是想要知道究竟是怎样富有聪明才智的头脑才使得您首先想出对于天文学的这一极好的帮助。”接下来，教授说，“阁下，您发现了它，现在看来是很容易的，但是我很奇怪，在此之前为什么没有人能够发现它呢？”

作为贵宾，这位教授在贵族的梅尔契斯顿堡里滞留了一个月之久。

相知无远近

这位专程去访问纳皮尔的数学家，就是伦敦格雷沙姆学院几何学教授、前面提到过的布里格斯。格雷沙姆学院以英国爵士格雷沙姆命名。格雷沙姆是英国皇家交易所的创始人、英国历史上第一位拥有数学教授职称的数学家，出身于诺福克地区的一个富商世家。1537年，他被选为伦敦市长，1579年突然死于中风。遵照他的遗愿，用他的大部分遗产在1596年建立的伦敦第一所高等学府——格雷沙姆学院于1597年正式开校。

格雷沙姆

不过，布里格斯并不是唯一的超级“纳丝”，出色的英国数学家和几何学家马尔已捷足先登，在此之前已慕名前去拜访纳皮尔了。原来，马尔听说布里格斯要来，就抢先到达纳皮尔家，希望能与两位大师来个“爱丁堡三雄会”。前面所说纳皮尔在一位朋友面前抱怨布里格斯可能爽约时听到敲门声后，也就是这位朋友马尔立即下楼去开的门。前面所说的“三位数学家”也就是指他们仨。

以上“爱丁堡三雄会”，当时的英国基督教占星家里利曾有精彩的记载。

这里，有必要交代，怎么一会儿说爱丁堡，一会儿又说梅尔契斯顿堡呢？原来，梅尔契斯顿堡是苏格兰首府爱丁堡附近西南方向的一个小城堡，又译马其顿堡或梅奇斯顿堡。说大方向爱丁堡是因为它知名，说梅尔契斯顿堡是因为它更准确具体。

3．教授和贵族的遗憾

在1615年夏天初访纳皮尔之后的第二年，布里格斯再次踏上去爱丁堡那的旅途。

“和心爱的朋友热情相拥。”没有人会怀疑两个执著的数学家在“第二次握手”时的热忱和议论“对数话题”，也没有人能阻止他们“来年再相邀”。

遗憾的是，天有不测风云。两人约定在1617年夏天第三次在爱丁堡相见，但在这一年前的4月4日，纳皮尔就辞世了，永远不可弥补地“爽约”了。他死后被葬于爱丁堡的圣卡斯伯特教堂。

1.4 汗水、智慧加机遇——纳皮尔发明对数

1．三角函数“变乘除为加减”的启发

那么，约翰·纳皮尔“究竟是怎样富有聪明才智”，才在“没有人能够发现它”的时候发明了对数？

我们知道，对数作为一种计算方法的作用在于把较复杂的乘除运算化为较简单的加减运算。这种化简的原始思想在以下4个三角函数公式中已经初露端倪。

2sinA sinB=cos（A−B）−cos（A+B）

2sinA cosB=sin（A+B）+sin（A−B）

2cosA cosB=cos（A+B）+cos（A−B）

2cosA sinB=sin（A+B）−cos（A−B）

这 4 个公式有时被称为沃纳公式，德国数学家、天文学家沃纳曾用它们简化天文学计算。沃纳也是欧洲最早使用公式2sinA sinB=cos（A−B）−cos（A+B）的人之一。他在1514年完成的手稿《论大圆弧构成的三角形》（现已失传）对三角学的发展具有重要意义。为了纪念沃纳用这些三角公式对简化天文学计算的巨大贡献，月球上的一座陨石坑以他的名字命名。

克拉维乌斯

沃纳

沃纳陨石坑

这4个公式在纳皮尔所处的时代已广为人知。纳皮尔发明对数的思路很可能就是从这些公式出发的，否则很难解释为什么最初他仅用于研究角的正弦的对数。

更直接的“旁证”是，据说法国数学家韦达和德国数学家克拉维乌斯发表了利用三角函数表简化计算的方法，而纳皮尔则从中受到启发，从而发现了对数。

那么，三角函数表是怎样具体使计算简化的呢？我们用一个实例来加以说明。

笔算0.1736×0.9903是比较麻烦的，但是用下面的方法就简便多了。先用三角函数表查得 0.1736=sin10°（本书有时将“=”与“≈”混用），0.9903=cos8°，再由2sinA cosB=sin（A+B）+sin（A−B）就知道：

当然，我们知道，在这个近似计算的结果0.171 95中只有3位有效数字才可靠，因此答案是0.172。

由此可见，我们用三角函数表和三角公式2sinA cosB=sin（A+B）+sin（A−B），通过比较简单的计算，就得到了0.1736×0.9903=0.172。

这种“化乘除为加减”的方法（和工具），当时叫加减术。1589～1590年，苏格兰国王詹姆斯六世，也就是后来成为英格兰国王的詹姆斯一世，率船迎娶丹麦的安妮公主（两人于1589年11月23日在奥斯陆正式结婚），在途中遇到暴风雨，被迫在距离天文学家、数学家第谷·布拉赫的天文台不远处抛锚。此后天气好转时，第谷就向他们介绍了天文台所用的加减术。而随国王这次出行的御医克莱格回国后，在大约1594年造访纳皮尔时，就将加减术告诉了他。

2．纳皮尔“站在巨人肩上”

纳皮尔大约从 1590年（40岁之前）就开始潜心研究对数以简化天文计算，在克莱格告诉他的加减术的启发下，最终给出了对数的如下构想。

右图中给出了一条长度为10^7 的线段AB和一条射线DE，设C和F以同样的初始速度分别从A和D出发，分别沿AB和DE运动。假设C运动的速度在数值上总是等于CB，而F运动的速度始终不变。

纳皮尔关于对数构想的图示

显然，CB=y是一个无穷递缩等比数列，而DF=x则是一个无穷递增等差数列。这时，纳皮尔把y看成斯蒂费尔所说的“原数”，把x看成是“原数”y的“代表人物”。

不过，纳皮尔没有这样叫，而是把x定义为y的对数，用数学式子表示是x=Nap log y。这里“Nap”是指“纳皮尔”，“Nap log y”或“Nap·log y”表示“纳皮尔对数”（Napierian logarithm）。

上述构想和定义记载在《奇妙的对数表的构造》中——1619年1月纳皮尔的这本遗作出版（见1.3节）。

纳皮尔对数（函数）既不是常用对数（函数），也不是自然对数（函数）。不过，纳皮尔对数和自然对数可以用Nap logy=10^7 ln（10^7 /y）来换算。式子中的自然对数符号“ln”是“loge ”的简写，而“loge ”中的“log”是“logarithm”（对数）一词的前3个字母，“e”是自然对数的底，“ln”则由“logarithm”的第一个字母“l”以及“nature”（自然）的第一个字母“n”合成。此外，据说在1618年纳皮尔的一本英文版（爱德华·赖特译）对数遗作《奇妙的对数》第二版附录的一张表中，第一次间接提到过e（但没有明确记录）。所以，也有人把自然对数的底e称为纳皮尔常数，把自然对数称为纳皮尔对数，以纪念他发明了对数。不过，说纳皮尔对数是以e为底的自然对数是不正确的，因为纳皮尔对数随着真数的增加而减小，这和自然对数随着真数的增加而增加的情况正好相反。

纳皮尔

纳皮尔首创的“logarithm”（对数）一词由两个希腊词汇“λórοs”（对应拉丁文“logos”，意思是“表示思想的文字或符号”，在这里表示“比率”或“计算”）与“áριθμós”（意思是“数”）组合而成。“logarithm”在这里的含义是“比的数”，即“比数”（ratio numbet），意思是指数与数之间总保持相同的比。他最初把“比数”称为“人造数”（artificial number），后来才称为“对数”。而在1852年第 4 版的《平面几何》一书中，德国数学家科珀却用了“取对数”这个动宾结构的词。

3．纳皮尔对数的底是多少

事实上，纳皮尔对数的底 ，非常接近1/e=0.367 879 441…——两者在小数点后第8位才开始不同。只要把Nap log y=10^7 ln（10^7 /y）改写成Nap log y=10^7 log1/e （y/10^7 ），就可以看到这一点。

这里读者可能会问，在纳皮尔对数中，这个“10^7 ”是从哪里来的？它的底为什么非常接近1/e？

在前文图中用微积分很容易说明。纳皮尔假设AB=10^7 ，那么AC=10^7 −y，因而C的速度就是 ，即 ，积分后就得到lny=−t+C。把初始条件t=0和 y=10^7 代入这个式子，就得到积分常数 C=ln10^7 ，因此 lny=−t+ln10^7 ，就是t=ln10^7 −lny。

现在，F的速度是 =10^7 ，因此x=10^7 t，所以Nap log y=x=10^7 t=10（7 ln10^7 −lny）=10^7 ln（10^7 /y）=10^7 log1/e （y /10^7 ）。

从这个过程可以看出，纳皮尔发明对数的时候，已经实际上涉及样子像 的这类微分方程了。

当然，当年纳皮尔从来没有考虑过“底数”这一概念，他的目的是为了编制实用对数表。

4． 的来历

另一个问题是，纳皮尔为什么要在前文图中假设 AB=10^7 呢？这显然是为了避免小数运算。那么，具体是怎样避免的呢？

我们知道，纳皮尔发明对数的目的是为了“化乘除为加减”而加快计算速度。然而，如果按以 2 为底数制作的表（1.2 节中第一个表）来进行的话，有关 2 的分数幂的数就无法计算，所以必须选用另外的数作为底数。这样，要制作无所不包的数表就只有两种选择：以某个自然数的分数指数为底，或以足够小的数为底数，使得相应的幂缓慢增长。不过，他并没有选择前者，这是因为法国数学家奥雷斯姆在14世纪最早开始使用的分数指数直到纳皮尔辞世之后，才因为沃利斯、牛顿等在17世纪的使用而广泛流传。就这样，后者就是纳皮尔唯一的选择了。但问题又出现了，选多小的数为底数呢？显然，不能太小，否则它的幂增长太慢而没有实用价值。经过数年斟酌，他决定选用0.999 999 9，即1-10-7 。

为什么纳皮尔在原著中偏偏要选用1-10-7 呢？原来，为了避免小数运算，他采用了类似我们今天把1美元分为100美分或者把1千米分为1000米的方法，把一个单位分为许多子单位，并把1个子单位看成一个新的单位。由于他的主要目的是减少三角运算中的繁琐劳动，所以他根据实际需要把单位圆的半径分成了10^7 份——当时最好的正弦表有7位数字。

这样，从 1 个完整的单位取出它的 10-7 之后，就得到一个与 1 非常接近的1-10-7 。接下来的进展无需说明：1-10-7 成了他构建对数表的“公比”——他称为“比例”。但是，他在实际计算时，又改为非常接近1/e的 。再接下来的任务就是不厌其繁地进行减法运算，直到得出数列中的每一项，完成他的对数表。

于是，用 其中的 ）作为对数的底数，就得到一系列整数：

…

…

这些整数都各自是忽略了小数部分的近似值。例如，最后一个式子中的9 999 900就忽略了小数部分0.000 495 0。而各式子中的9 999 999，9 999 998，…，9 999 900，…则分别是从10^7 =10 000 000依次减去自己的10-7 倍（也就是减去10^7 ×10-7 =1）得到的。

5．对数的发展

虽然纳皮尔发明了对数，但却没有给出对数的定义。直到1742年，英国数学家、作家琼斯才给出实数的对数的定义：已知a是不等于1 的正数，如果a的b次幂等于N，那么b叫作以a为底的N 的对数。这个定义写成数学式子就是b=loga N，其中a＞0且a≠1，N＞0。在这一年，琼斯在给他的同胞伽迪纳所著《对数表》写的序言中，第一次使用了这个定义。《对数表》曾多次（例如在2010年）再版，其中有1和102 100之间的自然数的对数。

琼斯

《对数表》

复数（包括虚数）的对数的定义是，已知复数z≠0，对于正数 e，有无限多个复数W（它们的模相等，幅角相差2π的整数倍），如果eW =z成立，那么W叫作以 e 为底的复数z的对数，记作W=lnz。这个定义是由瑞士数学家雅格布·伯努利给出的。

1702年，雅格布· 伯努利在科学院的《纪要》上发展了 ，引入了部分分式的方法。在求积分 的时候，因为ax^2 +bx+c的一次因式可能由复数构成，求部分分式就成了 （这里斜体的e不是自然对数的底，而是非0的常数；f为复数），他仍然用对数的法则来积分，这样就出现了复数的对数。

在上面的复数的对数定义中，隐含了“每个复数有无限多个对数值”这一命题。这个命题是由欧拉最早提出来的。欧拉关于对数的另一贡献是，他指出了“对数源于指数”之后，对数才大大方方地走进学校的数学课堂。

6．“时代造就英雄，英雄创造历史”

纳皮尔为什么要发明对数呢？“我要尽我的力量，来免除计算中的困难和繁重工作，许多人由于讨厌它们，吓得都不敢学数学了。”纳皮尔曾经这样谈到他发明对数的动机。

作为一位天文爱好者，纳皮尔的“自我表白”是完全可信的，发明对数也绝非偶然的心血来潮。首先，那时天文学家们十分热衷于研究星系，要处理观测星象时所得的大量数据——当时一般人很少涉足的“天文数字”。其次，航海家要频繁计算船舶的位置和航线。还有，商人要计算“驴打滚”式的复利，等等。这类大量的繁复计算实在令这些人苦不堪言，头痛不已。

计算比赛：使用印度-阿拉伯数码的“算法家”（左）、裁判“算术女神”（中）与“算盘家”（右）

随之而来的是两种选择。一种选择是“埋头勤拉车”，诞生了一门新的职业，一些专门从事计算的人——“计算师”“算法家”开始登场。他们一天到晚忙忙碌碌，又被人称为“计算工匠”。可是，他们没有想到“抬头远望路”——如何创新，去改善计算方法或计算技术。另一种选择是，像纳皮尔那样“与时俱进”，去寻找“新式武器”。“看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，”在《奇妙的对数定律说明书》中，纳皮尔说，“于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。”就这样，时代造就了智慧的纳皮尔，纳皮尔用巧妙的构思和辛勤的汗水创造了历史。

1.5 科学更有力量——天才的遗憾

1．富翁、公鸡、鸽子及科学

纳皮尔出生在爱丁堡附近的小镇梅尔契斯顿堡的一个贵族之家，他是阿奇博尔德·纳皮尔爵士（1565年受封）与妻子简奈特·波斯维尔·纳皮尔的长子。约翰·纳皮尔天资聪慧，才思敏捷，从小受家庭的良好熏陶，在 13岁（1563年）时就进入圣安德鲁大学的斯帕希杰尔学院（或圣萨尔瓦特学院）学习。1566年，他尚未毕业时就在他的舅父、奥克尼的主教A．波斯维尔的支持下，出国到欧洲大陆游历求学，1571年抱志回乡。

1572年，22岁的纳皮尔与詹姆斯· 斯特林爵士的女儿伊丽莎白·斯特林结婚后，定居在加尔特内斯，生有一儿一女。伊丽莎白·斯特林在 1579年去世后，纳皮尔又娶了珀思州克罗姆利克斯的奇斯霍姆为续弦妻子。纳皮尔和奇斯霍姆生有5儿5女，其中第二个儿子就是我们提到过的罗伯特·蒙哥·纳皮尔。

纳皮尔非常机智，怪招迭出，但有人却因此认为他有精神病，而另外一些人则认为他是一个妖术贩子，下面是这方面的两个传说。

一次，纳皮尔发现有仆人偷东西，就宣称他的一只黑毛公鸡能帮他破案。于是所有的仆人都被他叫进暗室去拍这只有魔力的黑毛公鸡的背，以证明自己的清白。原来，纳皮尔事先悄悄把烟灰涂在了鸡背上，由于那个小偷不敢去拍，所以从暗室出来后他的手是干净的，结果被纳皮尔查了出来。

还有一次，纳皮尔邻居的鸽子偷吃了他的粮食，但邻居不理睬他“要没收鸽子”的警告，认为纳皮尔捉不住鸽子。然而，第二天的一幕让这位邻居目瞪口呆：那些鸽子在纳皮尔的草坪上蹒跚而行，而纳皮尔则镇静自若地把它们装进一只大口袋。原来，纳皮尔撒了用白兰地酒泡过的豌豆，使这些鸽子吃后成了“醉汉”。

纳皮尔于1580年继承父亲阿奇博尔德的“产业”，1608年父亲去世后，他回到梅尔契斯顿堡，当上了梅尔契斯顿堡的第八世领主，直到1617年4月4日辞世，期间再也没有离开过此地。

伊丽莎白·斯特林

这段家事由纳皮尔的后人马克·纳皮尔在 1834年出版的《梅尔契斯顿的约翰·纳皮尔家谱》一书中有记载。

不过，由于“他早年的生活鲜为人知”，所以对纳皮尔的经历有另一种不尽相同的说法。这种说法是，他在 24岁的时候离开父亲到法国留学，大学毕业后一直在法国工作，直到1608年父亲去世才回到家乡。他在当上梅尔契斯顿堡主人的同时，继续从事数学和其他研究，直到辞世。但不管怎么说，纳皮尔一直钟情科学，特别是研究对数。

马克·纳皮尔

2．多才多艺的天才

纳皮尔一生没有正式的固定职业，而且早期的“业余爱好”也和他后来在数学上的创举没有丝毫瓜葛。但由于他曾游历欧洲大陆，还参过军，所以阅历丰富，加之爱好广泛，搞过发明等，所以有了后来研究数学的“储备”。

纳皮尔当然是一个天才。他多才多艺，对天文学和机械学都有深入的研究，发明过螺旋抽水机、农业机械、燃烧镜、大炮、金属战车、潜水艇等。

纳皮尔有天才般的丰富想象力。他曾预言将来会出现许多穷凶极恶的武器：能“清除4英里（1英里合1.609 344千米）内所有超过1英尺（合0.304 8米）高的生物”的枪炮，能“在水下航行的机器”，有“一张栩栩大嘴，能毁灭前进道路上任何东西”的战车……后来，这些武器在第一次世界大战中诞生：机关枪、潜水艇和坦克……

纳皮尔的“军事天才”曾使他当了一回英雄。他在年轻时听闻信奉天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打英国，于是就开始研究各种兵器准备与其血战到底。虽然他的兵器还没制成，英国就把无敌舰队击垮了，但他还是成了英雄。

美国数学史家伊夫斯在1983年出版的《数学史上的里程碑》一书中说，除了发明对数以外，纳皮尔至少还有如下3项天才的成果被载入数学史册。

一是他发现了在三角学中用于求解球面非直角三角形的4个比例式中的至少2个，称之为纳皮尔比例式或纳皮尔比拟。

用A，B，C和a，b，c分别代表三角形的3个角和对应的3条边，这4个比例式是：

二是球面三角学中10个公式的巧妙记忆法——纳皮尔圆部法则，即圆的部分法则，也被称为奈培球或奈培五角星（奈培指纳皮尔）。

以上两项成果在1614年发表。

三是在1617出版的《算筹术》一书中，纳皮尔介绍了用机械进行乘除计算和平方根计算的纳皮尔算筹。这个也被叫作“纳皮尔骨头”的“纳皮尔尺”发明于1612年，被誉为世界上计算机的萌芽。

纳皮尔算筹

纳皮尔发明的算筹不是中国古代的那种算筹，也不是根据对数的原理制成的计算尺（它曾红极一时，但在电子计算器诞生之后的20世纪80年代被彻底淘汰），而是一种根据15世纪以后流行于中亚和欧洲一带的格子算法的原理制作的 10 条尺子（“卡片”），它由纸、骨板、木板、金属板等材料制成。右图所示是这 10 张卡片中的一张，上头的“6”的下面是 6 的各种倍数，例如自6往下数第3行的“18”就是6的3倍。

格子算法的具体方法是“斜行相加”和“错位相加”。下面是《算筹术》中计算1615×365的一个实例。

如上图的右边，先把分别“代表”1，6，1，5的尺子按顺序排列，再分别读出3，6，5和它们的乘积4845，9690，8075，如果对角线上有两个数字，应把它们相加。然后把4845，9690，8075“错位相加”（如上图中右上角所示），就得到答案589 475。

格子算法示例

右图表示出了934×314=293 276，读者可自行体验计算方法。

此外，纳皮尔还编写了《小数计算法》一书。

3．天才的遗憾

用格子算法计算934×314=293276

纳皮尔年轻时正值欧洲宗教革命，苏格兰转向新教（基督教），他也成了攻击旧教（天主教）的急先锋。

作为一位严格的长老会（基督教的更正教即清教的一个派别）教友，纳皮尔拥护清教徒领袖诺克斯以及苏格兰国王詹姆斯六世（即后来成为英格兰国王的詹姆斯一世）的事业。他在1593年出版的《圣约翰启示录大全》一书中强烈反对天主教，努力证明教皇是反基督的。他还猛烈抨击罗马教会，声称上帝将在1688～1700年间把世界推向末日（“最后审判日”）。这本在当时流传很广的书一共出版了21版，至少有10版是他在世时出版的。

这本书还因为纳皮尔的大名而不得不被我们频繁提到，以致书名也被各家翻译得眼花缭乱：《约翰启示录大全的一般发现》《圣约翰启示录的一个清晰发现》《约翰启示录简释》《清晰地看到圣徒约翰整个显现》……

可悲和遗憾的是，纳皮尔深信他的子孙将因为《约翰启示录大全》而享受巨大的荣誉和福祉。然而，历史和他开了一个“国际玩笑”，事实证明他完全“南辕北辙”。我们现在知道他的英名是因为他认为是实用而作为消遣的对数，而不是现在已鲜为人知的这本书。

于是，我们想起了纳皮尔的同胞、著名哲学家弗朗西斯·培根在《学术的进展》（1605年出版）一书中的名言：“我们会看到智慧和学问之碑是怎样远比权利或武力之碑更加长垂不朽。”可以设想，如果他不是在这些政治与宗教的纷争中浪费大量时间和精力，就会在自然科学上“飞得更高”。

然而，历史没有如果，只有已然。因此，纳皮尔的遗憾就只能而且应该成为我们的前车之鉴。

马奥尔

纳皮尔“遗憾的成功”也揭示另一个有趣的事实——“不太靠谱的人”有时会干出“非常靠谱的事”。“在科学史上，鲜有像对数这样受到整个科学界狂热追捧的抽象数学概念。”以色列数学史家马奥尔在《e的故事：一个常数的传奇》一书中说，“人们难以想象，这一天才的创造来源于那位似乎不太靠谱的名叫约翰·纳皮尔的人。”把这个有趣的事实引申出来，我们会发现意大利著名精神病学家、犯罪学家龙勃罗梭总结出的另一个“普遍现象”：“每个天才都同时是一个精神病人，他在某一方面的超长才能往往以另一方面的低能为代价。”看来，我们对那些“不太靠谱”或“患精神病”的人还不能“想当然”地急于一概而论，否则就会“扼杀同时代的天才”。

其实，我们也有一个“纳皮尔遗憾”。“纳皮尔的名字有Napair、Neper、Naipper等多个版本，确切的拼写方法已无法考证。”马奥尔在《e 的故事：一个常数的传奇》中引用英国数学家、物理学家吉布森在《纳皮尔和对数的发明》一书上的话说。

1.6 承伟业自有来人——从布里格斯到弗拉格

1．格雷沙姆学院的几何学教授3．郁金香花盛开的地方

其实，纳皮尔还有另一个遗憾，那就是他和布里格斯共同的伟业——关于对数的改进还没有完成，他就辞世了。

但是，时年 55岁的布里格斯承担了双方未竟的宏伟事业，以坚忍不拔的精神，继续研究、改进对数和编制对数表。

布里格斯

数学家、天文学家布里格斯，生于英格兰约克郡沃利伍德附近的哈利法克斯，曾就读于牛津大学，1577年入剑桥大学的圣约翰学院学习，分别于1581年和1585年获学士学位和硕士学位。1596年，他在当年新建成的伦敦格雷沙姆学院光荣担任几何学教授席位——英国第一个数学教授席位，教授几何和初等代数。1619年，布里格斯来到牛津大学萨维尔学院，成为了新设立的第一任萨弗尔数学（几何学）和天文学教授。1620年7月辞职以后，他又担任格雷沙姆学院教授。萨弗尔爵士是女王伊丽莎白一世（1558～1603年任英格兰和爱尔兰女王）的希腊文和数学私人教师。萨弗尔在 1585年担任过麦尔顿县知事，1596年成为伊登市的市长，1619年在牛津大学设立用他的名字命名的数学（几何学）和天文学讲座。

2．布里格斯的贡献

纳皮尔和布里格斯关于对数的贡献主要有两个：一是采用10为底，使计算更加方便；二是把纳皮尔的只限于三角函数的对数扩改为一般数值的对数。事实上，他在1614年与纳皮尔第一次会面时就向纳皮尔提出了两条建议：把1而不是10^7 的对数值定为0，定义10的对数值和10的某个指数幂值相等。讨论之后，双方最终决定采用 lg10=1=10^0 。用现在的话说就是，如果正数n可以表示成n=10m ，那么m就是n的常用对数，写成log_10 n=m或简写为lgn=m。可以看出，这里产生了“底”的概念。布里格斯“采用10为底”的这一贡献也有纳皮尔的功劳。

当然，布里格斯还有其他关于对数的贡献。例如，对数的“尾数”一词——表示对数的小数部分——也是他最先在1624年引进的。这个词起源于伊特拉斯坎（又译伊特鲁里亚）语的一个晚期拉丁名词，原来的意思是“附加”或“补缺”，即“一个用于称重时凑足重量的东西”，到了 16 世纪才有“加尾数”的意思。

不过，“尾数”这个词在数的“浮点表示法”（x=10n a）中也用来表示其小数部分a，这里0.1≤︱a︱＜1。所谓浮点表示法简称浮点法，是误差分析中数的舍入方法中的一种，另一种是定点法。

又如，“首数”（characteristic）一词——表示对数的整数部分——也是布里格斯在1624年最早使用的。不过，另有一种说法是，“对数尾数”一词最早出现在英国数学家沃利斯于1693年出版的《代数》一书第4页中。当然，这些术语在“分析学的拱顶石”——欧拉的《无穷分析引论》一书于1748年在洛桑出版之前都没有流行起来。

此外，布里格斯在数学领域还有其他贡献。例如，他编制的15位数字的正弦函数表以及10位数字的正切与正割函数表在1633年刊行后被沿用了200多年。他还在1620年编辑出版了欧几里得的《几何原本》前6卷。

经过1年多的努力，布里格斯在1617年制成了真数1～1000的14位尾数的常用对数表。这是一本 16 页的小册子，书名是“100 个数的对数”，其中的一部分如下表所示，这是有史以来的第一个14位尾数的常用对数表。

《100个数的对数》中的常用对数表（部分）

接着，布里格斯又开始了一项庞大的计划，把1和100 000之间的全部整数的40位对数计算出来。

又经过 7年多的努力，63岁的布里格斯在 1624年又出版了《对数算术，或3万个数的对数》一书。由于书名较长，所以被简称为《对数算术》《对数》或《3万个数的对数》。书中载有真数1～20 000和90 000～100 000这3万个数的14位尾数的常用对数表（世界上第一个常用对数表）以及正弦和正切的对数表。他在编制这个常用对数表进行计算时，用了自己的方法——采用的底数是非常接近1的 。这样，1624年也被一些学者看成发明实用的常用对数的年份。布里格斯的工作得到过英国天文学家、占星术作家亨利爵士的帮助。可是，布里格斯的常用对数表中20 001和89 999之间的“空隙”还没来得及填补，他就溘然长逝！

为了纪念布里格斯，国际天文学联合会以他的名字命名了月球上的一座直径为37千米的环形山（陨石坑）。

接过接力棒的还有约翰·纳皮尔和续弦妻子奇斯霍姆所生的第二个儿子罗伯特·蒙哥·纳皮尔以及他们的后裔马克·纳皮尔等。例如，罗伯特·蒙哥·纳皮尔和布里格斯一起整理了约翰·纳皮尔的遗作，罗伯特·蒙哥·纳皮尔还单独整理出版了《奇妙的对数表的构造》一书。马克·纳皮尔也整理了约翰·纳皮尔的一些研究成果，在1839年出版了《算术技巧》一书。

在17世纪，接力棒还传到了英吉利海峡的对面——欧洲大陆。

荷兰在西面和英国隔海相望，东邻德国，是欧洲大陆上有名的“低地之国”，超过 1/3 的国土面积低于海平面。我们知道，这个又叫尼德兰（意思是“低地”）的国度盛产郁金香。在 17 世纪，“对数郁金香”在荷兰绽放出了绚丽的花朵。

在郁金香盛开的国度，接过纳皮尔和布里格斯接力棒的是荷兰测量师、教师德斯克，以及荷兰出版商兼书商、数学家弗拉格。弗拉格生于荷兰高达市政府一个富裕的要员之家，受过良好的教育。因为对数学的兴趣，他结识了德斯克。1628年，他俩补齐了布里格斯的《对数算术》，并于次年（一说当年）在高达出版了该书的第二版。如果从 1615年布里格斯访问纳皮尔算起，《对数算术》编写了 13年！这本书的1670年版曾由1699年来华的法国耶稣会传教士富凯（中文名傅圣泽）编译传入中国。《对数算术》填补了布里格斯对数表中20 001和89 999之间7万个数的“空隙”，但据说后来发现表中有603处错误。不过，这些错误难掩它的光辉，直到21世纪，它依然是所有后续对数表的基础，300年来只做过一些小的修改。直到1924年，为了纪念发明常用对数表（注意：不是纪念发明对数）300周年，英国人才开始计算编辑精度为20位的新常用对数表，并于1949年完成并出版。

在1633年，弗拉格又整理出版了布里格斯的三角函数十进制对数表。他修订出版的这些对数表很快在欧洲得到普遍使用。

弗拉格曾在1632年定居于伦敦，还开了一家书局。但是，由于当时英格兰、苏格兰及爱尔兰国王（1625～1649年在位）查尔斯一世企图推翻国会的权威，在1642～1645年爆发第一次英国内战，弗拉格只好在 1642年“转移战场”来到巴黎。6年之后，他又回到荷兰海牙（现在的实际首都——王室、国会和多数政府机关、外交使团所在地，法定首都为阿姆斯特丹），继续出书和卖书。

一代著名的多产数学家弗拉格生于高达，死于海牙，他的许多著作传入中国。

当然，欧洲大陆的其他国家（例如德国）也接过了对数的接力棒。在德国的乌尔姆城，被官方指定的“城市全民数学家和测量员”范哈贝尔首先办起了一份关于对数的刊物。

1.7 并非风景这边独好——“杀鸡杀喉”比尔吉

“莫道君行早，更有早行人。”把这句中国的谚语用在对数的发明上也十分恰当。

原来，在纳皮尔制成对数表之前，已经有一位早行者制成对数表了。他就是瑞士的一位教师，也是一位仪器制造者，就是主要从事钟表制作的比尔吉。

精密仪器，比尔吉在1585年制作

比尔吉出生在瑞士列支敦士登，1579年被推荐去当了威廉四世的钟表匠——计时师，1604年成为哈布斯堡王朝的神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世的皇家技师，居住在布拉格。爱好天文研究的比尔吉曾经得到开普勒的赏识，并在卡特琳天文台工作时当过他的助手。比尔吉能“文”（发明对数等）善“武”（双手灵巧），当时被尊为难得的数学家、天文学家和工艺家，也有人把他称为力学家。

虽然比尔吉在数学上留下来的成果不多，但他和开普勒用逗号把整数和十进分数分开的做法被看作是发明了小数。而开普勒则把小数的发明权归功于比尔吉：“小数和对数是由比尔吉发明的。”

比尔吉花了大约8年时间编制出了下表所示的等差数列和等比数列表。其中第一行等差数列被印成红色，第二行等比数列被印成黑色。

比尔吉的等差数列和等比数列表

可以看出，上面等差数列中的10n始终对应着下面等比数列中的 。现在，我们按照比尔吉的基本思想，对他的表稍微加以改动，换为另外的如下表所示的等差数列和等比数列。

等差数列和等比数列变换形式

在这里，等差数列中没有写出的1（它显然出现在第10 001项）对应于等比数列中的 （它显然也出现在第10 001项）。由此可以看出，比尔吉在编制 他的对数表时把对数的底选为=2.718145 926"。与e=2.718 281 828…相比，仅仅从第4位小数起才开始不同。

这就是说，比尔吉所选的对数的“底”已经非常接近e值了！所以，有人说比尔吉的对数是以e为底的，而另有人则把他的对数称为比尔吉对数。此外，有不少人说比尔吉的对数以 1.0001 为底，这是没有看到 中的 10^4 所致。当然，比尔吉在编制对数表的时候，他也没有“底”的概念。

可能有读者要问，为什么要选等差数列中没有写出的1来研究呢？答案很简单：底的对数才是1，所以只要找出对数是1时的真数 ，就找到这个对数的底了。

那么，比尔吉实际上选择了非常接近e的值作为对数的底，这是巧合还是必然？我们将在4.3节解答这个问题。

1620年，比尔吉匿名出版了简称为《进数表》的大作《等差数列和等比数列》，公布了他的发明。此时，离纳皮尔发表对数成果尚有6年。

但即使如此，究竟谁是对数的发明者，是否其中有一个人是抄袭，等等，还是引起了一场争论。由于他俩都曾坚称花了很多年时间进行研究，各自开始的时间又没有确切的文字记载，所以除了比尔吉发表对数成果的年份比纳皮尔晚6年以及比尔吉在1688年就完成自己的发明以外，其他都得不出令人信服的、有确实证据的结论。但是，多数人认为纳皮尔的对数思想略早于比尔吉，而根据比尔吉的手稿推断，他写作成功于1610年，作品早于纳皮尔，他俩都是对数的发明人。

对数书封面上的比尔吉

不过，学术界遵从铁的法则——“要么发表，要么灭亡”。由于“推迟”，比尔吉最终丧失了这一历史性发明的发表优先权。如今，除了科学史上还有记载之外，他的英名已几乎无人知晓！

此外，从纳皮尔和比尔吉创立对数的简单介绍可以看出，前者是通过几何途径，而后者则是通过代数途径得出的。这应了中国的民间谚语：“杀鸡杀喉，各有各的刀路。”

在科技史中，有一个并不奇怪的、屡见不鲜的“同时现象”，而且经常伴生一个“殊途同归现象”。我们称这两种现象为“双胞胎”。

举例来说，19世纪上半叶发现的能量转化和守恒定律就是几乎同时由几个国家的不同科学家各自独立创立的。这是物理学中的“双胞胎”最典型的例子。

当然，数学也不例外。熟悉数学史的人都知道，数学中的“双胞胎”不计其数，微积分、解析几何、非欧几何的创立就是典型的例子。

科技中的“双胞胎”现象值得深思和研究。

1.8 天文学家延寿一倍——拉普拉斯这样说

“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于3 个发明，即阿拉伯计数法、小数和对数。”两卷本《数学符号史》第 149 页这么说。这本书是研究数学符号的经典之作，由瑞士-美国著名数学史家、科学史家卡约里编著，在1928～1929年出版。卡约里在1893年出版的《数学史》一书中也有类似的说法。

卡约里和1894年镀金版《数学史》

对数这项伟大的发明得到的许多赞美和史书记载远不止卡约里的著作。例如，英国数学家哈顿在他的《数学纵览》一书中就辟出专门篇幅写“对数发展史”。又如，伊夫斯在《数学史上的里程碑》中把“纳皮尔发明对数”列入43个“数学里程碑”中，按发明年代先后排在第19位。

科学家中最有名的赞美来自法国著名天文学家、数学家拉普拉斯，他在数学上的贡献我们将在后面的章节中多次提到。

拉普拉斯

“可以把几个月所做的计算减少到几天完成，由于缩短了计算工作的时间，我们可以说这种方法使天文学家的寿命被延长了一倍，而且使他们少犯错误，减少因为长时间计算而造成的不可避免的烦闷。”拉普拉斯在他的天文学巨著《宇宙体系论》一书中深有体会地赞美对数，“这种完全由学识而来的发明是人类精神上的宝贵成就；在工艺上人们依赖自然界的物质和能量才能做出发明，而计算技术却只靠人们自己的创作。”

是的，对数把乘方、开方第三级运算转化成乘、除第二级运算，而第二级运算又可转化成加、减第一级运算。这样，“繁难”就变成了“简单”。这可看出对数无与伦比的魅力，于是拉普拉斯会这么兴奋和不吝溢美之辞。

对数因为巨大作用而被整个欧洲积极采用，“特别是在天文学界，简直为这项发明而沸腾起来了。”伊夫斯在《数学史上的里程碑》中写道。于是，开普勒于1624年热情地在德国大量推广对数，例如在马尔堡出版一种纳皮尔对数表。1625年，长期滞留在法国的英国数学家温盖特在法国也做了类似的工作。而在18世纪末，法国政府曾动员150人花了两年时间完成了一个1～20 000的对数表。意大利数学家卡瓦列里在本国也热忱宣传。

当然，赞美发明对数的不只是数学家和其他自然科学家。例如，“哪一样都不外行”的、“欧洲最博学的人”德国社会主义理论家、哲学家恩格斯在谈到近代科学产生时期的主要成果时，不但把对数看成17世纪被确定了的最重要的数学成就之一，而且进一步把它和解析几何、微积分并列为“最重要的数学方法”。

最夸张的恐怕要数大名鼎鼎的伽利略的豪言了：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙！”看来，他的口气仅次于莱布尼茨的“从虚无创造万有，用一就够了”，比那位发现杠杆定律并扬言可以用杠杆撬动地球的伟人——阿基米德的口气还大。

用杠杆撬动地球：不可能实现的臆想

1971年尼加拉瓜邮票，纪念纳皮尔发明对数

为了纪念对数这一伟大发明，尼加拉瓜在 1971年5月15日发行了一套主题是“10个最重要的数学公式”的纪念邮票。这10枚邮票中的第4枚上就印有对数公式，和其他9枚一样，邮票背面还用西班牙文对公式的重要性做了简要说明。

对数的诞生对于科技发展、社会进步的巨大作用，使人想起了中国已故国家领导人邓小平在 1988年9月的那句名言：“科学技术是第一生产力。”而这句名言的发轫，是德国社会主义理论家、哲学家马克思的“生产力中也包括科学”和“社会劳动生产力，首先是科学的力量”。

发明对数的伟大意义与“科学技术是第一生产力”的名言，可以用印度诗人、哲学家泰戈尔的精辟论断来诠释：“世界上使社会变得伟大的人，正是那些有勇气在生活中尝试解决人生新问题的人！那些循规蹈矩的人不能使社会进步，仅能维持现状。”

1.9 “迟到的爱”——对数在中国

1．对数东进神州

1646年，波兰传教士穆尼阁来华，先后向薛凤祚、方中通等明清时代的天文学家、数学家传授对数、三角学等。从此，对数开始传入中国。

1653年，薛凤祚和穆尼阁共同编译出版了中国最早的对数书《比例对数表》，正式把对数介绍到中国。穆尼阁死后，这本书成为薛凤祚编撰的《历学汇（会）通》中数学部分的重要内容。

在《比例对数表》中，把“logarithm”（对数）一词翻译成“比例数”或“假数”。关于对数表的作用，这本书也赞美有加：“今有对数表，则省乘除，而况开方、立方，三、四、五方等法，皆比原法工力十省六七，且无舛错之患。”书中还列出了1～20 000的6位常用对数表。而《历学汇通》中的《比例四线新表》里，则列出4种6位的三角函数（正、余弦，正、余切）对数表。

1723年，康熙皇帝组织编撰的“康熙御制”《数理精蕴》出版。其中《下篇· 卷三十八》的“对数比例”一节中，首先就说：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以假数与真数对列成表，故名对数表。又有恩利格·巴理知斯。”这里的“假数”也是指 loga N=b中的b，我们现在叫“对数”，而“真数”和现在的含义一样，指式中的N。这样，把“真数与假数对列成表”，所以叫“对数表”。后来，“假数”逐渐不用，只把b叫N的对数。这里的“纳白尔”和“巴理知斯”分别指纳皮尔和布里格斯。

《数理精蕴》中的“对数比例”一节比《历学汇通》更详细地阐述了对数和对数表，并给出编造对数的3种新方法。此外，还列有1～100 000的10位常用对数表、间隔10″的7位三角函数表和10位三角函数对数表。

1845年，清代数学家戴煦还著有《对数简法》一书。

2．《求表捷术》西游英伦

说起对数在中国，还有一个趣味故事呢！

清代数学家戴煦无心功名，但对于对数却情有独钟。他认为，旧的求对数的方法头绪纷繁，让初学者一头雾水，接着望而却步，于是他潜心着力改进。功夫不负有心人，他终于发现了几种计算对数的便捷方法，并在1845～1852年间编著成《求表捷术》（或《求表捷法》）。这部共4卷的书是当时最有影响的数学著作。

1854年，英国传教士艾约瑟在李善兰和张福僖这两位中国数学家那里看到戴熙的《求表捷术》后大为折服，于是他专程到杭州拜访戴熙，但戴熙拒不接见。虽然艾约瑟大失所望，但对戴熙的崇敬不减，就把他的书翻译成英文，寄回到英国的算学公会。这是一段中英“对数趣话”和“对数佳话”。

故事中提到的李善兰研究对数也小有成就。他说，对数可以用几个“尖锥”的合积来表示。尖锥是指他发明的“尖锥求积术”中的一个图形。

在对数传入中国的时候，大约在1680年，英国数学家温盖特的那种计算尺已经传入中国，现在北京故宫博物院还藏有仿制品，上面写着“康熙御制”的字样。

故宫博物院收藏的清代10位圆盘计算器

3．对数在中国的发展

邹伯奇诞辰190周年的纪念铜像

中国数学家不但仿制了计算尺，有的还有深入研究，邹伯奇就是其中的一位。他的研究成果汇入他所著的《对数尺记》一书中，死后刻入《邹征君遗书》中，而对数尺的实物则在1853年制成，能进行一般计算和气节、天文、体积等计算。这里的“征”在古文中为“徵”（以下写为“征”）。

邹伯奇还是清代著名的物理学家，他对天文学、光学、地理学等都很有研究。这位中国近代科学先驱曾在1844年独立制造了我国第一台照相机，仅比西方晚了大约4年，被誉为“中国照相机之父”。邹征君是对邹伯奇的尊称，古代隐士等被聘为官（邹伯奇多次未应聘）以后被称为“征士”，尊称为“征君”，加上“讳名不讳姓”的规矩，就有了邹征君这个称呼。例如，杜甫就在《寄常征君》中就有“征君晚节傍风尘”的诗句。

邹伯奇死后，他的儿子把他的生平著述辑为《邹征君遗书》四卷。后来，当时的清代著名学者陈澧从其遗稿中选一部分，以“邹征君存稿”为书名，在邹伯奇门生和亲友的帮助下，与《邹征君遗书》同时在1874年（一说1873年）刊印，并传播于世。

此外，在 1962年，中国数学史家李俨还写过一本《计算尺发展史》，这是中国数学家对于计算尺的重要研究成果。

李俨

由此可见，对数是在17世纪中叶从西方通过传教士传到中国的，不但很快得到中国数学家们“迟到的爱”，而且在继承的基础上还有发展。

4．幼芽为什么最终没能开花结果

有中国学者的研究指出，“其实对数思想在我国古代就有了”，但却没能开花结果，就像我们说过的阿基米德和斯蒂费尔没有发明对数那样。由此可见，在世界的各个角落，先贤们在跨过“水千条山万座”的时候，在黑暗中探索了不知多少岁月！

但问题还不止于此：为什么中国的对数幼芽在开花之前就枯萎了呢？

第2章 无处不在的对数——“天地英雄”大显神通

你以为一切都已经发现了吗？那真是绝顶的荒谬，这无异于把有限的天边当作了世界的尽头。

——法国天文学家、诗人弗拉马里翁

“对数”二字几乎和数学形影不离：对数不等式、对数方程、对数函数、对数的幂级数展开、对数螺线、对数正态分布……

天上亮的，地上响的，地下动的，都有对数——一个不折不扣的“天地英雄”。

2.1 吹拉弹唱也要讲数学——音乐中的对数

克塞纳基斯

斯托克豪森

毋庸置疑，音乐与数学有密切关系。例如，出生于希腊的法国“音乐数学家”克塞纳基斯就在音乐中率先使用数学模型，对电子音乐和计算机的发展产生过重要影响。他不但创立了“算法音乐”，用数学方法代替音乐思维、创作过程（也就是演算过程），而且作品名称也像数学公式，其在 1962年为用 10 件乐器的演奏而创作的《S+/10-1.080 26》是其中之一。又如，德国音乐家斯托克豪森创立的“图表音乐”（读和看的音乐）思想，以几何图形的轮转方式得到“几何音乐”。其实，“音乐，就它的基础来说，是数学的；”德国数学家莱布尼茨曾说，“就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”而比莱布尼茨和爱因斯坦早一千多年的阿尔及利亚（当时属于罗马帝国）基督教哲学家、思想家圣奥古斯丁更是留下了“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。

那么，音乐与数学中的对数也有密切关系吗？是的，我们从以下两方面来说明。

第一方面，一些音乐规律（例如十二平均律）体现了对数规律。

在音乐里的等音程半音音阶中，各音程并不是按照声音的频率（波长的倒数）来等距离安排的，而是按频率的对数来安排的。当然，这种对数的底不是10或者e，而是2。

搞音乐也要懂数学

我们假定最低八音度（零八音度）的 1（do）的频率为f（单位为赫兹），那么，第一个八音度的1（do）的频率就是2f，而第m个八音度的1（do）的频率就是2m f，等等。我们再用p来表示半音阶里的任意一个半音的序号，并把每一个八音度的基音 1（do）作为起点 0，那么，（例如）5（sol）与1（do）比较就相差7个（即p=7）半音，6（la）与1（do）比较就相差9个（即p=9）半音，等等。而比1（do）高出一个八音度的1（即高八度的do）与1（do）比较，就相差12个（即p=12）半音。这是因为在等音程半音音阶里，后面每一个高半度的音的频率都是前一个的 倍，即1.059 463 094 359 295 264 561…倍，这就是十二平均律。或者说，这些音的频率构成公比为 的等比数列。

这里，要对上面的“5（sol）与1（do）比较就相差7个（即p=7）半音”等作出具体解释。由于等音程半音音阶遵守十二平均律，所以从“1”到“1”之间包含了 12 个半音：1→1＃ →2→2＃ →3→4→4＃ →5→5＃ →6→6＃ →7→1。从中可以看出，5（sol）相对于1（do）升高了7个半音，所以p=7；类似，6（la）升高了9个半音，所以p=9；等等。

这样，任意第m个八音度的第p个音（以半音为单位计量p）的频率Npm 都可以用公式 Npm =2m f（ ）p 计算。例如，对于第一个八音度的1，m=1，p=12，所以 的频率Npm =2^1 f（ ）12 =2f（如前所说，f是低八音度的1的频率）。

现在，把Npm =2m f（ ）p 两边取以2为底的对数（本节下面都是这样），就得到lb Npm =mlb 2+lb f+（p/12）lb2，或lb Npm =lb f+（m+p/12）。

如果把最低八度的1（do）的频率定为1（即f=1），则lb1=0，上面这个式子就变成lbNpm =m+p/12。从这个式子可以看出，对第m个八音度中的某个音，表示八音度的号码m就是这个对数（即lb Npm ）的首数，而表示某个音在这个八音度里的次序的p除以12则是对数的尾数。钢琴（或电子琴、风琴等，下同）键盘上某个键的顺序号码就是相应的对数乘以12（即12 m+p）。下面是一个计算实例。

对于第3个八音度中的5（sol），有m=3和p=7，于是得到3+7/12≈3.583。3.583中的整数3就是5（sol）的频率的对数的首数，而0.583则是这个对数的尾数，因此，它的频率是最低八音度中的1（do）的23.583 倍，约为11.986倍，取整数后为12倍。此外，由12m+p=12（3+7/12）=43可知，第3个八音度中的5（sol）是钢琴键盘上的第43号键，也是第3个八音度中的第7号键。

第二方面，制定乐音频率的标准需要对数。

上面，我们并没有说出某个音的实际频率是多少，只是做了一些假设，例如把最低八度的1（do）的频率定为1。显然，要解决这个问题必须有“标准”。

低八度的A是220赫兹（减少一半），高八度的A是880赫兹（增加1倍，未画出）

随着时代的不同，乐音（中心）频率的“国际标准高度”经过了无数次的争论和变迁。1834年德国斯图加特物理学家会议决定的A音，也就是钢琴键盘上小字一组的a1的频率为440赫兹（简写为“A=440赫兹”，英派定调a1即美派A4），在1939年（一说1935年5月）的英国伦敦国际会议上得到确认。这样，现在世界上通用的 a1 的频率 440 赫兹就被称为第一国际高度或演奏会高度（因为在音乐会上通用，见右图），这样，其他各个音的频率就用它作为基准进行计算。1975年，国际标准化组织通过和颁布的国际标准《音乐定音之声学标准》（编码为 ISO-16：1975）再次确认了这一规定（管乐器以室内温度为 20 摄氏度时的“A=440 赫兹”为基础音标准）。这里的ISO是International Organization for Standardization（国际标准化组织）的缩写。根据前面的公式计算，每降低一个半音，频率就会减低到a1=440赫兹的1/ 。例如，C音（即钢琴键盘上小字一组的c1，称为中央c）的频率就大约是440赫兹÷（ ）9 ≈261.6赫兹。这里的“9”是因为c1比a1低9个半音，见上图。由该图还可看出其他音之间的频率关系。下页中的表就是以440赫兹为标准，用十二平均律得到的结果。不过，实践中很少有人使用“A=440 赫兹”标准。例如，美国芝加哥交响乐团和纽约交响乐团使用的是“A=442赫兹”，欧洲柏林交响乐团和维也纳交响乐团使用的是“A=443赫兹”，而大多数全球著名的交响乐团使用的则是完美律（由德国作曲家巴赫发明，代表作为《完美律键盘曲》）的定音方式而不是“A=440赫兹”。

音及其频率

用数学研究音乐，科学家们从来就没有停止过，其中最伟大的成就之一来自中国。

中国明代数学家朱载堉在世界上首先于1581年创立了新法密律，即十二平均律理论：用第一弦的长度除以 的实际上的24位小数近似值，得到第二个音的弦长，并以相同的方法依次求得下面各个音的弦长。对于这种算法和得到的数据，我们现在还照用不误。后来，他还把这个理论推广应用到律管上。对于朱载堉的这项伟大成就，中国科学院院士、电子物理学家吴全德赞赏有加，把π、φ与 并称为“创造优美造型和为美术、音乐作品奠定基础”的、“体现自然界美的本质”的“三个无理数”。

朱载堉

伽利略

音乐也离不开数学的事实强化了伽利略的那句名言：“数学是科学的语言。”而比他早一千多年的希腊数学家、哲学家阿纳托留斯则说，虽然数学是从点和线开始的，但数学很快就把自己扩展到整个宇宙，使得它包罗万象。所以，据说马克思也认为：“一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”

“难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”——我们借英国-美国数学家西尔维斯特之口问。

一根弦的分段振动和整体振动，振幅决定音量，最长的振动决定音高，较短的振动产生泛音而决定着音质

事实上，法国数学家傅里叶在19世纪的工作就使乐声性质的研究达到了顶点，他证明了所有乐音——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。每一个乐音除了音值（声音的长短）以外还有 3 个要素，即音高（音调）、音量（响度或声强）和音质（音品或音色），将它与其他乐声区别开来。

2.2 从希帕恰斯到普森——星星亮度的“对数尺”

1．量化星星亮度的“对数尺子”

“天街夜色凉如水，卧看牵牛织女星。”在中国唐代诗人杜牧的《七夕》诗中，以这样优美的诗句来描写宫女哀怨与期望相交织的复杂感情。当我们在“银河泻影，丹桂流香”的中秋之夜，面对繁星满天的夜空“巡天遥看一千河”时，就会发现天上的星星（包括恒星和其他天体）的物理亮度（以下简称亮度）各不相同。那么，我们的眼睛对亮度的感觉与光的强度（物理学上叫光强）又有什么关系呢？

诺曼·罗伯特·普森

1856年，英国天文学家诺曼·罗伯特·普森开始定量解决这个问题，并得到了正确的答案，这也是他在天文学上最广为人知的贡献。他用对数标度把天体的亮度分成等差级数的6个等级，称之为目视星等（以下简称视星等或星等），通常在数字右上角标注小写字母“m”来表示。例如，北极星为2m ，轩辕十四为1.35m 。1等星（1m ）最亮，2等星（2m ）暗一些……6等星（6m ）最暗。因为诺曼·罗伯特·普森对天文学的多项贡献（例如还发现了8个小行星），1830号小行星和月球上的一个火山口都用他的名字命名；他的女儿伊丽莎白·艾西丝·普森也“沾了光”，她父亲发现的第42号小行星（育神星）被命名为艾西丝（Isis）。

后来，对亮于1m 的星，依次延伸为 0m 、-1m 、-2m ……例如，全天最亮的恒星天狼星为-1.45m ，金星在最亮时为-4.4m 。

对暗于6m 的星，则依次延伸为7m 、8m 、9m ……例如，肉眼看不见的巴纳德星为10m 。

诺曼·罗伯特·普森指出，我们在地球上用仪器测定亮度相差约 2.512 倍的两颗星，用肉眼看起来只感觉相差1等。例如，在地球上看起来1等星只比3等星亮两个等级，但它们的亮度之比却是1︰2.512^3 -1≈1︰6.3。

2．“对数尺子”的来历和希帕恰斯

那么，这个 2.512 又是怎么来的呢？它与对数又有什么瓜葛呢？原来，星等就是星星的亮度的负对数，而这个对数的底是 ≈2.512。

那这个 中的5和100又是怎么来的呢？原来，普森把6等星的“6”减去1等星的“1”，就得到5；1等星与6等星的亮度之比是100。所以， ≈2.512 就被后人称为普森比率。而这个 100 来自普森根据约翰·弗里德里希·威廉·赫谢尔的实际观测。

下面，我们用这个方法计算一个实例。我们用光度计测得某一颗星的亮度是1等星的1/40，那么，它的星等就是1+ 等≈5等。

当然，星等大小还可以由采用了常用对数的普森公式m_2 −m_1 =−2.5lg（L_2 /L_1 ）得到。这里的m是天体的星等，L是这个天体的亮度。

由此还可以看出，星等有可能出现前面提到的小数。比如，满月时月光的亮度是-12.6等，而太阳最亮时是-26.8等。

不过，最早把星星分成6等的并不是普森，而是希帕恰斯。他把整个天空中大约20颗最亮的恒星定为1等，把用肉眼勉强能看到的最暗的星定为6等。从此，星星的亮度单位星等就被沿用下来。

希帕恰斯是西方天文学的创始人、古希腊最伟大的天文学家。他对天文学的贡献包括发现岁差和精确的天文观测。例如，他测得回归年的时间长度和现代值相差不到 6 分半钟。他也是一位贡献卓著的数学家，开创了三角学的研究。希帕恰斯对后世的影响如此之大，以致反复被各种媒体提及，中译名也多得出奇，比如伊巴谷、希帕克、希帕库斯、希帕科斯、西帕恰斯、西帕克斯、西帕求斯……

希帕恰斯

那么，希帕恰斯又是怎样有“先见之明”，科学地把星星的亮度分为6个等级的呢？

著名的古建筑七大奇迹之一的太阳神巨像曾坐落在希腊第四大岛——爱琴海的罗得岛上。大约在三十而立之年，希帕恰斯在罗得岛上建起了观星台，不停地“巡天遥看一千河”，探索“头上的星空”。一次，他在天蝎座中发现一颗陌生的星。他凭借丰富的经验判断这颗星不是行星，而且前人没有记录它。这是什么天体呢？于是就引出了细心的他的一个重要思路：决定绘制一份详细的恒星星图。经过顽强的努力，一份标有1000多颗恒星精确位置和亮度的恒星星图终于在他手中诞生了。为了清楚地反映恒星的亮度，他把恒星亮度分成等了6个等级，把肉眼（当时没有天文望远镜）看起来最亮的20颗恒星定为1等星，把能看到的最暗的恒星定为6等星。就这样，6个等级的星星亮度的目视星等区分法就诞生了。

当然，普森公式的创立还得感谢19世纪上半叶发明的分光计，以及将在2.3节中提到的厄恩斯特·海因里希·韦伯和费希纳对人体感觉的研究。

17世纪天文望远镜诞生以后，人们用它发现了更多更暗的星星，于是又有了前面提到的7等星、8等星、9等星……

当然，如果用人眼的感觉来估计星星的亮度，无疑会产生误差——人差。例如，出生在德国的英国著名数学家、天文学家弗里德里希·威廉·赫谢尔发现天王星的时候，把它定为20等，而在20世纪，天文学家们则把它更准确地订正为14等。

弗里德里希·威廉·赫谢尔

约翰·弗里德里希·威廉·赫谢尔

那么，西帕恰斯把星等分成 6 个等级有没有科学性呢？

1830年，弗里德里希·威廉·赫谢尔唯一的儿子，英国数学家、天文学家约翰·弗里德里希·威廉·赫谢尔把这6个等级的星星的亮度详细测定出来，结果发现1等星的亮度大体是6等星的100倍。这样，普森根据他的这一研究成果才有了前面说的用亮度相差 （约2.512）倍来区分星等的科学“对数尺子”，并沿用至今。

由此可见，西帕恰斯把星等分成6个等级是有科学性的。

3．绝对星等是“公平尺”

但是，上面这种不考虑星星离我们远近来比较亮度的星等计算法，显然对遥远的星星有失公平。于是科学家们又心生一计，采用绝对星等M来进行计算。

依然闪烁的昨夜星辰，哪一颗最亮？

绝对星等是指在距离天体10秒差距的位置看到的亮度，通常在数字右上角标注大写字母“M”来表示。秒差距（Parsec，缩写为pc）和光年（light year，缩写为l.y.）都是天文学上的“大尺子”：1 pc≈3.2616 l.y.≈3.0857×10^16 米。

例如，太阳最亮时的绝对星等为 4.83M ，这样视力稍差的人就看不见，因为他站在距离太阳约32.616光年的地方。又如，绝对星等最大的星天蝎ξ_1 比太阳亮50万倍。

某个天体的M和m用公式M=m+5-5lgd进行换算。式中，d为观测点（例如地球）和该天体的距离（单位为pc）。例如，地球距太阳为1天文单位，即1.496×10^11 米=4.848×10-6 pc，那么，看到太阳最亮（m=-26.8）时，M=-26.8+5-5lg（4.848×10-6 ）M ≈4.8M 。这个结果和上述4.83M 吻合。

对天文学家来说，绝对星等比目视星等更为重要，因为它更能反映恒星的真实发光本领。天文学家通常把星星的发光能力分为25个星等，最强的与最弱的相差大约100亿倍，同时，这也是衡量恒星年龄、寿命的参数以及演化进程的标志。

4．照相星等

此外，天文学上还有照相星等的概念——用光的波长来当“尺子”。

照相星等的UBV（测光）系统，是通过在检测系统前放置标准滤光片对天体在3个波长段的辐射进行测量得到的。3个波长段指：ⓐU段的波长为360纳米上下，测量近紫外线成分，所得为紫外星等；ⓑB段的波长为440纳米上下，测量蓝色成分，所得为蓝色星等；ⓒV段的波长为550纳米上下，测量黄、绿色成分，和人眼所见亮度接近，所得为可见星等。这3个星等的每一个又各自分为视星等和绝对星等。

UBV系统是国际上的标准测光系统，由两位美国天文学家约翰森和威廉·威尔森·摩根在20世纪50年代首先提出。

当然，类似的测光系统还有更复杂的 uvby 测光系统（四色测光系统），它由曾两度在美国工作的丹麦著名天文学家斯特龙根于20世纪50年代提出。另外还有Stebbins-Whitford-Kron六色（UVBRGI）系统等。

此外，人们还根据不同需要提出了种类繁多的星等，如仿视星等、热星等……

2.3 借得贝尔寻规律——噪声的“对数尺”

1．用常用对数度量噪声

当今世界，各行各业高度发达，然而各种污染也十分严重，特别是近年日益受关注的噪声污染已严重影响人们的工作效率和身心健康。

其实，噪声和对数也有密切关系！

为了研究包括噪声在内的各种声音，科学家们研究出了能准确量度声音响度的方法。这种响度的单位就是“级差”的单位“贝尔”（Bel，缩写为Bl或B），以出生自苏格兰的美国电话发明家贝尔命名。这样，1贝尔、2贝尔、3贝尔等，对于我们耳朵的响度感觉就构成了一个等差级数。这些声音的强度——准确地说是能量——就成了一个公比是10的等比级数。也就是说，如果两个声音的响度相差1贝尔，那么它们的强度（即声强）就是1︰10。可以看出，声音的响度用贝尔来表示的时候，正好是它的声强的常用对数。

你看，对数在研究声音的时候又大显神通了。

有的时候，人们嫌贝尔这个单位太大，就用它的1/10作为实用单位，叫分贝（decibel，缩写为dB）。

贝尔

下面用几个实例来说明。

高声说话的响度是 6.5 分贝，是树叶的沙沙声的响度 1分贝的 6.5 倍。可以算出，前者的声强是后者的 106.5 -1 倍，约为316 000倍。

尼亚加拉大瀑布最大的噪声是90分贝，而锤子打在钢板上的声音可以达到110分贝，两者的响度相差20分贝，而声强之比则是1︰10^110 -90 =1︰10^20 。

《中华人民共和国城市区域环境噪声标准》（2004年发布）规定，以居住、文教机关为主的区域以及乡村居住环境的噪声白天应不超过55分贝，夜间应不超过45分贝；商业、工业混杂区白天应不超过60分贝，夜间应不超过50分贝；城市中交通干线两侧区域白天应不超过70分贝，夜间应不超过55分贝。而为了保护听力，噪声不应超过90分贝；为了保证工作和学习，噪声不应超过70分贝；为了保证睡眠，噪声不应超过50分贝。

2．韦伯-费希纳心理物理定律

那么，为啥我们耳朵的响度感觉不是与声强成正比，而是大致与声强的常用对数成正比呢？

我们先来了解一下 19 世纪的德国心理物理学家厄恩斯特·海因里希·韦伯和他的表弟与学生费希纳共同创立（老师创立后，由学生补充、完善）的韦伯-费希纳心理物理定律，即同一律。

韦伯

费希纳

同一律S=klgR（S为刺激强度R产生的感觉强度，k是比例常数）是一个实验理论，它是说人的一切感觉——包括听觉、视觉、触（肤）觉（含痛、痒、触、温度觉）、味觉、嗅觉、电击觉等——都遵从感觉不是与对应物理量的强度成正比，而是与对应物理量的强度的常用对数成正比的规律。

等分音符对应于频率（赫兹）的几何递增关系

当把同一律用于研究人耳的音调感觉时，音程（以音调增高为序）对应于频率的等比值增长，所以音程对应于频率比。例如，八度音（这里的“八度”指音阶上相应音程的位置）的第一音阶对应的频率比是2︰1，第五音阶对应的频率比是3︰2，第四音阶对应的频率比是4︰3，等等。当我们听到一串八度音阶的音符时，它们的频率实际上是以序列1，2，4，8，…递增的。因此，用音符写成的乐谱实际上是一把对数尺子，其中的垂直距离（代表音调）与频率的对数值成正比。

古希腊数学家毕达哥拉斯（以下简称毕氏）已经认识到了上述规律，他设计的完美比例音乐尺就循此规律。正是基于2︰1、3︰2和4︰3这3个比值（代表3个完全音程），毕氏发明了他著名的音阶。

此外，人耳对频率变化的声音特别灵敏，这也体现在人耳的听力范围（20～20000赫兹）上。用音调来表示的话，这个范围对应于10个八度音符——一支管弦乐队很少使用 7 个以上的八度音符。这比眼睛能感觉得到的波长范围（常人是400～760纳米，即紫光到红光的波长）要宽得多，后者还不到两个八度。

3．未完的探索

不过，到了20世纪，经过美国心理学家哈罗威尔·戴维斯等的探索，在1961年美国心理学家斯蒂文斯用幂（函数）定律对同一律提出了挑战，至今仍未分胜负。

幂定律又叫乘方（函数）定律，指人主观感觉到的大小（P）并不与刺激物理强度（K）的对数成正比，而是与K的乘幂成正比，即P=nKi （n和i分别是被评定的某种经验常量）。

哈罗威尔·戴维斯

斯蒂文斯

当然，常用对数这把尺子不只是用来描绘噪声。在家用电器中有控制音量、音调或亮度的旋钮或按钮，它们控制的是电器内部的电位器等电子元件，而这些电子元件的电阻值通常是按对数规律设计、制造的。选择电台或电视台的旋钮所控制的可变电容器也是如此。

2.4 里克特的尺子——地震中的对数

震惊世界的 2008年“5·12”汶川大地震已经渐行渐远，但里氏震级 8.0级那惊心动魄的破坏力至今仍让我们心有余悸。那么，里氏震级是怎么回事呢？

1．什么是里氏震级

描述地震的第一个参数是地震规模——地震释放的总能量，它的单位是里氏震级。

里氏震级全称为里克特震级，它是由美国加州理工学院的地球物理学家、地震学家里克特在研究加州地方性地震时于1935年提出的一种震级标度。经过同一所学校的美籍德裔地球物理学家、地震学家古腾堡等人的改进，现已成为国际通用的地震震级标准——称为里克特制。这样，里克特等人就为度量某次地震的“大小强弱”定下了一把公用“尺子”。

里克特

古腾堡

地震仪上记录的地震波

2．里氏震级的测定

在距离震中 100 千米处，如果地震仪记录到地震波的最大水平位移（振幅）n为1微米，那么地震的震级 L 就规定为 0 级，称为震级的基准震级，用L_0 表示，对应的振幅用n_0 表示。这里的0级是由公式L=lg（n/n_0 ）计算出来的。

利用公式L=lg（n/n_0 ），就能根据地震仪的记录，计算任何一次地震的震级。举例来说，在距离某次地震的震中 100千米处，地震仪记录到 n=10^3 微米，那么这次地震的震级就是L=lg（10^3 微米/1微米）=3。

这里的第一个问题是，为什么要选取n_0 =1微米？原来，这是当时广泛使用的伍德-安德森扭力式地震仪所能测到的最高精度。这种地震仪是由两位美国地震学家伍德和约翰·奥古斯特·安德森在1922年合作发明的。这位安德森还是天文学家，月球上的一座火山口以他的名字命名。

这里的第二个问题是，如果观测仪器没有在距离震中的100千米处，怎么办？这时就要根据距离的远近不同，按一定方法进行折算。

上述地震仪记录到距离震中100千米处的最大振幅，也反映出某次地震的震源中心释放出的总能量w。也就是说，总能量w和最大振幅有对应关系。如果最大振幅为1微米时的总能量是w_0 （大约是6.3×10^4 焦），那么震级每增大1级，w就增大 倍，也就是大约31.6 倍。这样，我们就可以由某次地震的震级 L 来计算它的总能量，即 。例如，对于8.0级地震， w_0 =10 w_0 ，即8.0级地震的总能量是0级地震总能量的10^12 倍（w8.0 ≈6.3×10^16 焦）。12 同样，也可以根据两次地震的震级比较它们的总能量的大小。例如，假设两次地震的震级分别是7级和5级，那么它们的总能量之比就是 ，即1000。比如，8.8级（2010年2月27日智利地震）与8.0级（“5·12”汶川地震）地震的总能量之比是 ，约为16；而2015年尼泊尔博克拉地区的“4·25”地震（8.1级）与中国“5·12”汶川地震的总能量之比则是 ，约为1.4。

震级和总能量的近似值有下表所示的大致对应关系。

震级及其对应的总能量

震级通常定为0～9共10级，但理论上没有上限或下限。至今实际检测到的最大陆地地震的震级为8.9级（一说后来修订为9.5级），即1960年5月21日的智利大地震；而检测到的最大海底地震的震级为9.0级，即引发2004年12月26日印度洋海啸的地震和引发2011年3月11日日本东北部近海大海啸的地震。随着仪器精度的提高，现代精密地震仪经常记录到负震级的地震，例如振幅为 0.1微米的地震。此时，震级为lg（0.1微米/1微米）级=-1级。目前能记录到的最微弱的地震是-3 级。我们知道的历史上最大的陆地地震是墨西哥尤卡坦半岛地震。德国波茨坦地理研究中心从2001年12月起开始的研究表明，在距今大约6500万年前，一颗小行星撞到尤卡坦半岛上，以大约相当于100亿颗在广岛爆炸（1945年8月6日）的原子弹“小男孩”的威力，在地球表面撞出了几千米深的大裂缝，引起12.55级的强震。

3．地震的烈度

描述地震的第二个参数是地震烈度，即在地震波及的范围内某个地点地面振动的激烈程度或地面受到影响的程度。世界各国或地区对地震烈度的评定和依据不完全相同，但都有上限和下限，烈度越大，地面振动越厉害。例如，中国大陆与美国都是分为Ⅰ～Ⅻ度（或1～12度）。

显然，地震震级和地震烈度是两个完全不同的参数。对于某一次地震，震级只有一个，反映所释放的总能量的大小，与观测者的主观感觉无关。而对于同一次地震，不同地点的烈度不一定相同，而且可以有无穷多个。观测处的地震烈度受震级、震源深度、与震源的距离、地质构造等多种因素的影响。正因为震级和烈度是两码事，加之受地震影响的地区的人口密度不同，所以能轻易解释有的大地震（震级大）所造成的死亡人数反而比小地震（震级小）少，财产损失也小。

遗憾的是，在报道2008年中国“5·12”汶川地震与2015年尼泊尔博克拉地区“4·25”地震时，许多媒体都把烈度多少度说成震级多少级。例如，说“某房屋能抗 7 级地震”。正确的说法是“某房屋能抗 7 度地震”，房屋抗震只能说抗多少度，不能说抗多少级。在中华人民共和国原建设部颁布的《住宅建筑规范》（GB 50368—2005，2006年 3月 1日起实施）中，只用“抗震设防烈度”来强制规定不同住宅的抗震要求，通篇只字未提“震级”二字。此外，把地震烈度解释为（例如房屋）“受到破坏的程度”也不妥，因为受到破坏的程度不但取决于烈度，还取决于当地的地质结构和地面物体（例如房屋）的坚固程度等许多因素。

4．震中烈度

为了把地震震级和它对地震中心一带地面受影响的程度联系起来，科学家们还使用了“震中烈度”这个参数。它是指某次地震中心一带地面的最大烈度。举例来说，前述汶川地震与尼泊尔地震的震中烈度都大约是 11 度，接近 12 度的上限。

震中烈度和震源深度在10～30千米范围内的震级大致有下表所示的关系。

震级与震中烈度关系表

5．里氏震级的改进

用里氏震级来度量地震的大小强弱不是完美无缺的。

用里氏震级的主要缺陷是，它与震源的物理特性没有直接的联系，并且由于地震强度频谱比例定律的限制，在8.3～8.5 级时会产生饱和效应，对于一些强度明显不同的地震，在计算后会得出一样的里氏震级。于是，到了 20 世纪末，地震学者普遍转而采用更能直接反映地震过程物理实质的矩震级。

金森博雄

首先在 1977年提出矩震级的是两位地震学家：加州理工学院的金森博雄以及后来曾在位于加州门洛帕克的美国地质调查局工作的汉克斯。不过，目前在民间还没有广泛采用矩震级。

经测算，“5·12”汶川地震的矩震级是8.3级。

2.5 科学家笔下的曲线——实用的对数图

常规的笛卡儿直角坐标系通常难以表示一些特殊的图像。例如，在电子学中要描绘电子三极管或晶体三极管的放大倍数β随它的工作频率f的变化曲线时，通常选β为纵轴，f为横轴。但是，此时如果要同时明显地表示出低频时与高频时β变化的详细情况，图像就会在水平方向上拉得很长而实际上根本无法画出来。此外，图像往往还是很不规则的曲线。

当然，有人会出主意说，把横轴f的单位选得大一些不就行了嘛！可是，这样做又要面临另一个尴尬：低频时β的变化非常不明显，以致几乎看不出这种变化。

但是，如果采用频率的对数尺度lgf为横轴，β（或 lgβ）为纵轴，就不会有这种尴尬了。

三极管β值随lgf变化的波特图

这种能避免以上缺点而应用广泛的对数图叫波特图，即波特曲线，由美国发明家、电子工程师亨德里克·韦德·波特于1938年发明。右图就是一种描述晶体三极管的放大倍数β随lgf变化的波特图，可以看出低频时β的变化不大，高频时β急剧下降。波特发明波特图时还没有出现晶体三极管，所以当初波特图的用途之一是描绘电子三极管（或由电子三极管组成的放大器）的增益特性。

对数图可以分为两类：一类是只有一个轴用对数尺度，它被称为半对数图；另一类是两个轴都用对数尺度，称之为复对数图。

下页中第一个图是半对数图的一个应用实例，表示 π 值小数点后的位数与时间的关系。图中纵坐标采用常用对数尺度，而横坐标（计算年份）没有采用对数尺度（公元前约2000年到公元1400年之间这一段被压缩），可以明显看出在 1949年使用电子计算机之后，π 值小数点后的位数随年份“高歌猛进”的大致情形。

π值小数点后的位数

要在同一个图中表示从小到纳米级的电子到大至光年级的星系等典型物体的尺度绝非易事。但是，若用复对数图（见下图），问题就迎刃而解了。

宇宙中特色结构的尺度与质量

在分析举重者的体重与世界纪录的关系时，如果用常规直角坐标尺度，就看不出其中的规律了。但是，如果取举重者体重的 2/3 次幂的常用对数，并取对应级别的举重世界纪录的常用对数，就能看出这两者大致成正比例关系（见下图）。显然，这种近似的正比例关系恰好表明，举重者能举起的重量并不与他的体重成正比。不但举重者如此，普通人也是如此，甚至连动物也是如此，都遵循“举起的重量并不与它的体重成正比例”的规律。事实上，一只蚂蚁可以移动比它自身重量大几十倍的物体，一条小狗也能轻而易举地驮起同样重的两条小狗，但一匹马却难以驮起同样重的另一匹马。

举重者体重与世界纪录的关系

第3章 奇趣就在对数中——从“乌龙”到海难

真正的美包含在“生活就是快乐”的思想中……

——日本宗教家、作家池田大作

对数的发明，不但让数学家们长上了翅膀，延长了他们的科学寿命，而且还给我们带来了许多乐趣。

3.1 2>3——欧拉时代的人自摆乌龙

“证明”2＞3，是对数的一个“喜剧”。

“喜剧”的“揭幕”平淡无奇：1/4＞1/8。

接下来的“剧情”也波澜不惊：（1/2）2 ＞（1/2）3 。

由于较大的数的对数也较大，所以把这个式子两边取常用对数之后，就有

lg（1/2）2 ＞lg（1/2）3

或

2lg（1/2）＞3lg（1/2）。

把它的两边约去lg（1/2），就得到2＞3。当然，这个“落幕”明显大跌眼镜，“喜剧”变成了“悲剧”。

那么，“喜剧”是怎样变成“悲剧”的呢？

欧拉时代的一些人说，由于（-x）2 =x^2 ，当x≠0 时，lg（-x）2 和 lgx^2 都有意义，所以 lg（-x）2 =lgx^2 。又由对数公式 lg Nn =n lgN 可知，lg（-x）2 =lgx^2 可变形为2lg（-x）=2lgx，从而有lg（-x）=lgx。于是踢进“乌龙球”：-x=x。

欧拉问，他们错在哪里？而我们要问，lg（-x）=lgx这个“数学怪物”是怎么得到的呢？

其实，“犯规”就在lg（-x）2 =lgx^2 变为2lg（-x）=2lgx这一步上。

事实上，lg（-x）2 =lgx^2 应变为 2lg︱-x︱=2lg︱x︱。因为我们知道，不管x为正数或负数，-x和x中总有一个是负数，从而使lg（-x）和lgx中总有一个是负数而在实数范围内“没有意义”——真数N必须大于0。

所以，我们在使用对数运算法则公式lgNn =nlg N的时候必须注意：当n是偶数，但又不能确定 N 的正负时，必须写成 lgNn =n lg︱N︱，以防止 lg（-x）=lgx而得到-x=x这类谬误。

像这类对复数认识不清而引起的错误还表现在让根号内的负数“自由进出”。欧拉所著《对代数的完整介绍》是 18 世纪公认的最好的代数教科书，其中就有这样的错误：因为 ，所以 。而我们知道，在根式运算中，根号内至少要有一个非负数时这张“通行证”才能自由进出。

这里出现的这类悖谬有时被我们归入悖论之中，虽然这类悖谬并不是严格意义上的悖论。然而，悖论并不一定是“毒草”，正如美国作家法雷塔在 1983年出版的《故事摭集：悖论、谜题、不可能的图形》一书第230页所说：“一个悖论是站在真理之上而引起人们注意的真理。”因为它会引起我们的深刻思考而使我们获益。

也许是想起了欧拉和他之前这些先贤的失误，距欧拉 200多年以后的 1979年 7月，美国物理学家、数学家麦明还在他发表的论文《拓扑理论的缺陷》中“心有余悸”：“如果让只是仅仅懂得实数正确定义的人去设计桥梁，桥梁肯定不会安全。”

“头顶上套袜子——面子上过不去。”用这句中国的歇后语来描绘欧拉时代那些人“不如”当今中学生的“悲剧”，并没有太多的不妥。但是，我们不但应该看到相隔近300年的两个时代没有可比性，而且应领悟到科学发展和科学贤哲们的确走过了许多曲折道路！于是，法国思想家、哲学家、文学家狄德罗说：“为了追求真理，我们注定要经历挫折和失败。”

面对我们心中的权威——欧拉和与他同时代的数学巨人们的失误，我们用得着中国科学家王选的一句名言：“对权威的轻视是无知的，对权威的迷信是盲目的。”

3.2 对数的奇迹——速算大师、麦粒与金盘

1．100万的诱惑与“泡汤”

一场速算大师夸下海口的表演明天就要举行了。

这位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来。当然，涉及的全体数都是整数。

如果表演失败，他会给出题人100万元人民币！

表演前的头一天晚上，许多数学爱好者的家中灯火通明。当然，不单是为了这100万元，更重要的是要证明不可能发生这样的“奇迹”。

你，也是其中一员。

或许，你“充分准备”了几个小时，如果没有函数型这类能计算开高次方的计算器或计算机的话；或许，你只“充分准备”了几分钟，如果有这类计算设备的话。结果，你准备的题目是“计算一个35位整数的31次方根”。“就用它去拿100万元吧！”你默念着进入梦乡……

第二天，表演准时进行。“请速算大师把这个35 位数的 31 次方根心算出来！我念，你写。”自信的你第一个出题，以挑战的口吻大声说。

“13。”还没有等你把数字念完，速算大师就给出了答案！

这时，全场目瞪口呆，接着议论纷纷。还不知道要写什么数，居然就能得到答案，而且还快如迅雷闪电！

没等你念完，速算大师就有了答案

惊讶的你呆呆地站在那里——“见过算得快的，没见过算得这么快的……”

2．自己做主当速算大师

其实，得到这个答案没有一点玄机——只有13的31次方是35位数。比13小的数的31次方少于35位，比13大的数的31次方多于35位。

现在的问题是，速算大师怎么会事前知道这一点呢？他并不知道题目啊！

原来，速算大师的“法宝”就是对数。

前面的一二十个自然数的两位常用对数，速算大师早已默默地牢记心中。

可能有人会说，记这一二十个自然数的两位常用对数太困难了。其实，非常简单。因为记忆它们，只需要记忆几个数的两位常用对数就行了。

为什么呢？因为其中合数的常用对数等于它的素数因数的常用对数之和。因此，如果只记前10个自然数的常用对数，只要牢记2，3，7的两位常用对数分别是0.30，0.48，0.85就行了，其他7个自然数的常用对数很容易很快推算出来。例如5的常用对数就是10的对数1.00减去2的常用对数0.30，答案是0.70。

当然，如果你还要记11～20的常用对数，就还要记11，13，17和19的常用对数。

前 20 个（只写出“主要的”15 个）自然数的两位常用对数列于下表，其中只有7个斜体数的对数是要“死记硬背”的。正如前面所说，对于这前20个自然数的两位常用对数，速算大师是倒背如流的。

部分数的常用对数近似值

好了，现在回到前面速算大师虽然不知道35位数的具体数字，为什么却能很快得到答案的问题上来。请看下面这个问题：lg（35位数字开31次方）=34.…/31=？

由于34/31=1.09…＞1.09，所以1.09是34.…/31的下限。

又由于35/31=1.12…＜1.13，所以1.13是34.…/31的上限。

这样，就知道1.09＜34.…/31＜1.13。

显然，上表中满足这个条件的只有1.11，它是13的常用对数。这就是13这个答案的来源。

当然，要当这种速算大师，还得有心算两位数除法的基本功。

说起速算大师，也许我们会觉得很神奇，而且离自己相当遥远。其实，在掌握了一定的方法之后，我们自己就能成为速算大师。不但如此，我们还能识破某些表演中的玄机。下面就是一个实例。

2014年1月17日夜，“中国雨人”出现在《最强大脑》电视节目里。他只用1分钟就说出16位数1 391 237 759 766 345的14次方根是12.0（小数点后第二位被舍去，即没有采用四舍五入），引得全场震惊。其实，这没有什么值得震惊的。计算的方法与上述“35 位数开 31 次方”类似，唯一不同的是要把上表中的对数值背到小数点后3位。这道题准确的答案是12.069…。

下面这道题供你计算练习：把一个20位数开60次方。

答案是2。

3．速算大师们的惊人表演

据说，在 1844年仅仅花了两个月就算出 201 位 π 值的德国数学家达什“也许是前所未有的心算家”。例如，他能在52分钟内心算出一个100位数的平方根。其实，作为速算大师的我们和他相比也毫不逊色。到了20世纪，这类心算表演依然不衰。1976年8月27日，荷兰数学家威廉·克莱因仅用163秒就计算出一个500位数的73次方根，被吉尼斯世界纪录收入。1981年，他又仅用了88.8秒求出一个 100位数的 13次方根。不过，这位心算大师却很不走运。1986年8月 1日，他在阿姆斯特丹的家中被人用小刀残忍地杀害，凶手一直没有被找到。真是“诸行无常，祸福相依”啊！

戴维夫人

但是，还有更“牛”的——被誉为“人脑计算机”和“印度数学女巫”的速算专家戴维夫人。1980年6月18日，在伦敦的帝国学院大厅内众人面前，她仅用28秒就算出了用计算机随机抽取的两个13位数的乘积（曾载入 1982年吉尼斯世界纪录）：7 686 369 774 870×2 465 099 745 779=18 947 668 177 995 426 462 773 730。她的惊人表演还有很多。比如 1977年在美国得克萨斯州的南方卫理公会大学与一台先进的电子计算机UNIVAC 1108竞赛。一位教授用了4分钟在黑板上写下了201位的大数A=916 748 679 200 391 580 986 600 275 853 810 624 831 066 801 443 086 224 071 265 164 279 346 570 403 670 965 932 792 057 674 808 067 900 227 830 163 549 248 523 803 357 453 169 351 119 035 965 775 473 400 756 816 883 056 208 210 161 291 328 455 648 057 801 588 067 711，要算它的23次方根。仅仅过了50秒，她就得出了答案546 372 891。此时计算机还在“编程”，最终用时60秒。此事引起了世界轰动，据说曾让中国数学家华罗庚在《数学情报》（又译作《数学信使》或《数学情报员》，德国施普林格出版公司主办）上撰文《天才与实践》赞扬这位“数学魔术师”，并提出了自己用计算器进行计算的一种巧妙算法。

华罗庚的算法如下：把A写成916…711≈（9.167 486 792×10^16 ）×（10^8 ）23 ，然后把9.167 486 792×10^16 输入计算器开23次方，得到5.463 728 910；而（10^8 ）23 的23次方根为10^8 。这样，答案就是5.463 728 910 ×10^8 =546 372 891。这里的问题是：为什么只取A的前10位数字（即9 167 486 792）来组成9.167 486 792呢？原来，这样做并不影响A开21次方的整数部分的结果。

勒迈尔在计算200位数的13次方根

也许唯一能和戴维夫人比肩的是号称“人体计算机”的法国计算机专家勒迈尔。继2007年7月30日在英国牛津科学史博物馆仅用77.99秒就算出一个200位数的 13 次方根之后，他又在同年 11月 15日在巴黎附近的兰斯大学仅用 72.4秒就心算出由计算机系统任意选出的一个200位数的13次方根。仅仅25天后的2007年12月10日，勒迈尔就把计算任意一个200位数的13次方根（答案是2 407 899 883 032 220）的时间缩短为70.2秒。

而在 2007年之前，勒迈尔早已不止一次打破各路高手计算任意100位数开13次方的纪录：2002年5月10日用13.55秒打破威廉·克莱因的88.8秒，以及德国心算大师、智力运动会组织（Mind Sports Organisation，MSO）2004～2012年间连续各届心算比赛金牌得主米特林的39秒（另有13.3秒和2004年11月23日的11.8秒不被算作正式成绩）；2004年12月17日用3.625秒算出100位数3 893 458 979 352 680 277 349 663 255 651 930 553 265 700 608 215 449 817 188 566 054 427 172 046 103 952 232 604 799 107 453 543 533的13次方根为45 792 573。

米特林在计算中

4．国际象棋棋盘上的麦粒5．梵塔针中穿金盘

那么，上述请你计算的那个20位数是多少呢？

是那个“国际象棋格子里摆麦粒”故事里的麦粒数加1，即2^64 =18 446 744 073 709 551 616。

那个著名的故事说，古印度发明国际象棋的数学家、宰相达依尔为了教训自负虚浮的国王舍罕，要喜爱国际象棋的舍罕奖赏给他麦粒，从第一个棋盘格子奖1粒开始，其余63个格子依次加倍。国王不知“有诈”，哈哈大笑，爽快答应了“宰相爱卿”这个“谦卑”的要求。

第一个格子奖1粒，其余63个格子依次加倍

不过，国王很快就为自己的爽快后悔不迭。可以算出，奖赏的麦粒总数应是1+2^1 +2^2 +…+2^63 =2^64 -1=18 446 744 073 709 551 615。据说，这些麦粒超过2587亿吨，举倾国之力也拿不出来！而以色列数学史家马奥尔在《e 的故事：一个常数的传奇》中说，如果将这些麦粒（假设每1粒长2毫米）挨着排成一条直线，长度将达到大约1光年，即地球到（半）人马座α星（太阳系外离地球最近的恒星）距离的一半。

这个故事的另一个版本是，古印度国王和宰相分别被换成了11世纪的古波斯国王马列克·沙赫（Malaek Shah）与贫苦的农民。这种说法的可信之处在于，“chess”（国际象棋）一词正好源于这位国王名字的一部分Shah。当然，这有可能是巧合。

在欧美青年喜欢的《五十个寓言故事集》中，有一篇名为“没有结局的故事”，其中也有一个无穷麦粒的故事。远东某地一位忧愁的国王为了打发时光就发布告示说，如果谁能不断地给他讲故事，就选择他作为附马并继承王位，否则就会被杀头。结果一个故事高手让国王赔了女儿又折“面子”。他的故事梗概是：一群蝗虫从一个大粮仓的小裂缝飞进去搬出麦粒，但一次只能飞进去一只搬出一粒，于是蝗虫们采用“车轮战”，一只接一只进去又出来。一年就这样过去了，麦粒还没有搬完，到第二年快要结束的时候，国王沉不住气了……

前面那个20位数也和下面的古印度梵塔问题有关。

流传在中东地区的故事说，古印度北部恒河河畔梵城印度教湿婆派教徒的胜地（也是婆罗门教和印度教的文化中心）——“世界中心”贝拿勒斯圣庙里，供奉着印度神主教梵天在创造世界的时候制造的3根黄铜底座的宝石塔针。每根宝石塔针高约50厘米，有蜜蜂的身体那么粗，其中一根上穿了64张上小下大的有孔金盘。梵天要求值班的僧侣按“一次移动1张金盘，不准放在其他地方，不准上大下小放置”的规则，把这些金盘在3根针上搬来搬去，最终搬到另一根塔针上去——此时“世界末日”就到了。

值班僧侣用约5849亿年搬金盘

这个著名的梵塔问题又称为汉诺塔问题或河内塔问题。搬的次数加1也是那个20位数，如果 1秒钟搬1张金盘，要用（2^64 -1）秒=18 446 744 073 709 551 615秒，约合5849亿年。

这个趣味故事的另一种版本说，针高2米，每张金盘厚3厘米，搬完后喜马拉雅山就会变成一座金山。

据说，酷爱数学的英国历史学家、数学家鲍尔首先把这个问题介绍给了数学家们。法国数学家鲁卡斯曾在约1883年正确地解答过这个问题。

用4张扑克牌玩“山寨梵塔游戏”

你想玩“山寨梵塔游戏”吗？如果要玩，就准备一副扑克牌吧，先从4张牌开始：一张A（代表1）、一张2、一张3、一张4。目标是将空间P的牌放到空间R中去，但要遵守以下规则：ⓐ一张点数大的牌不能放在一张点数较小的牌的上面，例如不能把2放在A上面，但可以把A放在2、3或4上面；ⓑ每次只能移动一张牌到新的空间；ⓒ不能在中间抽牌；ⓓ可以放在空间Q（空间P、Q、R对应梵塔游戏中的3根针）中进行过渡。

如果你掌握了从A到4这4张牌的玩法，那么就可以把牌依次增加到5张、6张……

3.3 狄拉克也会疏忽——3个2的奇趣

1933年，（只）有两位科学家站在诺贝尔物理学奖的领奖台上，其一就是大名鼎鼎的英国物理学家、数学家狄拉克。他之所以有建立狄拉克方程等对量子物理学的卓越贡献，与他自幼酷爱数学且才华横溢有关。

狄拉克

1927年 2月，狄拉克到德国哥廷根大学访问。在这里的几个月时间里，正逢校内许多出类拔萃的师生沉缅于一道题目：只用4个2及所有可利用的数学符号，诸如加、减、乘、除、乘方、开方等，将 1 和 100 之间的所有自然数 N表示出来。这里将这类问题称为组数问题。参加比赛的人给出了诸如 ，， ，，6=2 × 2^2 −2等答案，但没人能表示出1和100之间的所有自然数。

狄拉克经过一番思索后，很快就给出了只用3个2表示任何N的通解公式：

当然，狄拉克解的已经不是“用 4 个 2……”那道题了。但是也可以看出，狄拉克的巧妙方法的确放射出智慧的光芒，因此被许多报刊图书所传扬就不足为奇了。

然而，我们要问地下的狄拉克先生，你当年所说的“数学符号”的含义是什么？狄拉克当然会回答：“就是除了给出的阿拉伯数字外的任何数学符号，当然不能用没有给出的阿拉伯数字。”

我们再问：可不可以用隐含阿拉伯数字的符号呢？他略加思索后会回答：“可以。”他不能回答“不可以”，因为他已使用了隐含有另一个“2”的“ ”（“ ”的简写）了。

好了，既然“可以”，那我们会对狄拉克说，你的解答并不出色，我们的武器多得很，如π、e、小数点、对数、三角函数、阶乘、排列、组合……

例如，我们可以不用任何阿拉伯数字“组合”出1（=-cosπ=lne）、0（=tanπ=-tanπ=sinπ=-sinπ）。

小数点也很有用。例如，如用2，4，5及数学符号组成9的一种解是4.5×2=9。

阶乘（符号为“!”）可把2以上的数“组合”到足够大。例如，3！=6，（3！）!=720。

排列、组合可将—个或两个数“组合”成新的数。例如，给出3，可得到6=P_3 （这里的全排列国际数学界通用符号 P 是 permutation 的缩写，例如P_3 = ）；如给出2和4，可得12= ，6= ，等等。

以上不过是一些示例，实际上数学符号很多。有了它们，就可以用3个2（或4个2）组成任何自然数。例如，“用3个2组成485”这个题的答案之一是：用一个“-cosπ”加上22^2 ，就是485。

这时你会看到，用这种规则“组数”没有任何意义。那么，问题出在哪儿呢？出在我们从狄拉克至今的疏忽：用了隐含另一个 2 的 ，即承认可用隐含阿拉伯数字2或其他数字（例如π和e）的符号。

或许狄拉克会说，我们的规则就是允许用开平方符号（“ ”）的。那么我们说，这个规则缺乏科学性，因为开平方仅仅是开方中的一种，只有开方才能与加、减、乘、除、乘方等运算并列，而开平方是不能与另外几种运算相提并论的。

对于我们的“高谈阔论”，如果狄拉克先生地下有知，当在略表遗憾之后欣然露出笑颜。

组数问题也是一个古老的问题，许多著名数学家都曾兴致勃勃地研究过。例如，法国数学家鲁卡斯就曾研究过用1～9这9个数字不重复不遗漏地组成一个分数来表示100（例如96+ ）的问题，他最终找到了总共11种表示法中的7种。

1953年，德国-英国-澳大利亚数学家马勒和荷兰数学家博肯提出了一个至今没有解决的有趣而“简单”的组数问题：仅用若干个“1”、“+”、“×”、“（）”组成任意大小的数 n，问要用到的 1 的最少个数 f（n）=？例如，80=（1+1+1+1） ×（1+1+1+1）×（1+1+1+1+1），用到13个1，也就是f（80）≤13。

接下来，两位英国数学家康威与盖伊证明，f（3k ）=3k（k 为自然数），而且3log_3 n≤f（n）≤5log_3 n。那么，f（n）～3log_3 n成立吗？已知的一个结果由美国计算机专家兰斯托尔纳在1989年经过计算证明：当n 是2a 3b （a，b为自然数）的形式，而且当n≤3^10 时，有f（n）=2a+3b。那么，当n＞3^10 时，类似的结果成立吗？此外，有两位中国教师猜想：当n→∞时，f（n）→（3+ε）log_3 n（其中ε为任意实数，0≤ε≤2）。

进一步，当n为素数p时，是否f（p）=1+f（p-1）总是成立？f（2p）=min{2+f（p），1+f（2-1）}总是成立吗？

3.4 错误对数表惹祸——海难、蜜蜂和数学家

一只船在大海上航行时遇难，而这次海难的罪魁祸首是一张距今两三百年以前编制的对数表。海难后偶然发现，“船长是根据这张有错的对数表来计算经度的。”中国杂志《知识就是力量》在1956年第7期第37页这样写道。这只船是一艘“在不应该的情况下沉没”的英国军舰。

蜜蜂和蜂巢

那么，为什么这么长的时间都没有发现对数表的错误呢？这里还有一段有趣的故事。

“最令人惊叹的是蜜蜂……蜂房是蜂蜜的容器，它是许许多多相同的六棱柱体，一个接着一个，中间没有一点空隙。”希腊数学家帕普斯在3世纪的《数学汇编》一书第5卷中说，“这种设计的优点是避免杂物掺入弄脏这些纯洁的蜂蜜产品……蜜蜂凭着本能的智慧选择了铺满整个平面区域的正多边形（仅有三角形、正方形和正六边形满足条件）中角最多的六边形。因为使用同样多的材料，六边形比三角形和正方形具有更大的面积。从而可储藏更多的蜜。”这就是著名的蜂房猜想。

《数学汇编》，意大利数学家科曼迪诺译，1589年出版

在3世纪，古希腊黄金时期已经过去，亚历山大（今属埃及）出现了一批以收集和整理先贤的文字言论、考释与评注古代著作为己任的学者，帕普斯就是其中的佼佼者。涵盖了希腊几何全部领域的8卷本巨著《数学汇编》（第1卷和第2卷的一部分失传），是继欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图等的著作之后最重要的希腊数学著作，也是帕普斯唯一流传下来的著作。因为帕普斯的工作才有诸如意大利数学家科曼迪诺翻译的《数学汇编》在1589年出版。幸亏有流传下来的《数学汇编》的珍贵记载，我们才知道“三大作图问题”的种种尝试；才知道希腊数学中颇为新颖别致的极值问题，例如“圆面积大于等周的正多边形面积”“球体积大于等面积的其他立体的体积”；才知道“旋转体的体积等于生成它的平面图形的面积与其重心绕轴旋转一周所成的圆周长的乘积”（叫帕普斯几何中心定理），等等。但是，帕普斯没有证明远早于瑞士数学家古尔丁在17世纪的相同发现——古尔丁定理或帕普斯-古尔丁定理（古尔丁初步证明，意大利数学家卡瓦列里严格证明）。

由此可见，在距今1600多年之前，帕普斯就断言：六棱柱形的蜂巢结构，符合在一定条件下取得最大容积的“经济效益”——蜜蜂用尽可能少的蜂蜡构筑了能尽可能多装蜜的蜂巢。

法罗

不过，据说帕普斯并非研究蜂巢结构的始祖。早在他之前300多年的公元前36年，古罗马学者、作家法罗在一本关于农业的书中就讨论了蜜蜂蜂巢的六边形结构。当时有两种不同的关于六边形结构的理论。一种理论认为，蜂巢之所以呈六边形，是为了更好地适应蜜蜂的6只脚。而另外一种理论则得到当时数学界的支持：蜂巢的结构可以用蜂巢的“等周长特征”给予解释。法罗写道：“蜂巢不是有6个角吗？几何学家已经证明：内接于一个圆形中的六边形包含了最大的空间。”可惜，这个古老的证明后来失传了，因此才有了帕普斯的“再研究”。由于法罗的研究失传，所以现在一般认为帕普斯的《数学汇编》是最早记载蜂房问题的文献。

那么，最省材料而容积最大的蜂房究竟是不是横截面为六边形的容器呢？

16世纪末开普勒就指出，蜂房的角应和斜方十二面体（也叫菱形十二面体）的角一样。斜方十二面体是由12个相同的菱形构成的多面体，有14个顶点，其中8个是三面角的顶点，6个是四面角的顶点。可惜他的发现没有被人们所重视，直到英国数学家、自然史学家、博物学家汤普森在1917年出版的《生长与形态》一书中的大篇幅记载和论述。事实上，蜂房的形状是这样的：底部的正六边形洞是蜜蜂的入口；顶部的3个全等菱形（都与六棱柱的轴等角度斜交）蜡板同时又是另一组六棱柱的底，3个菱形蜡板分别属于3个相邻的六棱柱；侧面是6个全等的梯形（见左图）。

一个倒置的蜂房

18世纪初，出生在意大利的法国天文学家马拉尔迪是正式提出蜂房结构的第一人。他在1712年出版的《蜜蜂的观察》一书中指出，蜂巢底部菱形（其一是上图中的菱形ABCD）的钝角应是109°28′，锐角应是70°32′，这样最省蜂蜡。不过，他没有说出这两个角度是怎么得来的。但人们猜测，这么准确的角度值不大像测量的结果，而有可能是从某种理论推导出来的。

大致同时，另一位法国科学家、列氏温标的发明者列奥缪尔也对蜂房问题产生了浓厚的兴趣。他猜测，蜂房那样的结构和形状一定最省材料，但他却不会计算。于是他向瑞士-德国数学家柯尼希请教。所以，蜂房形状问题也被德国教师、数学史家德里在他于1932年首次用德文出版（有根据1965年英文版翻译出版的1982年版中文译本）的名著《100个著名初等数学问题——历史和解》中称为列奥缪尔问题。终于，柯尼希在 1712年证实了列奥缪尔的猜测，他的计算结果为钝角109°26′，锐角 70°34′。然而，柯尼希的计算只是在《科学院文集》上登了一个简介，始终没有发表，所以至今不知道他用的是什么方法。此外，他的计算结果也使人迷惑不解：钝角和锐角都与马拉尔迪的说法相差大约2′。

这2′之差意味着什么呢？一种说法是，这2′太小了，蜜蜂做到这么准确已经不错了。另一种说法是，数学家和蜜蜂中总有一个错了。

苏格兰数学家马克劳林也研究了蜂房的形状。他在1743年发表的论文《关于蜂巢的底部》中，完全用初等数学的方法得出了让数学家们目瞪口呆的结果：这两个角分别是109°28′16″和70°31′44″，和蜂巢的准确值完全吻合。柯尼希算错了，马拉尔迪接近算对了！

马拉尔迪

列奥缪尔

柯尼希

马克劳林

那么，第一流的数学家柯尼希为什么会算错呢？蒙“冤”的他和当时的数学家都不明白。直到前述海难之后，印错的对数表才还给他清白。原来，柯尼希出错的原因是他用于计算的就是这种有错的对数表。

蜜蜂没有精密仪器，不用对数表，却能用两颚作为剪刀完成非常精致的建筑。成千上万间蜂房紧密排列，不但形状、角度都一样，而且体积也完全相同。不过，最让人类惊讶的还是这些蜂房为什么是“最经济形体”？就这样，连同仿生学的角度，“海难、蜜蜂和数学家”的故事，在最近半个多世纪就没有“坐冷板凳”，以致中央电视台国际频道于2004年10月14日也在题为“给建筑以生命”的节目中播出了这个故事的简略版。

1943年，专门研究几何学的匈牙利数学家陶斯巧妙证明，在所有首尾相连的多边形中，能够连续排列同样面积的几何图形最多有6条边，只有正六边形的周长最小；而且，在边长为直边的条件下，具有最小周长且可以对给定平面进行等量分割的方式，就是蜂房的那种正六边形。但是，如果多边形的边是曲线时又会怎样呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明。

陶斯

黑尔斯

1999年9月（2001年补充），美国密歇根大学的数学家黑尔斯考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突还是向内凹，都能证明由许多正六边形组成的图形周长最小。事实上，当多边形的边向外突时，其周长趋于减小，但外突的结果造成另一个多边形的边内凹，而外突带来的好处不能弥补内凹所产生的缺点，只有直边才是最佳的选择。这样，黑尔斯就解决了法罗和帕普斯的蜂房猜想——最省材料而容积最大的容器就是那种横截面为六边形的蜂房。

在两维平面上，数学家们解决了蜂房猜想，但在三维空间的蜂房猜想依然没有被证明：用同样大小、形状的巢房在空间进行排列，这种蜂房结构是表面积最小的结构吗？

全球移动通信系统示意图

当年，英国著名生物学家达尔文曾说：“如果一个人在观赏精密细致的蜂巢后不知道赞扬，那人一定是个糊涂虫。”看来，他对蜂巢不但观察仔细，而且赞赏有加。

鉴于上述蜜蜂的正确，有人就戏称它们为“动物数学家”“智慧的动物”。其实，蜜蜂并不具备数学家般的智慧，而是出于自然选择之后得到的本能。然而，蜜蜂为什么有这种本能呢？这至今还是一个谜。

若干个蜂房构成一个蜂窝，所以蜂房猜想又叫蜂窝猜想。在当今数字移动通信系统中就用到了蜂窝结构：数字移动交换中心（例如当地的市话局）通过蜂窝状分布的基站（BTS），实现与手机用户（即移动台MS）之间的通信。

全球移动通信系统的基站设置示意图

蜜蜂的建筑技巧启发了科学家们用塑料及铝合金制造出蜂窝状夹层结构的飞机、火箭和导弹等飞行器，它们不但强度高，而且重量只有实心结构的大约1/3，还有良好的隔音、隔热效果。蜂窝纸板比早期的瓦楞纸板更加质轻价廉，强度高，吸声、隔热效果好。一种被称为蜂巢帘（也叫风琴帘）的窗帘有截面也是六边形的中空层，能实现室内隔音、隔热。

蜂窝状夹层结构

蜂窝纸板

风琴帘

然而，让人大跌眼镜的是，有人实测了某一蜂种的蜂房尺寸，却并不完全符合理论值。这里也借前图来说明。例如其中的BB'实测值约为0.58厘米，与理论值0.25厘米大相径庭。由此可见，不同蜂种的蜂巢的实际构造并非千篇一律，也不都是单纯为了节约材料。其实，这也不难理解。例如，人们知道如何建造蒙古包最省材料（微分学的常见题目），实际上并不按计算结果建造，因为还得考虑居住舒适、方便等因素。

事实上，少许蜂巢并非如前图那样“几何完美”，个别巢室有偏差，在较大的雄蜂巢室和较小的工蜂巢室之间的过渡处，或当蜜蜂遇到障碍时，巢室形状可能会歪曲。此外，匈牙利数学家陶斯还在1965年指出，蜂巢的三面锥形（由3个菱形组成）有时并不是理想的最佳三维几何形状，而是由两个六角形和两个较小菱形组成的，巢室末端将多出约0.035%（或约1/2850）。

为何蜂巢呈六边形而不是其他形状？现在有与前述“两种不同的关于六边形结构理论”不尽相同的理论。一种由波兰博物学家布罗泽克提出：在一定体积里采用六边形结构，能用最少的材料去建造一个最宽敞的巢室。另一种由英国博物学家汤普森提出：六边形结构是基于某些蜜蜂将巢室摆放在一起的程序，有些类似于在肥皂泡间制造的边界形状。为支持这个理论，汤普森还指出，个别蜂王巢室是不规则和凹凸不平的，并非以最有效率的方式进行制作。

第4章 对数的华丽转身——“常用”和“自然”

噢，上帝，为什么二加二等于四？

——英国诗人蒲柏

4.1 以2为底的对数——神通广大，应用广泛

数字2，是一个不少领域的人都“重点关注”的数。举例来说，“尽管评论家们大喊大叫，2加2应该等于5；业余艺术家们哭诉，2加2应该等于3；”出生在美国，曾在圣彼得堡居住过的英国画家、蚀刻家惠斯勒说，“对数学家而言，2加2永远等于4。”为什么不是1，3或者其他的数呢？

对于二进制、电子计算机……这些名词，现代人一点也不陌生。那么，它们和对数、自然对数又有什么关系呢？

1．以2为底的对数与坐标图

我们知道，对数的底是可以在除了1以外的正数中任意选取的，例如选2为底。

关于选 2为底，贝利等 4位数学家在发表于《数学情报》第 19卷第 1期第50～57页的论文《圆周率的探索》（中译文刊载于中国杂志《数学译林》1997年第3期第205～215页）中指出，用十六进制的位数作为“图”的横坐标时，就要用4来乘以这些十六进制数字，才能得到等价的二进制数字。这个“图”描绘的是，用几种不同公式借助电子计算机计算 π 的多位小数值所花的时间与得到的 π的十六进制位数之间的关系。这里的4就是以2为底的16的对数，即4=lb 16。

2．以2为底的对数与十进制数字的位数

以2为底的对数还可以用来确定某个十进制数字n与它对应的二进制数字m的位数关系：Mm =［lb n］+1（式子中的［x］表示“取整”）。举例来说，十进制数字2_10 对应的二进制数字10_2 的位数是M10` =［lb 2］+1，即2位。又如，十进制数字10_10 对应的二进制数字1010_2 的位数是M_1010 =［lb 10］+1，即4位。

3．二进制数字与比特

“二进制数字”的英语是“binary digit”。“比特”就是 binary digit 的缩写以bit发音的音译。比特是信息量的度量单位，每一个“0”或“1”就包含有1比特的信息。经典信息论之父、美国数学家香农于1938年发表在《美国电气工程师协会论文集》第57卷第12册上的论文《继电器和开关电路的符号分析》中，首先创建了比特这个名词。“（这篇论文）可能是本世纪最重要和最著名的硕士论文。”美国哈佛大学发展心理学家霍华德·厄尔·加德纳教授说。

香农

杜克

把比特正式作为二进制数字代名词的是美国数学家、统计学家杜克，时间是1943～1946年间。而香农则在他于1948年发表的著名论文《信息论》（又译《通信的数学理论》）的第1页中首次把它用于正式文献。

哈特莱

香农还在 1948年首先提出定量测定信息量的香农公式。信息量i（x）的大小用事件x出现的概率P（x）的负对数来量度，即i（x）=-loga [P（x）]。当P（x）=1，i（x）=0时，必然事件所带来的信息为零；随着 P（x）的增大和i（x）的减小，i（x）是P（x）的单调递减函数；两个独立事件同时出现的信息量等于各自信息量之和。他将H（x）=-1oga [P（x）]称为信息熵，即香农熵，从而得到香农公式，即信息熵公式 。对数的底a决定了熵的单位，当a等于2，e或10时，熵的单位分别是比特（bit）、奈特（nat）和哈特（Hart）。不难算出，1nat≈1.44bit，1Hart≈3.323bit。要特别指出的是，bit（或相关的 kbit，Mbit，Gbit 等）中的“b”不能按许多电子产品说明书、资料等那样大写为“B”。

nat中的“n”也是如此。而Hart的第一个字母“H”则一定要大写，因为它出自于人名——美国发明家、电子工程师哈特莱。哈特莱是无线电学、电子学中著名的哈特莱振荡器、哈特莱变换的发明者。他在1928年发表的论文《信息传输》中首次提出的信息量这一概念，以及采用对数作为信息量的测度，是香农信息理论“唯一最重要的前提”。

4．二进制、e和计算机

有趣和鲜为人知的是，采用神通广大、应用广泛的二进制的一个原因和e有关。

可以证明，在计算技术和编码理论中，用r进制表示十进制的数，取r=e=2.718…，效率最高。而与e最接近的整数是 2和3，再考虑到早期机械计算机和近现代电子计算机的结构，自然就采用二进制了。这里所说的机器的结构，对机械计算机而言，指用“0”和“1”分别代表“无孔”与“有孔”；对电子计算机而言，指用“0”和“1”分别代表电路的“关”和“开”。

5．莱布尼茨与二进制

二进制是由德国数学家莱布尼茨首先于1672～1676年在巴黎时明确提出来的，而他在1679年3月15日写出的论文《二进制算数》对二进制已有充分的认识。

有人说，莱布尼茨是受到了中国古代经典著作《易经》中伏羲（氏）的八卦的启发，因为《易经》中说“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。

太极八卦图

但是，这种说法是不符合史实的。因为从时间来看，莱布尼茨在 1697年 12月就写信给当时在中国的耶稣会法国传教士白晋（即白进），说到了自己的二进制发明。白晋收到信后才把二进制和《易经》的六爻对照，发现两者是一致的。倒是出生在中国的加拿大女汉学家秦家懿教授的说法比较确切、严谨：莱布尼茨发现“自己发明”的二进制数学在那张八卦图中“可以得到印证”。

六十四卦次序图的二进制数翻译图

1701年，莱布尼茨又写信给白晋，寄去了自己的二进制数表。同年11月，白晋才把北宋哲学家邵雍的伏羲六十四卦次序图以及伏羲六十四方位图寄给他。莱布尼茨对白晋提供的材料异常欣慰，发现古老的中国易图可以解释成0～63的二进制数表。他因为从二进制数学理解了六十四卦次序图，发现两者“不谋而合”而欣喜若狂。他高兴地说：“几千年来不能很好理解的奥秘被我揭开了，应该让我加入中国国籍吧！”

接着在1703年，莱布尼茨对他在1701年提交给巴黎科学院的有关二进制的论文（但要求暂不发表）进行修改，写出了论文《关于仅用0和1两个记号的二进制算术的说明，并附其应用及据此解释中国伏羲图的探讨》。1703年晚些时候，他再把这篇论文送到巴黎科学院，要求公开发表。从此，二进制被公诸于众。

6．莱布尼茨“火”了一把

莱布尼茨对他创立的二进制的得意表现在他的“自我推销”上。1696年5月，莱布尼茨在和他的保护人鲁道夫·奥古斯都公爵的一次谈话中介绍了二进制。公爵很感兴趣，并认为一切数都可以从0和1创造出来的观点为基督教《圣经》的《创世记》提供了依据。莱布尼茨也因此而热情大增，想用公爵的这个看法来争取人们对二进制的关注。

对于欣赏二进制的奥古斯都公爵，莱布尼茨当然要投桃报李。1691年1月，莱布尼茨特地制作了一个象征二进制的纪念章，作为新年礼品献给公爵。纪念章的正面是公爵的像。背面的设计如下：最上部刻着弧形排列的拉丁文“OMNIBUS EX NIHILO DUCENDIS SUFFICIT UNUM”（从虚无创造万有，用一就够了），水面上笼罩着一片黑暗，上部光芒四射——象征《创世记》的故事，中间排列着二进制数和十进制数的对照表，两侧是用二进制数进行加法和乘法的实例。

象征二进制的纪念章正面

象征二进制的纪念章背面

看来，莱布尼茨的这枚纪念章设计得非常完美，把他和奥古斯都的“志同道合”关系、二进制的精髓等都表现得淋漓尽致。

莱布尼茨首开先河的豪言“从虚无创造万有，用一就够了”后来被不少名家“移植”。“移植”者之一是在1932年首先提出宇宙大爆炸理论的比利时牧师、宇宙学家勒梅特，他说：“给我一个原子，我将用它构建一个宇宙。”这两位科学家不但分别从抽象的数学和实体的物理学这两个不同角度来构建自己心目中的宇宙，而且珠联璧合地揭示了“数”和“形”的统一，在科技史上传为永恒的佳话。

此外，得意洋洋的莱布尼茨还希望他的二进制能证明圆周率π的超越性。

7．更有早行人

不过，莱布尼茨却不必过于得意，因为在他之前已有几位先行者。英国数学家哈里奥特就是其一，在他没有发表的手稿中就有二进制的计数法，只不过当时鲜为人知而已。

当然，莱布尼茨也没有看到前人的二进制成果，而是独立做出了这个发明，还自认为揭开了东方几千年前神秘图形的玄机而欣喜若狂。

8．莱布尼茨与算术计算机

莱布尼茨在没有看到法国物理学家、数学家帕斯卡的加法计算机的情况下，发明了自己的算术计算机，用它能进行加、减、乘、除和开方运算。他把它带到伦敦后，据说因此成为英国皇家学会会员。这台计算机在巴黎也受到人们的热烈欢迎，他也因此而深感自豪。

哈里奥特

莱布尼茨的另一个“遗憾”是，他没有把二进制和计算机结合起来。所以，那种认为他是因为计算机才发明二进制的说法没有依据。不过，他的这个“遗憾”倒是他的幸运，因为在当时的条件下没有后来才有的电子技术，如果他投入用二进制研制机械计算机的工作，将会“出师未捷身先死，长使英雄泪满襟”，就像计算机先驱、英国数学家巴贝奇那样！

莱布尼茨没有想到的是，二进制中的0（代表电源关闭）与1（代表电源开启）会构成今天计算机上的电源图形符号。1973年，国际电工委员会把这个图形符号命名为“备用电源状态”。不过，美国电气和电子工程师学会却认为这个定义有点含糊不清，就重新将其命名为“电源”，并设计了它的图形符号（由数字0和1组成，见左图）。

计算机上的电源图形符号

不过，我们经常接触到的是常用对数和自然对数。为什么人们如此青睐这两种对数呢？我们在下一节就要给出答案。

4.2 常用对数——爱你没商量

1．常用对数的起源

我们已经知道，纳皮尔发明对数以后，他和布里格斯见了面。

在他们讨论如何改进对数的时候，纳皮尔建议这样来选择底：使1的对数为0，使10的对数为1。这样，就会使所有大于1的数的对数都是正数。显然，这就是常用对数。布里格斯同意了这个方案。

这个“同意”不是偶然的。1615年，布里格斯在格雷沙姆学院所做的几次讲演中就曾提醒人们注意，如果像纳皮尔的对数那样，仍然把 0 作为全正弦——sin90°的对数，那就会更加方便。而全正弦的1/10（即arcsin 0.1）或5°44′21″的对数则是“10 000 000”（实际是1.000 000 0）。布里格斯说，根据他在格雷沙姆学院讲课的经验，对数的底数选10较好，因为这样不但能和以其他数为底的对数那样使1的对数为0，而且还会使10的对数为1。这样更便于计算。

这样，他俩很快就意识到应该用10作为对数的底，这就是常用对数——布里格斯对数的产生。于是，他俩很快就开始编制以10为底的、更加有用的常用对数表。

不过，虽然布里格斯采用了常用对数制度——取log_10 1=0和log_10 10=1，但他始终没有具体说明他是在什么时候或者为什么采用常用对数的。

这里要特别说明（也是重申）的是，他俩当初在编制各自不同的对数表进行计算时，采用的底数是不同的。纳皮尔在编制纳皮尔对数表时并没有采用布里格斯建议的底数10，而是采用了非常接近1/e的0.999 9999910 000 000 来计算；而布里格斯在编制常用对数表进行计算时，采用的底数是非常接近1的 。

但是，弗拉格却在《1～10^4 的正弦、正切和正割值以及对数值表》中清楚地提到了为什么要采用10。他写道：

“为了更多的方便，取1的对数是0，取10的对数是1，100的对数是2，依此类推（见右表）。

弗拉格著作中的图表

这里出现有‘首数’的字样。请你要注意，对数的第一位数字称为‘首数’，它总是比取对数的那个整数数字的个数少1。例如，由于log_10 3 567 894是6.552 411 8，所以可推得：

log_10 3.567 894=0. 552 411 8，

log_10 35.678 94=1. 552 411 8，

log_10 356.789 4=2. 552 411 8，

等等。”

由上可见，常用对数的发明主要归功于布里格斯和弗拉格。

2．常用对数更加有用

那为什么常用对数和常用对数表更加有用呢？

这是因为在数值计算的时候，以10为底的对数表具有很大的优越性。这种优越性是因为在大多数时候，我们使用的数系是以10为基数的，即十进制的。

我们知道，10的正整数幂的常用对数等于真数里0的个数，例如lg1000=3。10的负整数幂的常用对数是一个负数，它的绝对值等于小数里0的个数（包括整数单位的一个0），例如lg 0.001=-3。当然，与这个性质相反的性质也成立。

根据这两个常用对数的性质，我们就能很快实现这类真数和对数之间的互求。而以其他任何数为底数，不可能实现这种互求。

我们还知道，正数的常用对数的首数是真数的整数部分的位数减去1的一个整数。于是，我们就能很快由真数来确定首数，例如97 254有5位，那么它的首数必然是4。或者，也能很快由首数来确定真数的位数，例如首数是0，那么它的真数的整数部分的位数必然是1。类似，正纯小数的常用对数的首数是绝对值等于真数里第一个有效数字前面的0的个数（包括整数单位的一个0）的一个负整数。

于是，我们就能很快实现这类真数的位数和首数之间的互求。而以其他任何数为底数，不可能实现这种互求。

显然，由于常用对数的上述性质，就可以用它迅速地实现数字的乘、除、乘方、开方等运算。也就是说，以10为底的常用对数是基于人类实践的需要而必然发展起来的。

由于常用对数的上述性质，为节约篇幅，就可以不印常用对数表中的首数，而其他以任何数为底的对数表都不可能这样节约。

3．对数的符号

在这里，我们要清理一下对数的符号。

现在，常用loga 表示以a为底的对数；用lg或log表示以10为底的常用对数，即lg或log是log_10 的简写；用ln表示以e（≈2.718…）为底的自然对数，即ln是loge 的简写。但是，有时特别是在数论中也常用log表示自然对数，而用lg表示常用对数。可以看出，此时log究竟是代表log_10 还是代表loge 呢？这是容易引起混淆的。鉴于这种情况，国家标准GB 3102.11-93的11-7.5节特别在“备注及实例”栏中写明：log不能代替ln、lg、lb或loge 、log_10 、log_2 。本书在没有特别声明的时候，一律遵从规范，用 ln 表示自然对数，用 lg 表示常用对数，用lb表示以2为底的对数。

此外，由于复数（z）的自然对数值有无穷多个，所以有时为了区别起见，常常把ln z写成Ln z。这样就有Ln z=ln∣z∣+i（θ+2kπ）（k∈Z，Z表示整数集）。例如，1的模是1，幅角的主值是0，因此，Ln 1=ln 1+i（0+2kπ）=2ikπ=…，-4iπ，-2iπ，0，2iπ，4iπ，…。

Log 是对数函数的主值的符号，但是，它在历史上却是开普勒于1624年简化纳皮尔的“logarithm”（对数）一词时所用的符号，他用Loga N表示N的对数。英国数学家奥特雷德在1647年也是这样用的。

奥特雷德

1632年，意大利数学家卡瓦列里第一次用 log 来表示对数。就这样，开普勒的Loga N演化成了卡瓦列里的loga N。到了1821年，法国数学家、巴黎埃菲尔铁塔上所刻的“七十二贤”之一的柯西，为了区分自然对数和其他对数，就别出心裁地用小写字母“l”表示自然对数，用大写字母“L”表示任意（但大于1）的底的对数。

1893年，意大利数学家皮亚诺用“logx”表示以e为底的对数，用“Logx”表示以10为底的对数。同年，在伯克利大学工作的美国数学家斯特林厄姆在他的著作《平面代数》（Uniplanar Algebra：Being Part I of a Prop]deutic to the Higher Mathematical Analysis的简译名）中，首先用“blog”表示以b为底的对数，而把自然对数记为“ln”，把以复数模k为底的对数记作“logk ”。这部著作曾在2010年由NABU PR出版社再版。

皮亚诺

到了1902年，奥地利-德国数学家斯托尔茨等则用“alog.b”表示以 a 为底的b的对数。

据说，自2005年起，不少数学家采取了用“ln”表示“loge ”的记法，但多数却使用“log”。

可以看出，对数符号在历史上曾多次变换。

斯特林厄姆和2010版的《平面代数》

4．酸碱度与常用对数

常用对数并不只是“好看”，而且还“中用”。除了我们在第 2 章多次谈到它的实际应用以外，下面再举出一个常见的应用实例，即在化学中用常用对数来表示酸碱度——氢离子浓度指数（简称pH值）。

用斜体的M表示溶液的摩尔浓度（规范名称是物质的量浓度）这个物理量，同时用正体的 M 代表摩尔浓度的单位摩尔/升（mol/L），例如某种溶液的M=1M=1mol/L。这样，我们就可以得到诸如［H+ ］=10-6 M（以下省略单位M）、［OH-］=10-3 等结果。这里，［H+ ］和［OH-］分别表示H+ 和OH-的摩尔浓度。

显然，这样表示不但写起来麻烦，而且计算起来也很不方便。于是，丹麦生物化学家索伦森在 1909年就首先采用［H+ ］的负常用对数来表示氢离子浓度指数，即氢离子浓度指数pH=-lg［H+ ］。这里的p来自德语Potenz（意思是“浓度”），H（hydrogen ion）代表氢离子（H+ ），pH是拉丁文pondus hydrogenii（pondus为“压强”“压力”，hydrogenii为“氢”）的缩写。

这样，［H+ ］=10-6 的溶液的pH值为-lg10-6 =6，我们就说这种溶液的pH值是6。

同理，对于［OH- ］=10-3 的溶液，［H+ ］=10-14 /10-3 =10-11 ，它的pH值为-lg10-11 =11，我们就说这种溶液的pH值是11。这里的10-14 是25摄氏度纯水的离子积（又叫水的自电离常量，用kw 表示），即25摄氏度纯水的离子积kw =［H+ ］×［OH- ］=10-7 ×10-7 。

索伦森

pH值通常为0～14，超出这个范围时，一般习惯直接用摩尔浓度表示。由于25摄氏度纯水的pH值为7，所以此时溶液呈中性。某种水溶液的pH值小于7时呈酸性，越小酸性越强；pH值大于7时呈碱性，越大碱性越强。人体内体液的酸碱度应在7.35到7.45之间（即呈弱碱性），以保持正常的生理功能和物质代谢。当然，严格地说，判断溶液是否呈中性的标准并非 pH 值是否等于7，而是看［H+ ］是否等于［OH- ］。两者相等时，呈中性；两者不相等时，不呈中性。这是因为不在25摄氏度时，水的离子积kw 并不是10-14 ，例如90摄氏度时纯水的离子积 kw =3.8×10-13 ，pH=6.21≠7，但水依然呈中性。不过，在室温下为了简化计算，我们常常忽略温度变化时水的kw 值的微小变化，也就是仍然说水的kw 值为10-14 ，并用［H+ ］是否等于7作为溶液是否呈中性的近似标准。这样就有了近似而简洁的说法：pH=7 时溶液呈中性。验证这种说法的计算实例是：20摄氏度时水的kw 值为6.8×10-15 ，对应的pH值为7.08，30摄氏度时水的kw 值为1.5×10-14 ，对应的pH值为6.91。两者都很接近pH=7，相对误差（除了特别声明之外，本书相对误差都取绝对值）都不超过1.3%。

看来，包括化学家在内的科学家们都钟情常用对数，的确是“爱你没商量”。

索伦森开始在哥本哈根大学学习医学，但很快转而学习化学并获得博士学位。他在研究氨基酸、蛋白质和酶的时候，由于发现氢离子浓度在其中发挥了关键作用，所以就发明了一种简单方式，用pH值来表达和计算它。

4.3 自然对数——不只是大自然的选择

数学家们为什么要用e作为对数的底？以e为底的对数为什么叫自然对数？这是两个有趣的问题。

1．科学活动中的发现

我们知道，自然界的一切事物都有一定的因果关系。数学和其他自然学科一样，它的发生、发展和成熟归根结底取决于人类各种活动的需要。

在17世纪中叶，数学家们在科学活动中发现了双曲线下的面积和自然对数之间有奇妙的关系之后，人们就逐渐了解到很多重要的函 数、极限、微分和积分等都与自然对数有密切的关系。换句话说，用 e 作为对数的底，不是数学家们对e有特别的偏爱，而是一些对数运算的必然结果。正因为如此，自然对数（函数）也叫双曲对数（函数）。

一种双曲线

2．e作为对数的底很“自然”

下面我们来说明这一点。用对数函数y=loga x（这里a是不等于1的正数）求导数。根据求导数的一般方法，有

当Δx→0时， →∞，由于 ，就有 。

用换底公式的一种形式 （更一般的形式是 ）把 ′=y 中的loga e变成 ，就得到y′= 。

显然，如果不用 e 作为底，而是以另一个数（例如 b）作为底的话，就会出 现 y′=这种比 ′=y 更复杂的形式，这是数学家们所不愿看到的。b

上面，我们从求一个一般对数函数y=loga x（这里a是不等于1的正数）的导数出发，发现只有用e作为底，结果才会简洁；而用其他数作为底，形式就会复杂些。由此可以看出，选择自然对数（e 为底）是“自然”的，数学家们不过是“发现者”、“执行人”罢了。

这就是为什么要用e作为对数的底的原因，回答了前面那两个问题中的第一个。

为什么是“自然”而不是“自觉”的呢？这是为了加快制表的速度。那为什么用e作为底可以加快制表的速度呢？我们将在4.4节回答。

现在，多数人认为，英国数学家奥特雷德是自然对数的发明者。当然，正如4.4 节所说，他用的符号是“Log”。此后，人们才开始自觉地用 e 作为底。也许由于纳皮尔对数的底是1/e，或者为了纪念他发明了对数，所以不少文献也把自然对数称为纳皮尔对数。这里要说明的是，对于现在命名的纳皮尔对数是否为自然对数，国际数学界是有争议的。还有人认为发明自然对数的人是纳皮尔。

3．以e为底的对数叫自然对数

下面我们来回答前面那两个问题中的第二个。

对于前面的 y=loga x，如果假设 a=e，y=loga x就变为 y=loge x，那么很显然 。这也就是说，如果y=lnx，就有 只有(lnx)的必然结果；而且，′ 才等于 ，因为代数函数xn 求导不可能得到 的形式。这就是说代数函数xn 不可能得到微分为 dx的形式。当然，也可以把 写成微分形式 。

积分是微分的逆运算，于是有 （C是积分常数）。这个式子就意味着，一个分式的分子是分母的微分，这个分式的积分就是分母以e为底的对数。也就是说，只要形式是 ，那么 ，必然以e为底。当然，也，必然以e为底。当然，也，必然以e为底。当然，也可以写成一种简单的定积分的形式 。

自然对数y=lnx：y轴是渐近线，y随x的增大而缓慢趋近于+∞

自然界的现象之间有种种函数关系，而要确立变量之间的函数关系，往往又要确立函数的导数或微分的关系式——微分方程，从而通过求解这种微分方程得出要求的函数关系。如果在求解的微分方程中存在项，那么，积分以后就必然出现以e为底的对数。而且，反映自然界的 规律的函数关系如果是以指数形式或者对数形式出现的话，必定且只能是以e为底的，而不会有以其他正数为底的指数或对数出现。当然，不包括一些不严格的经验公式。

正因为如此，以e为底的对数叫自然对数，即反映“自然规律”的对数。

总之，取e作为对数的底，并不是某个或某些数学家的心血来潮，而是微积分学运算的必然结果。又由于反映自然规律的指数形式或者对数形式的函数关系，必定且只能以e为底，所以选e作为底的对数叫自然对数。

由此可以看出，选e作为自然对数的底和实践需要选10作为常用对数的底的原因有些不同。

4．不只是大自然的选择

当然，不只是大自然要选择e作为对数的底，有时科学家们也有意选择e作为对数的底。最典型的例子是，在长距离通信（例如电力工程、光纤通信、电信网络）中，有时觉得级差 L的单位用贝尔（B）大了些，而用分贝（dB）又小了些，就用奈培（Np）作为级差的单位。L是一个物理量，用于表示电功率或声音等的相对大小，例如声强的相对大小。

Np就是以e为底的级差数乘以1/2，它用纳皮尔（Napier）的姓氏中的两个字母来命名。1Np≈8.686dB，或者1dB≈0.115Np。当然，纪念纳皮尔的方式还有用他的姓氏命名的实物，如1964年始建的位于爱丁堡的纳皮尔大学（纳皮尔的出生地梅尔契斯顿堡是这个大学的一部分）以及月球上的纳皮尔火山口等。

下面，我们说明8.686和0.115的来历。

设两个要比较相对大小的物理量分别是A_2 和A_1 ，那么Np换算成dB的换算因子就是：

式子中的0.4343≈lge。要把Np换算成dB，只需把Np的值乘以换算因子8.686就行了。相反，要把dB换算成Np，只需把dB的值乘以换算因子1/8.686（≈0.115）就行了。

当然，Np现在已经不是中国的法定计量单位了。

4.4 e的又一用武之地——编造对数表

1．编造对数表的“原始”阶段

有的读者可能会问，为什么历史上像纳皮尔、布里格斯等许多才华横溢、醉心数学的英雄在编造对数表的时候都用了许多年的时间，有的还“出师未捷身先死”呢？

原来，当初不但说不上我们现在俯拾皆是的袖珍电子计算器、电子计算机，而且还没有先进的计算方法和公式。这样，他们只能用最原始的手工计算，用初等数学的方法编制这些数据庞大、枯燥无味的对数表。举例来说，一个人用笔算，仅仅求出5的常用对数，就要完成22次开方运算！下面，我们用编制常用对数表的过程加以说明。

以10为底的时候，根据指数与自然数的幂造出来的常用对数表只能给出整数1，10，100等的对数。那么，对于它们之间的数的常用对数，就应该把它们的几何平均值（即等比数列的项）与常用对数的算术平均值（即等差数列的项）相对应。由此可以推知，为了求出5的14位常用对数，当年布里格斯是从1和10的常用对数出发，进行了如下表所示的运算的。

求5的14位常用对数

从该表可以看出，要求得5.000 000的14位常用对数0.698 970 000 000 00，就得用手工做开方、加法、除法各22次！

布里格斯在他于1624年所著的《对数》一书中详尽地给出了他的方法——和前面的方法本质上一样。这个方法就是把10（对数是1）不断开平方，因而把前一个平方根的对数除以2，就得到后一个平方根的对数，见下页中的表。

这项工作的艰巨也是可想而知的：要不断开平方54次，并把它们计算到30位小数。

写到这里，我们不由得对这些具有远见卓识、能持之以恒的先贤充满由衷的敬意。要知道，这不是一个“短平快”和肯定能产生“经济效益”的工作啊！这正如俄国-苏联数学家德罗涅所说：“重大科学发现与解答一道好的‘奥数’题的区别，仅仅在于后者只要5小时，前者则要5000小时。”

布里格斯求对数方法示例

不过，这种“原始”的计算方法仅仅过了半个世纪就有了改进。

2．17世纪的突破

1667年，苏格兰数学家格雷戈里发表了《论圆和双曲线的求积》，把对数的值与位于等边双曲线和它的渐近线之间的面积进行比较，吹响了这种改进的号角。

一年以后的 1668年，出生在荷尔斯泰因（今属德国）而一生中大部分科学活动时间在荷兰、英国、丹麦和法国度过的数学家、天文学家、地图学家麦卡托发表了《对数技术，或正确、方便地编造对数表的新方法》（简译《对数技术》或《对数法》）一书。书中把对数分解为级数，大大减化了对数表的编制工作。他的方法是，把 y=1/（1+x）展开为无穷级数y=1−x+x^2 −x^3 +x^4 −x^5 +…，从而由沃利斯的双曲线下求面积的方法推出了：

格雷戈里

麦卡托

文森特

布鲁克·泰勒

此外，比利时耶稣会教士、数学家文森特曾早于格雷戈里与麦卡托得到过这个式子。于是，印度-英国数学家奥古斯都·德·摩根盛赞说：“文森特是最伟大的圆的求积者……他发现了双曲线的面积的特性，双曲线的出现使得纳皮尔对数被称为双曲函数。”当然，这个式子也可以由布鲁克·泰勒展开式得到。布鲁克·泰勒是一位英国数学家，他以微积分学中将函数展开成无穷级数（称为泰勒级数）的定理——泰勒定理闻名于世。

著名的泰勒定理在几乎每一本微积分学教科书上都可以找到，并在许多数学分支中有广泛的应用。泰勒级数一词很可能是由瑞士数学家鲁伊利尔首先（1786年）使用的。而法国数学家孔多塞则既用泰勒级数也用达朗贝尔级数来称呼它。泰勒级数是由布鲁克·泰勒最早（1715年）发表的，但他并不是这一级数的最早发现人。历史上至少有 5 位数学家早于他发现这一级数，他们分别是格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利与法国-英国数学家棣莫弗。不过，大名鼎鼎的莱布尼茨认为，展开这个级数还有一位“早行人”——曾任阿姆斯特丹市市长的荷兰数学家赫德。他在麦卡托之前就把 ln（1+x）展开成级数，并先于牛顿发明了内插法。此外，英国皇家学会首任会长、数学家布龙克尔也曾算得下图中当 t=1时双曲线下面积的特例。

那么，麦卡托为啥要从 y=1/（1+x）展开成无穷级数出发来得到ln（1+x）的无穷级数展开式呢？

直角双曲线是指渐近线分别为x轴（或x轴的平行线）和 y轴（或 y轴的平行线）的双曲线，因为渐近线呈直角而得名。从直角双曲线 y=1/（1+x）的一支的图像（见右图，另一支没有画出）可以看出，它是从直角双曲线 y=1/x在第一象限的一支的图像（见下图，另一支在第三象限，没有画出）向左平移1个单位而得到的。现在，我们要求各自图像中阴影部分的面积，即所谓的双曲线求积。例如，对 y=1/x的双曲线求积，就是指求由x=1、x轴、x=t及y=1/x所围图形的面积。不过，这是一块“硬骨头”，是一个从“数学之神”阿基米德开始困扰了数学界近2000年的难题！

把 y=1/（1+x）写成 y=（1+x）- 1 ，并把它按x的乘方展开，就得到前面的无穷级数y=1−x+x^2 −x^3 +x^4 −x^5 +…。于是，问题就可以从求 y=1/x 下的面积出发来解决。也就是说，麦卡托是为了双曲线求积才那样做的。事实上，与麦卡托同时代的许多数学家都企图或已经完成了这一双曲线求积，例如在微积分发明之前的法国“数学三巨头”费马、帕斯卡、笛卡儿。

y=1/（1+x）的一支

y=1/x的一支

牛顿也几乎和麦卡托同时研究双曲线求积，但当他读到麦卡托的双曲线求积的文章时有一些失落，认为本来应该属于他的荣誉被麦卡托夺走了。

在把对数展开成幂级数的研究中，中国数学家也做出了重要贡献。1845年，清代数学家李善兰出版了《对数探源》。在这本书的第二卷中，他就指出对数可以用他发明的“尖锥术”中的诸“尖锥”的合积来表示，对数函数可以用幂级数来展开。

李善兰

3．变换底数也有效

当然，除了用先进方法计算对数以外，还有一条快速编制对数表的途径。那就是把对数的底变一变，变得使对数易于计算。

那么，选什么数为底呢？我们先来看下表。

以10为底时的情形

从这个表可以看出，以10为底来编制对数表，哪怕只精确到万分位，也会遇到把10、100、1000等这些数开10 000次方的困难。

但是，如果采用某个常数的10 000次幂为底，就可以避免制表时开方的困难。下面，我们来说明这一点。

从下表可以看出，以210 000 为底就避免了开方的困难。

以210 000 为底时的情形

但是，以210 000 为底还是不能解决根本问题。这又是什么原因呢？

原来，如果底很大，那相应的真数的间隔也就很大。这样，很多数的对数值就无法获得。例如，在以 210 000 为底的对数表中，3，5，7，…这一连串数的对数就没有。要算出这些数的对数，又得另花工夫。

经过这样一番探索之后容易发现，以 a=b10 000 为底制作四位对数表，b 越接近1，相应的真数间隔就越小，制成的对数表也就越精确。从下面分别以1.110 000 ，1.0110 000 ，1.000110 000 为底制作的对数表的比较中，可以明显看出这一点。

事实上，比尔吉和纳皮尔在独立制作他们各自不同的对数表时就是这样“英雄所见略同”，用样子像 的数作为底。比尔吉用的底是 （这里n=10^4 ），非常接近e，这不是巧合而是必然。当然，纳皮尔用的底接近1/e，但是它也是 （这里n=10^7 ）的倒数的近似值。

不同底的对数表

从上可见，e的确大显神通，极大地加快了数学家们编造对数表的速度。

4．如何编造对数表

那么，如何具体编造对数表呢？

文森特、赫德、麦卡托与布鲁克·泰勒等数学家给了我们编造自然对数表的“法宝”：

ln（1+x）=x−x^2 /2+x^3 /3−x^4 /4+x^5 /5−…（−1＜x≤1）

把“法宝”中的x换为-x，就得到“新法宝”：

ln（1-x）=-x−x^2 /2-x^3 /3−x^4 /4−x^5 /5−…（−1≤x＜1）

用“法宝”减“新法宝”就得到：

再设 ＜1（n是自然数），就得到：

所以

或

由这个公式就可以从 ln1=0 开始，逐步算出所有的自然数的对数，编制自然对数表了。

例如，设n=1，就可以求得ln2：

只能取0.693 1（4 小数点后第5位的误差不超过1个单位，实际上ln2=0.693 147…精确到小数点后第5位的值应为0.693 15）的原因是后几位是有误差的。下面对此加以说明。

取前4项的误差：

可见从小数点之后第6位起，已经有0.000 001的误差，所以0.693 135的末位靠不住，加上在逐渐循环计算的过程中误差还会累积，所以只有取0.693 14才能使小数点后第5位的误差不超过1个单位。当然，如果要减小这些累积误差，就应在计算时多取几位。

有了各自然数的自然对数 lnn，就可以用换底公式求得各自然数 n 的常用对数：

lgn=lnn/ln10=lnn/2.302 585…=（lnn）0.434 294…

进而编制常用对数表了。

当然，编造自然对数表和常用对数表还有其他方法。

世上今人胜古人。现在，我们把电子计算器一按就能得出较少位数的对数，用计算机则可轻易计算出更多位数的对数，从而愉快地让编造对数表进入“高速公路”。

第5章 “王宫”中的漫游——数学殿堂中的e

数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各部分之间的联系。

——德国数学家希尔伯特

数学是科学的“国王”。在这一章中，我们来看一看e是如何在这个“国王”的“王宫”中漫游的吧！

5.1 关系你的钱包——无处不在复利律

1．如何存款有最大收益

你知道如何存款才能有最大的收益吗？

我们暂不回答这个问题，而是先来听一个故事，再来看大自然的复利律吧。

“我微分你，我微分你。”在一家精神病院里，有个女病人这样整天唠叨。

这个女病人说的话是什么意思，又为什么整天唠叨呢？

原来，这是一个大学数学老师讲的故事：“一个女生有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数那样被微分到变成零而消失，因此大家都对她避之不及。然而在某一天，她却遇上了一个不为此所动的数学系的帅男生。这个男生淡淡地对她说‘我是e的x次方’，然后就飘然而去，再也找不到了。就这样，在几天之后，这个女生就住进了精神病院……”

那么，为啥这个女生在听到“我是e的x次方”后几天就得了精神病呢？原来，函数 ex 不论微分几次，结果都还是自己——ex ！显然，这就是这个男生在暗示“坚定不移的爱情”而使她得了“相思病”。这位大学老师讲这个“爱情故事”的目的，就是用这个“e笑话”来帮助学生记忆d（ex ）=ex dx这个独具一格的微分公式。

事实上，我们知道（ex ）′=ex ，就是说指数函数f（x）=ex 的导数就是它本身。而且，某一个函数和它的导数等于它本身的只有 ex 这一个函数。出生在德国的美国数学家柯朗和美国数学家罗宾斯在 1941年合作出版的《数学是什么？》一书中指出过这个结论的重要性：“自然指数函数与它的导数相等。这是指数函数所有特性的本源，也是它得到重要应用的根本原因。”

《数学是什么》英文版

所以，如果我们发现一个函数 y 的导数和函数本身成正比的话，就可以断定所研究的这个函数 y 必定是以 e 为底的指数函数或对数函数。也就是dy/dx=±ay这个形式的规律就叫复利律。由它就得到y=ce±ax ，其中a和c都是常数。如果函数的数量是增加的，y=c e±ax 的指数中的“±”取正；如果函数的数量是减少的，指数中的“±”取负。

那为什么像dy/dx=±ay的形式描述的是复利律呢？下面的例子可以说明。

假设你到银行去存了 100 元，年利率为 5%。当然，到了第一年末，就有本利共105元。如果以105元作为第二年的本金，不但100元要产生利息，而且第一年的利息5元也要产生利息。

现在，把它写成一般的形式，假设 P_0 为本金，年利率为 r%。那么，第一年年末的利息就是Pr/100，本利的和就是P_0 +Pr/100。再用P_0 +Pr/100作为第二年的本金，并用P_1 表示，那就有P_1 =P_0 （1+r/100）。在第二年年末就有P_2 =P_1 （1+r/100）=P_0 （1+r/100）2 。

这样，一年又一年继续下去，本金年年增加，利息也岁岁增多。到了第n年年末，就有Pn =P_0 （1+r/100）n 。例如，本金为100元，年利率为5%，利息每年加入到本金中，即年复利率为5%，那么10年后的本利就有P_10 =100（1+5/100）10 。不难算得P_10 ≈162.89元。

我们在上面用的方法是，每一年把利息加入到本金一次，就得到162.89元的结果。那么，这个结果和把利息加入到本金一次的时间长短（前面的例子中是“每一年”）有没有关系呢？

现在，假设我们可以每月、每星期，甚至每天、每小时、每分钟、每秒钟、每毫秒……把利息加入到本金一次，看看有什么结果。

用和前面一样的方法，可以计算出如果每月把利息加入到本金一次，本利的和是

用式（5.1）可算得P_1 =100［1+5/（100×12）］12 ≈105.12元，比105元多出0.12元。

看来，每次把利息加入到本金的时间越短，利息就越多。

那么，当这个时间“无穷短”的时候，利息会无限增多吗？如果能无限增多，我们不是可以自动成为“大款”吗？对于这两个问题，我们将一一回答。

2．大自然的复利律

现在进一步假设，在整个这一年中利息是每一“刹那”（每一年有n个“刹那”）加入到本金一次，那么式（5.1）中的12就变成了n，就得到：

为了便于计算，假设r/100 n=1/m，这就得到n=mr/100。这样，式（5.2）就变为：

由于 ，式（5.3）就变为P=P_0 er/100 。这时，n年年末就有：

如果设利率r/100=k，则式（5.4）就变为：

求式（5.5）的导数，就得到P′=kP_0 enk =kP，得到的导数和原函数本身成正比，符合前面y=ce±ax 或dy/dx=±ay的形式。

所以，凡是导数和原函数成正比的性质都叫复利律。

当然，这里只谈到 y=ce+ax 的情况，而对于y=ce-ax的情况（例如放射性元素的衰变），我们将在6.1节谈到。

人口的增长也遵循复利律。如果用 P_0 和 Pn 分别表示某一年和 n年之后的人口，r/100表示这n年期间的人口平均增长率，那么Pn =P_0 （1+r/100）n 也可以用来计算人口增长。例如，中国国家统计局在2011年4月28日发布的第六次全国人口普查数据显示，2010年11月1日0时，中国大陆的31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口比2000年11月1日0时第五次普查的人口增长了5.84%，年平均增长率为0.57%。那么，这个0.57是怎么得来的呢？原来，把Pn =1.0584 P_0 和n=10代入上述公式，就有1.0584P_0 =P_0 （1+r/100）10 。由此求得r=0.57，而不是5.84÷10=0.584。这体现了人口增长的复利效应（即人口按几何级数增长）。

3．利息加进本金的时间越短，利息越多

（1）用“经验”验证

我们接着前面的话说下去。

由式（5.4）可以算出，P_10 =100e10×5/100 ≈164.87元，比162.89元多出1.98元。这个1.98元也比前面的0.12元的10倍1.20元多出0.78元。

由此可见，储蓄之后的利息和每次把利息加入到本金的时间长短是有关系的。由一年多出0.12元和10年多出1.98元的两次“经验”验证可以看出，每次把利息加入到本金的时间越短，利息越多。

那么，就引出了两个问题：这个被验证的“经验”能用理论证明吗？利息会无限增多吗？

（2）用理论证明

为了证明“经验”可靠，显然就是要证明数列 递增。

证明｛xn ｝递增的一般方法是，把xn 按牛顿二项式定理展开，再分析这个展开式而加以证明。

在证明过程中，要用到伯努利不等式（1+x）n ≥1+nx（x＞-1，n＞1）。用数学归纳法证明这个不等式的任务留给读者，而我们在下面将用另外一种方法证明伯努利不等式。

先证明一个“基本不等式” 当且仅当 时等号成立。

引入函数 [其中α_1 ＞0，α_2 ＞0，t∈（0，∞）]，则：

显然，当 时，（ft）获得极小值（ft）min 。因此，对任意的t＞0，都有 。

现在，设 （β_1 ＞0，β_2 ＞0）并将其代入上式，就可得到：

把它整理后就得到上述基本不等式。

注意到 是（f t）唯一的极小值点，所以不等式的等号在当且仅当 或 时成立。

有时为了使用中的表述方便，可把基本不等式变为如下等价基本不等式。

下面，我们就用等价基本不等式来证明伯努利不等式。

当 时，显然伯努利不等式成立。

当 时，在等价基本不等式中取α_1 =n-1，α_2 =1， 。因为所设的n＞1且 ，所以所取的α_1 ，α_2 ，β_1 ，β_2 都是正值。这样就有：

这样，根据等价基本不等式就得到：

或整理为：

这个式子就是伯努利不等式（1+x）n ≥1+nx（x＞-1，n＞1）。如果x=0，则（1+x）n ≥1+nx中的等号成立。证明完毕。

下面，我们就用伯努利不等式（1+x）n ≥1+nx来证明数列｛xn ｝递增。

因为

就得到：

又因为：

所以由式（5.6）和式（5.7）就得到：

所以｛xn ｝递增。

这样就证明了“每次把利息加入到本金的时间越短，利息越多”。

4．我们不会自成“大款”

假设每一“刹那”都是无穷小，即｛xn ｝中的n→∞，如果能证明此时｛xn ｝存在极限，就证明了｛xn ｝有上界，那就证明了利息不会无限增多。下面是证明过程。

为了证明｛xn ｝有上界，我们考虑另外一个数列 （n=1，2，3，…）。

先用和前面一样的方法证明｛yn ｝递减。

因为

所以｛yn ｝递减。

再来看 n+1n n。可见xn 有上界。

由以上可知，xn 递增且有上界。

不会自成“大款”的主要原因是利息有上界。事实上，可以用一个实例来说明｛xn ｝的确递增且有上界。

假设存入 100 元，定期一年利率（通常叫基本利率）是 100%。当然，通常的利率没有这么高。

如果把利息归入本金（民间叫“利滚利”或“驴打滚”） 的时间是半年，那么半年后的本利共150元，再过半年（即共一年）后本利为225元。

如果每1/3年把利息归入本金一次，一年后本利共237.03元。

如果每0.1年把利息归入本金一次，一年后本利共259.37元。

如果每0.01年把利息归入本金一次，一年后本利共270.48元。

如果每0.001年把利息归入本金一次，一年后本利共271.69元。

……

如果在每个无穷短的时间内把利息归入本金，一年后本利共271.82…元，不可能超过271.83元。

不过，得到这个结论并不容易。直到1683年瑞士数学家雅格布·伯努利在研究连续复利问题时才认识到 e 是常数，但他计算了｛xn ｝之后也没有得到极限2.718…，只是估计到这个极限在2和3之间。虽然他没有认识到e与对数之间的关系，但这却是数学史上首次用极限来定义一个常数。由于e是“自然”得到的常数，所以也叫自然常数。

不会自成“大款”的极其次要的原因是当今银行在没有办“自动转存”时不计复利的“游戏规则”。

什么是不计复利呢？下面以100元存定期一年、利率10%和没有办自动转存为例来说明。对于这笔存款，银行在一年以后才给 10 元的利息，而且不会把这10元自动加进原来的本金中以110元作为第二年的新本金，而是仍然用100元本金计算第二年的利息。当然，更不会在半年时就给5元利息且自动加进本金作为新本金。

根据这个“游戏规则”，我们就应该在一年期满以后把那10元利息取出来，连同100元本金共110元一起第二次存入。这样，在初次存入两年以后，我们就能一共得到121元了。当然，办自动转存也有这样的结果。一年以后，所得利息（10元）和原本金（100元）合并为新本金（110元），按银行当天挂牌的同期（一年）存款利率计算下一个存期的利息，并以此类推。

如果不熟悉这个“游戏规则”，没办自动转存，也没在一年后去取出 10 元利息，然后连同 100 元本金一起再存入，那么在初次存入两年以后，就只能得到120元。

总之，由于｛xn ｝有上界，所以不可能将不多的本金存在银行中，企图以多得利息而成为“大款”。其实，很容易理解这个现实的合理性。如果将不多的本金存入银行就能致富的话，那还要劳动干什么！

当然，在现实生活中是用某些现成的规则来解决与利率等相关问题的。例如，金融学中的69.3法则、70法则、71法则与72法则等可用于估计投资翻倍或减半所需的时间，得到以无穷短的时间计算复利的结果。可用69.3法则计算在无穷短的时间内把利息（例如年利率 5%）归入本金，多少年后总金额翻一番。答案是（69.3÷5）年≈13.86年，而不是（1÷5%）年=20年。这里的 69.3 来自 100ln2的约值。当然，实际上是用年利率计算的，结果是14.21年。72法则用于翻倍时间（单位为年）的粗略计算，公式是：72÷（年利率×100）=翻倍时间。例如，年利率为 7.2%时翻倍要多少年？答案是[72÷(7.2%×100)]年=10年。这里的 72 （如要更准确些，可用71.8）来自 。又如，5年翻倍的年利率应为72÷5÷100=14.4%。

然而，自然现象却是不间断的、连续的，它们都是把“利息”时时刻刻自动加入到“本金”中去的。例如植物的生长，新生长的部分都会立即和母体一样再生长。这就是大自然的复利律。

5．富兰克林“小捐款”显“大威力”

富兰克林在做风筝实验

美国著名科学家、政治家富兰克林辞世后，只留下了1000英镑的财产。令人诧异与迷惑不解的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱：“1000 英镑赠给波士顿的居民……这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年 5%的利率借给一些年轻的手工业者去产生利息。过了 100年，这笔钱将增加到 131 000 英镑。我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年。在第二个100年末，这笔款将增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的 3 000 000 英镑让马萨诸州的公众来管理。此后，我可不敢多作主张了！”

富兰克林留下区区1000英镑，竟然立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了头或者要哗众取宠炒作一番？抑或不再像生前那样“攫雷电于九天之上，夺强暴于权威之手”，而是在死后向世人玩“假大空”？

且慢。我们可以用对数算出，在头一个100年末，富兰克林的财产应当增加到131 501英镑，比他的遗嘱中写的还多出501英镑！在第二个100年末，更多达4 076 539英镑！因此，他的遗嘱是有数学计算依据的！也由此可见指数函数的威力。大名鼎鼎的法国皇帝拿破仑就因为不懂或忽视这种“威力”而让他之后的法兰西吃了亏。

6．拿破仑的“带刺玫瑰”

1797年，拿破仑夫妇参观卢森堡大公国国立第一小学时受到了热烈欢迎。或许是趁着新婚的高兴劲儿，也许是为了支持中小学教育事业，拿破仑向这所小学赠送了一束价值3个金路易的玫瑰花。他还许诺，只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作为两国友谊的象征。但是，由于火与剑的征战，拿破仑把这一承诺忘在九霄云外！

时光飞逝。近一个世纪之后的1894年，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在“拿破仑的声誉”和1 375 596法郎的债款中“二选一”。这笔高达百万法郎的巨款就是 3 个金路易的本金以 5%的年利率，在历经97年的指数效应下的产物。

拿破仑的这朵玫瑰花使法国政府极为难堪：只要法国继续存在，这朵玫瑰花将继续美丽而“带刺”！无奈之下，法国人只好说，将始终不渝地支持和赞助卢森堡的中小学教育事业。

7．请你别碰高利贷

从富兰克林的小额捐款急剧增大和拿破仑留下的“带刺玫瑰”可以看出，并不太高的利率是怎样让利息“疯长”的。如果遇到高利贷，那就更疯狂了。古巴比伦人就遇到过这个问题。

大约在公元前 1700年，古巴比伦人在《美索比达米亚泥版书》中提出了一个利息问题：以20%的年利率贷钱给人，要计复利，什么时候能连本带利翻一番？

显然，如果设本金为1，则从第二年起，每年本与利的和组成一个等比数列：1.2，1.2^2 ，1.2^3 ，1.2^4 ，1.2^5 ，…。也就是说，这个问题相当于求解指数方程1.2x =2。

这个方程两边取常用对数，就得到xlg1.2=lg2。由此解得 年≈ 年≈3.8年（而不是5年）。这就是说，大约在46个月之后，就能连本带利翻一番！当然，更准确的计算可得出3.8018年（大约3年9个月18天）。而现存于巴黎罗浮宫中的一块泥版书中也有非常接近的答案3.7870年，仅相差大约5天。

其实，在民间月利率5%（称为“5分”）的高利贷并不鲜见。解1.05y =2，就可得到y≈14个月（而不是20个月）。也就是说，只要1年多一点点的时间，连本带利就要翻一番！

对于对数和复利没有正确认识的借贷人可能事前并没有这么深刻的认识，直到还不起高利贷的时候才追悔莫及。温州的一家鞋业公司就是其中的一例。

“我连死的心都有。”这是这家公司的副总经理在2011年9月见到记者后说的第一句话。在总经理“人间蒸发”之后，他要用“5 分多”的月利率（即年利率超过60%）偿还1600万元贷款的高利息。不难想象，每年要付约1000万元的利息是怎样让这家中小企业的资金链断裂的。

当然，高利贷还有借贷人的信用风险、放贷人的法律风险等以及由此引出的五花八门的社会问题，所以大家都千万别去碰高利贷！

其实，古代就有从另一个角度认识高利贷危害的人。他就是公元前 13 世纪时犹太人的民族领袖摩西（Moses）。摩西是《旧约·出埃及记》等书中的先知，传统学者认为他就是《旧约·出埃及记》的作者。《出埃及记》中说：“我民中有贫穷的与你同住，你如果要借钱给他，是不可以像放高利贷的人那样向他收取高利的。”从这段话不但能看出这位先贤的善，还能看出他的智。可能是由于他认识到高利贷的危害，所以“Moses”就成了犹太人中放高利贷者的绰号。

摩西

当然，有这种智慧和认识到复利威力的还有另一个犹太人爱因斯坦。距今约100年前，他给我们的名言是：“宇宙中威力最强大的就是复利。”

5.2 数学珍宝——e和π的一家亲

毫无疑问，π 和 e 是数学中最常用和最重要的两个常数，而且这对数学珍宝还是如影随形的邻居加亲戚呢！

印度传奇数学家拉马努金曾发现一个π和e“同居一室”的公式：

3，也是一个“π和e一家亲”的有趣例子。

“π 和 e 一家亲”的另一个趣例是由西班牙萨拉戈萨大学数学家戈亚内斯与美国数学家桑道在 20 世纪初合写 或独写的论文中多次记载着的= 。

当然，e和π的亲密接触还不止这些，它俩还能组成“准整数”。

戈亚内斯

桑道

例如，用盖尔丰德常数 eπ 可写出eπ -π=19.999 099 979…≈20。英国-美国斯隆、英国康威和加拿大普劳夫等数学家在1988年几乎同时发现了这个奇妙的关系。

再如，分别接近-1，31，163，318，1087的有：

而有人写出的 ≈− 1则忽略了“虚数不能等于实数”。≈−0.999 999 999 2−0.000 038 892 7i

此外，还有 ="≈10也“对称”奇妙，由此“衍生”出9.999 838 7 10 tanh （两边的值仅相差大约6.005×10-9 ）。

当然，e和π产生的最著名的准整数是e^6 -π^5 -π^4 =0.000 017 673…≈0。当代数学家戴维·威尔森曾提到的这个式子和加拿大渥太华大学生物化学家杜格雷比发现的π^4 +π^5 =403.428 77…≈e^6 =403.428 79…在本质上完全一样。这个式子的妙趣在于2，3，4，5，6形成等差数列，2和3分别由e和π各自取整（即［e］=2，［π］=3）得到。π^4 +π^5 和e^6 的前7位有效数字相同，两者的相对误差小于5×10-8 。

把π和e各自四舍五入取整数，都得到3。可见，3是这对“邻居”共用的“墙”。

这堵“墙”也有不少奇特精彩的故事。例如，3 乘以任何自然数之积的各位数字之和一定是3的整倍数；如果得到的和是两位或以上的数，它的各位数字之和依然是3的整倍数，还可这样继续下去。例如，3×7641=22 923，2+2+9+2+3=18，18是3的整倍数；1+8=9，9依然是3的整倍数。不但如此，3的任何整数倍的数也具有相同的特性。例如 6×7641=45 846，4+5+8+4+6=27，27 是 3 的整倍数，2+7=9，9依然是3的整倍数。

还有更奇特精彩的故事。连续3个自然数之和必定是3的整倍数；而且这个和的各位数字之和依然是 3 的整倍数。例如 11+12+13=36，36 是 3 的整倍数；3+6=9，9依然是3的整倍数。

1941年，美国怀俄明州卡斯佩尔公司的总工程师布特勒尔在他的著作中宣称发现了π和e之间的亲密关系，并声明他的工作是在美国发展起来的第一个基础数学原理。他还让国会议员们在此前的1940年6月5日把它录成会议录音带。

更好玩的是，e还投入了π的“怀抱”。人们发现，从π值的第45 111 908 393位小数开始的数字正好就是e的前11位数字27 182 818 284！

e与π的数字联系还不仅如此。有人在发现π与e的十进制小数第13位9、第17位2、第18位3、第21位6、第34位2……都对应相同的数之后，猜测π与e的十进制数字平均每10位会有1次雷同，这一猜测至今没有被证实或否定。

此外，e与第二黄金分割数Φ=1.618…也能组成准整数，例如 ≈ 1。

这里附带谈到用e与整数构成的准整数名例。 ≈1是其中的一个，美国数学家韦斯坦在 2005年曾记录过这个式子。而 "≈32=2^5 ， 4910.000 001 22="≈4910，88ln89=395.000 000 53…是另外3个名例。

不过，较冗长但却具有无与伦比的优美与和谐的准整数式子是：

它是由当代数学家斯托斯切克发现的。等式最左边的正数除e之外仅有1，2，5，6，等式最右边含最小的3个素数，即2，3，5。

5.3 弟弟帮哥哥——e为π开路立功

在欧拉初步证明e是无理数的基础上，瑞士-法国-德国数学家兰伯特在1761年向柏林科学院提交了一篇论文（1768年发表），首次初步证明 π 也是无理数。他的证明过程如下。

兰伯特从欧拉发现的 "和英国数学家布龙克尔发现的 "入手，先得出后人以他姓氏命名的两个连分式：

他研究这两个式子的性质之后得到以下两个定理。

定理1 如果x是0以外的有理数，则 tanx必然是无理数；反之，如果 tanx是0以外的有理数，则x必然是无理数。

定理2 如果x是0以外的有理数，则 ex 必然是无理数；反之，如果 ex 为 1以外的有理数，则x必然是无理数。

兰伯特

布龙克尔

最后，他设x=π/4，则tanx=1；因为1是有理数，所以由定理1知道，π/4必然是无理数，因而π也必然是无理数。

这里，弟弟e为哥哥π第一次开路立功，证明π是无理数。

在证明e和π是无理数之后，数学家们又向证明它们是超越数进军。

1873年，法国数学家埃尔米特初步证明了自然对数的底e是超越数。而德国数学家卡尔·路易斯·费迪南德·冯·林德曼（以下简称冯·林德曼）则借助于埃尔米特的方法，在 1882年严格地证明了 π是超越数。

这里，弟弟e为哥哥π第二次开路立功，证明π是超越数。而对于数学家们来说，这次立功“更值得赞誉”。

埃尔米特

冯·林德曼

为什么“更值得赞誉”呢？这得从化圆为方问题（以下简称化圆为方）谈起。

约公元前1650年或更早，古埃及数学家艾哈麦斯用僧侣文书写了一卷纸（莎）草书，后来称之为《艾哈麦斯纸草书》或《兰德纸草书》。《兰德纸草书》中说：“取圆直径的 8/9 作为正方形的边长，就可以得到和圆等面积的正方形。”可见，此时化圆为方即将经历的漫漫航程已经起锚。下面就介绍《兰德纸草书》和另一卷著名的《莫斯科纸草书》。

纸草是一种生长在尼罗河三角洲一带的植物，把它的茎秆中心的髓切成细长条并轧制成片，经干燥后将变薄而形成平滑的表面，用它抄写的书（卷）就是纸草书。古埃及人一直用这种纸书写，一直到8世纪。希腊人和罗马人也曾使用它，直到3世纪被更廉价的羊皮纸取代。

时光飞驰，“转眼间”就到了19世纪。兰德是一位苏格兰古董商和研究埃及的学者。1858年，他到埃及旅游时，在卢克索省的一个市场里收购到一卷发现自埃及古都西比斯的一座废墟上的纸草书。这卷总长5.44米（主要部分长5.25米）、宽 0.33 米的著名纸草书，在兰德辞世的 1863年就被遗赠给大英博物馆收藏至今。《兰德纸草书》中间有少量缺失的残片（长约 0.19 米），这些残片也于1922年在纽约的一本私人收藏的医学书中意外发现，现收藏在纽约布鲁克林博物馆。

英国大英博物馆收藏的《兰德纸草书》主要部分

《莫斯科纸草书》的长度与《兰德纸草书》大致相同，但宽度只有8厘米，即约为后者的 1/4。它出自埃及十二王朝一位佚名作者的手笔，即大约写于公元前19 世纪，但卷首已经遗失而无法考证书名。它由俄国贵族戈列尼雪夫于1893年在埃及购得，因而也叫《戈列尼雪夫纸草书》。《莫斯科纸草书》转存于莫斯科图书馆，现藏于莫斯科普希金精细艺术博物馆。少年时就迷恋埃及古文物的历史学家、埃及考古学家戈列尼雪夫曾到过埃及60多次，1910年因病移居法国尼斯，直到90高龄终老。

《莫斯科纸草书》

在介绍了两卷纸草书之后，我们再回到化圆为方上来。

从公元前 5 世纪算起到十七八世纪，化圆为方的航船经过漫漫两千多年征程，但却依然在汪洋大海中游荡飘摇，并没有到达目的地。原来，数学家们在此时才发现，要解决化圆为方，就必须判定π是不是超越数。如果不是超越数，那就能用尺规作图法求出。如果是超越数，那就不能通过有限次尺规作图法求出。这里的根据是1830年才19岁的法国数学家伽罗瓦创立的理论。而当时判定π是不是超越数，是一个让数学家们头痛的问题。

伽罗瓦创立的理论开辟了代数学的一个新领域——群论。然而，他的这些理论却没有在他生前得到承认，直到他死后 14年（31岁时死于因爱情纠葛而发生的决斗），才由法国数学家刘维尔整理并发表在他于1836年创办并担任了近40年（1836—1874）主编的法文刊物《纯粹与应用数学杂志》上。

伽罗瓦

为什么化圆为方要牵涉超越数问题呢？

我们知道，化圆为方就是让 πR^2 =a^2 ，也就是 这里，R 是已知圆的半径，a是所求正方形的边长。从 可以看出，问题的关键是牵涉π，但“不幸”的是， 也是超越数。根据伽罗瓦的理论，用尺规作图法通过有限次作图作出超越数π是不可能的，因而用尺规作图法化圆为方是不可能的。

当然，在1830年的时候还没有证明π是超越数。52年之后，德国数学家冯·林德曼完成了这个证明。

5.4 e连横合纵之后——3种“桃园三结义”

1．π、e和i的“桃园三结义”

π、e和i“桃园三结义”的eiπ +1=0被称为欧拉公式。那么，它是怎么得来的呢？

设z=x+iy（这里，i= ，x和y都是实数），这样ez =ex+iy =ex eiy ，就是ez /ex =eiy 。

用牛顿幂级数展开式ex =1+x+x^2 /2！+x^3 /3！+…+xn /n！+…把eiy 展开，就得到ez /ex =eiy

=1+iy-y^2 /2！-iy^3 /3！+y^4 /4！+iy^5 /5！-y^6 /6！-…

=（1-y^2 /2！+y^4 /4！-y^6 /6！+…）+i（y-y^3 /3！+y^5 /5！-…）

由于cosy=1-y^2 /2！+y^4 /4！-y^6 /6！+…和siny=y-y^3 /3！+y^5 /5！-…，所以ex+iy =ex eiy =ex （cosy+isiny）。

设这个欧拉公式中的y=π，就得到欧拉关系式eiπ =-1，或变为eiπ +1=0。

我们还可以继续下去，同样可以得到含e的式子。

再把式（5.8）中的y换为-y，就得到：

最后，依次把式（5.8）、式（5.9）相加、减就得到同样著名而美妙的两个公式：

这两个公式也叫欧拉公式。它们和 eiy =cosy+isiny由欧拉在1743年发表，在欧拉的《无穷分析引论》第8章中也有记载。

欧拉之前的公元1714年，牛顿的学生、英国数学家科特斯在《度量的和谐》一书中发表了本质上和式（5.8）相同，也和下面棣莫弗公式本质上完全一样的式子：ix=ln（cosx+isinx）。这个式子把实数、虚数、对数函数、三角函数有机而和谐地联系在一起了。

1722年，出生在法国、后来被迫侨居英国的数学家棣莫弗在一篇笔记中重提他在1707年的一篇文章中隐隐约约得到的结果，不明显地得到了著名的棣莫弗公式（cosx±isinx）n =cos nx±isin nx。

不过，在欧拉的《无穷分析引论》发表之后，棣莫弗公式才得到广泛的应用。欧拉把它变为e± iπ =cosx±isinx。由此出发，也可以得到eiπ +1=0等式子。

关于e±iπ =cosx±isinx的趣事是，拉马努金在12岁的时候就独立把它推导出来了。

詹姆斯·米尔斯·皮尔斯的公式（等式左边是他的父亲独创的分别代表e和π的符号）

另一个 π、e 和 i“桃园三结义”的公式是 （=4.810 477 380 965 35…）（见右图）。它是由美国数学家詹姆斯·米尔斯·皮尔斯得到的。而他的父亲本杰明·亨特·皮尔斯则用独创的圆周率符号“ ”、自然对数的底的符号“ ”得到e-π =(-1)i （=0.043 213 918 263 772 2…）。詹姆斯·米尔斯·皮尔斯于1871年在波士顿出版的《三元和四元平方表》一书中记载了他父亲的这两个符号。他还因写了这本书和发现 而得到奖励。当然，皮尔斯父子俩的这两个式子都可以从eiπ +1=0推导出来。那么，除了eiπ +1=0， ，eπ- =(−)i 1 以外，还有没有这类π、e和i“三结义”的简洁公式呢？

1719年，意大利数学家法格纳诺得到了 。在这个式子中，π、e和i再次“三结义”。 的样子似乎是虚数，但却是实数π/4，即0.785…。

说到虚数，就会问 ii 是虚数吗？“样子”似乎有点儿像，但是欧拉在 1746年给出了它有无限多个值，而且都是实数的正确答案：ii =e−(π/2+2kπ) （其中k=0，±1，±2，…）。例如，当k=0时，ii =e−π/2 =0.207 879 576 350 761 9…，是一个实无理数。由此可得i−i =i1/i = =4.810 477 380 965 35"（这里π、e和i再次“三结义”）。所以，ii 和i−i =i1/i = 都不是虚数，而eiπ +1=0则是它们“桃园结义”的桥梁。

欧拉得到的ii =e−π/2 被俄国-苏联数学家盖尔丰德写成eπ =i−2i （这里π、e和i又一次“三结义”）。ii =e−π/2 还可变形为 ilni=-π/2 和 lni/i=π/2。由此可知，ilni=-1.570…和lni/i=1.570…也都不是虚数。π、e和i“三结义”的ilni=-π/2和lni/i=π/2是一类典范——用“玄妙量”表达“平淡量”的典范。

除了上述“三结义”以外，π和e还有“连横合纵”的巅峰之作：用e-2iπ -1=0巧妙地让0，1，2，i，π，e这“六大明星”同台献艺。这也和盖尔丰德的eπ =i−2i

以及欧拉的ilni=-π/2有异曲同工之妙。

2．π、e和φ的“桃园三结义”

印度传奇数学家拉马努金发现了下面的有趣公式：

在这个公式中，我们看到了 π、e 和黄金分割 的“桃园三结义”。

这里要附带介绍一个用e来计算前10项斐波那契数Fn+1 =1，1，2，3，5，8，…的“近似公式” ，其中 是取不小于x的最小整数的意思，称为上限函数（或天花板函数），n=0，1，2，…，9。例如，当 n=9 时， 。应当注意，当n＞9时，这个“近似公式”失灵。例如，用含 e 的公式 来计算斐波那契数时，前 10 项与实际的斐波那契数吻合，但从第 11 项起就不吻合了。1988年，英国数学家、加拿大卡尔加里大学数学系名誉教授盖伊最早发现了这个“近似公式”。

拉马努金让π、e和Φ“三结义”的还有下面的“漂亮连分式”：

据说，拉马努金的老师、著名解析数论大师、英国数学家哈代，在初次见到这个“旋律优美”而又让人匪夷所思的公式之后完全成了“丈二和尚”。他一辈子都没有看到过哪怕是稍微接近它的、这么美轮美奂的公式！但是，他又确信它是正确的。果不其然，它不久就被证明了。于是，一位把它列在“十大超级有趣的数学公式”之首（欧拉公式eiπ +1=0位居第二）的中国学者慨叹：“它和谐而又气势磅礴的形式，令每一个初次见到它的人都会为之悸动！”

“有人告诉我，我在书中的每一个方程都会使这本书的销量减半，为此我决定一个方程也不用。”英国著名天体物理学家霍金写道，“然而，最后我确实用了一个方程，即著名的爱因斯坦质能方程E=mc^2 。希望这个方程不会吓跑我的一半潜在读者。”对此，我们不禁要说：“如果您的书中写上前述拉马努金的漂亮连分式，这本书的销量一定会翻倍！”

霍金

当然，有的式子是近似的，但也很有名。例如， =1.000 009 7"，这朵“名花”之主是德伯姆佩奥（2004年发现）。又如，据说在2005年出版的《穿越时空的智慧：洛书人与千古之谜》一书中，三位中国学者发现的“奇异公式”（2π）4 φ^3 e=1000.117 518…≈1000也很有趣。

3．e、！和arctan的“桃园三结义”

除了上述“三结义”之外，e也能与“！”和arctan“三结义”。

这两个“缺 5”公式的和谐“对称”也让人惊叹不已，所以发现人（据说是一位中国学者）把它们并列排在“十大超级有趣的数学公式”的末位。

5.5 定义和纽带——对数积分和指数积分中的e

对数（函数）积分 ，也叫积分对数或欧拉对数积分。指数（函 数）积分，也叫积分指数。在以上两式中，x＞0 时（但x≠1），在t=0处取积分主值。在它们各自的上述定义中，显然都和e紧密相连。

在不引起混淆的前提之下，Lix也可写成 Li（x）、lix或 li（x）。在估计比x小的素数个数的问题中，它有着重要的应用。不过，由于lix的值在x趋近于0时会趋近于负无穷大，所以有些数学家为了避免麻烦而选择另外一个相似的定义，

即把欧拉对数积分Lix定义为：Lix=lix-li2或 ，其中 有一个正根是x=1.451 369…，被称为拉马努金-索尔德内尔常数。

此外，在对丢番图逼近的研究中，有一个谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩斯坦定理，其中也涉及“li”。丢番图是希腊数学家，而谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩斯坦是俄国-苏联数学家，他在1914年发现了著名的伯恩斯坦常数β=[0，3，1，1，3，9，…]。他当时认为 。而在1987年，两位美国数学家理查德·斯蒂文·瓦尔加和卡尔彭特（生于塞拉利昂）证明他的这个值有误，应为β=0.280 169 499 023 869 133 0…。

Eix在量子力学中也有重要应用。

“Ei”和“Li”之间的关系Eix=Liex ，以ex 为连接纽带，也很有趣。

5.6 悄悄走近数学王子——素数研究中的e

“是时候了/让我们来谈谈素数。”这是俄国-苏联诗人马雅科夫斯基的诗句。是的，是谈素数的时候了。

在素数研究中，有许多奥秘已被揭开，但也有许多问题没有“收官”。在本章中，将主要谈到其中的4个：鉴别素数的方法有哪些，素数的个数有多少（素数定理等），素数是如何分布的（包括相邻两个素数之间的间隙有无规律），有无生成全部素数且只生成全部素数的公式。

1．素数的谜和趣

素数是简单利索而又困难纠结的，也是通俗易懂却又艰深晦涩的。例如，素数问题的起点是“原始形态”的素数的定义，凡是懂得除法的小学生都能在简单易懂的解释之后知道什么是素数。然而，“当今形态”下的不少素数问题困难晦涩得让不少人望而却步。

素数是有许多谜的。例如，1900年在巴黎召开的第2届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特在《未来的数学问题》（主要内容是著名的“23问”）第25个自然段提出了x^2 +1（x是自然数）型素数问题：既然当x=1，2，4，6，10，14，…时，1^2 +1=3，2^2 +1=5，4^2 +1=17，6^2 +1=37，10^2 +1=101，14^2 +1=197，…都是与费马数有关的素数，那么x^2 +1型素数是否有无穷多个呢？这个谜至今没有人能够解答。

素数是有趣的。例如，按从小到大排列的第 230 个素数有 6400 位（其中有6399个9和1个8，正好有关系式6400=6399+1），第713个素数（10^1951 ）×（10^1975 +1 991 991 991 991 991 991 991 991）+1，正好在1991年被发现。再如，在用所有阿拉伯数字依次排列组成的数中的“顺序素数”是1 234 567 891。如果一个n位素数的前1位、前2位……前n位都是素数，则 n 是超级素数。例如，素数 7331是个 4 位超级素数，因为 7，73，733，7331都是素数。100以内的超级素数共有13 个：2，3，5，7，23，29，31，37，53，59，71，73，79。

素数三角

一个“素数三角”之谜也能让我们领略素数的趣味。1958年 7月，美国数学家吉尔布雷斯在一张餐巾纸上做算术时，偶然发现了如右图所示的素数三角。在这个三角中，第一行是从小到大排列的全体素数（仅写出13个），以下各行依次是上一行两数之差的绝对值，最终结果总是会得到最下面一行的 1。后来，这个猜想被称为吉尔布雷斯猜想。那么，这个猜想是否正确呢？在吉尔布雷斯之前80年的1878年，法国自学成才的农民数学家普罗斯就提出并企图证明同样的猜想，但后来发现他的“证明”有误。1993年，出生在波兰的美国数学家奥德里兹科曾不厌其“繁”地检查了 10^13 以下的素数排列的素数三角（多达 346 065 536 839行），它们都符合这个猜想。他的相关论文《连续素数迭代的绝对值差》发表在当年美国《计算数学》杂志第61卷第373～380页上。

奥德里兹科

吉尔布雷斯猜想是否成立，截至2014年年底依然是一个未解之谜。不过，中国学者张天树认为，他已经证明了这个猜想。他说，他的论文《勒让德-张猜想和吉尔布雷斯猜想及其证明》于2012年发表在国际数学专业杂志《普通数学》第20卷第2-3期第86～100页上。这家杂志由国际科研中心（International Center for Scientific Research and Studies，缩写为ICSRS或CIRS，1998年在巴黎注册）主办，社址在约旦（哈希姆王国）的伊尔比德，目前的主要负责人是贾布里尔博士。他是位于沙特阿拉伯麦地那的泰巴大学数学系的主要组织者。

素数是“潜力股”。它像生命力超强的幼苗，已经长成了枝繁叶茂的大树，还将长成参天大树，结出更多硕果。在用“非得用十几个新问题才能解决一个老问题”的幽默来概括这个特点之后，我们想起了德国数学家希尔伯特的名言“好问题是下金蛋的鸡”。

数学是发现出来的还是发明出来的？这是从古希腊哲学家柏拉图时代以来一直争论不休，而且至今尚未完全解决的数学哲学问题。研究复杂系统理论的大师、英国科学家沃尔夫拉姆于2002年在美国出版的巨著《一种新科学》认为：“大自然的秘密在于用简单的程序去产生复杂性。”其实，被“发现”（客观永恒的存在）并被“发明”（“游戏规则”由我们制定）的数学也是如此。这样，人类就必须去探索数学的所有属性，这也是数学的无穷魅力所在，而素数魅力的源泉也在这里。

沃尔夫拉姆及其著作《一种新科学》

2．自然数的基石

曾几度推迟宣布的 2013年度诺贝尔物理学奖颁给了两位理论物理学家：比利时的恩格勒和英国的希格斯。获奖原因是，他俩（还有其他科学家）在 1964年预言了希格斯玻色子（俗称“上帝粒子”）的存在。这里的背景是，标准粒子模型理论总共预言了 62 种基本粒子，其中最后一种未被发现的基本粒子在历经半个世纪的争议之后于2013年被实验观测“基本证实”（但依然有待进一步证实，而且并不能给粒子物理学画上圆满的句号）。玻色子是一类粒子（例如光子）的统称，以对粒子物理学做出重要贡献的印度物理学家萨特延德拉·纳特·玻色命名。

恩格勒

希格斯

上帝粒子是解释基本粒子的质量（注意：不是“物质的质量”。万物之所以有质量，主要是由强相互作用造成的，而不是因为希格斯粒子）之谜最重要的基石之一。那么，在数学中，自然数的基石是什么呢？还是从一个侦探故事开始说起吧。

“太无聊了，”大侦探福尔摩斯说，“最近一件值得动点儿脑筋的案子都没有！”

“我知道你的老毛病又犯了，”他的挚友华生医生接过话头，“你得做点脑力体操。”

这是英国小说家柯南·道尔的著名小说《福尔摩斯探案集》中的一段对话。

那么，最终华生给福尔摩斯的脑力体操是什么呢？是一道数学题：3 个自然数之和是338，之积是1986，求这3个自然数。

如果用列不定方程的办法来解这道题的话就比较困难（读者不妨一试），而福尔摩斯则用了下面的巧妙解法。

因为1986=2×3×331，所以要求的3个数中，最大的那一个必定是331，而不可能是331×2或者331×3，因为它们都大于338。这样，另外两个数之和必定是338-331=7，之积是2×3。这样就很容易求得另外两个数是1和6。所以，要求的3个自然数是1，6，331。

那么，除了 331×2 或者 331×3 都大于338 以外，福尔摩斯在得到1986=2×3×331之后，凭什么说要求的3个数中最大的那一个必定是331呢？难道不可能是331，331×2，331×3之外的自然数吗？是的。原来，他从算术基本定理得知，1986只能唯一分解成2，3，331这3个素数之积。这样，1986的所有3个自然数之积只能是2，3，331与1这4个自然数（取其中的两个或3个）之积，例如662=2×331或者1986=1×6×331，等等；不可能是其他任何3个自然数之积。所以，3个数中最大的那一个必定是331。这样，高斯在1801年明确提出并证明的算术基本定理（雏形是由欧几里得提出和证明的）就有了另一个名称——自然数的唯一分解定理。例如，23 244只能唯一分解成素数2，2，3，13，149之积。

因为任何自然数都能表示成素数的乘积，所以数学家说素数是自然数的“建筑基石”或“数学世界的原子”。这饱含深刻数学内涵的话是要认真体会的，这也可以用下面的另一个浅显实例来说明。

在17世纪，微积分已经诞生。然而，这个世纪的英国数学家爱德华·科克在计算3/5＋7/8＋9/10＋12/20时还在用这些分数的全体分母之积8000（=5×8×10×20）作为公分母。而我们知道，用公分母40就行了！除了西方数学关于分数的研究进展缓慢之外，看来他是不知道求最小公分母了，其原因很可能是不知道素因数分解。素数是这种分解的“基石”。

算术基本定理表明，每个大于1的自然数都可以唯一分解成有限多个素数的乘积（不考虑这些素数的排列顺序）。正因为如此，素数也就必然是自然数的“建筑基石”，算术基本定理也就必然成为许多其他定理、运算方法等的逻辑支撑点和出发点。

素数还有一个刘维尔关系（以下简称刘关系）。

我们知道，在自然数集中有一个奇妙的关系：1^3 +2^3 +3^3 +…+n^3 =（1+2+3+…+n）2 。那么，这种对连续自然数集成立的关系，对其他数的集合是否也成立呢？答案是肯定的，关于13的一个集合就是如此。

13的因子有两个：1和13。由此有了一个新的集合（因子个数集合）{1，2}，其中的1是13的一个因子1的因子个数，2是13的另一个因子13的因子个数。由此可以得到1^3 +2^3 =（1+2）2 ，即13的两个因子（1和13）各自因子个数（即1个和2个）之立方和等于各自因子个数之和的平方。据说，法国数学家刘维尔研究过这种关系式，我们就把它叫作刘关系。事实上，对于所有素数，因为它们各自因子个数的集合都是{1，2}，所以显然都适用于刘关系。

对于其他不是素数的自然数，刘关系就不一定适用了。不是素数但适用于刘关系的自然数有第二个完全数28。28有6个因子，即1，2，4，7，14，28，而这6个因子分别有1，2，3，2，4，6个因子，它们构成{1，2，3，2，4，6}。此时，我们看到：1^3 +2^3 +3^3 +2^3 +4^3 +6^3 =（1+2+3+2+4+6）2 （=324）。此外，60也遵循刘关系：1^3 +2^3 +2^3 +3^3 +2^3 +4^3 +4^3 +6^3 +4^3 +6^3 +8^3 +12^3 =（1+2+2+3+2+4+4+6+4+6+8+12）2 （=2916）。

3．埃拉托色尼的“筛子”

一个自然数如果没有1和它本身以外的整数因子，它就是素数。

欧几里得在《几何原本》第9卷命题20中，用反证法巧妙地证明了素数有无穷多个——“素数的个数比任意给定的素数都多”。所以“素数有无穷多个”被称为欧几里得定理。他是这样证明的：假设素数只有p_1 ，p_2 ，…，pn 这有限的n个，那么 p_1 p_2 …pn+1 就必然是合数，而且这个合数的素因子显然与 p_1 ，p_2 ，…，pn 都不同——出现了大于pn 的素因子，于是素数有无穷多个。后来，人们把p_1 p_2 …pn+1 称为欧几里得数（以下简称欧氏数）。那么，欧氏数都是合数吗？不都是，但是很多。事实上，虽然前5个欧氏数7，31，211，2311都是素数，但是从第6个欧氏数（2×3×5×7×11×13+1=30 031=59×509）开始是合数之后，只有pn =31时的欧氏数2 000 560 490 131，pn =379（一个200位数）时的欧氏数以及pn 等于1019和1021（一对孪生素数）时各自的欧氏数等才是素数了。

后来又有“素数有无穷多个”的多种证明方法。例如，利用“费马数有无穷多个”来证明，利用对小于自然数 n 的素数个数进行估计来证明，利用大于30 的自然数不具有“30 的奇妙特性”来证明，利用解析手段的“欧拉证明”。这里所说的“30的奇妙特性”是指：不大于30且与30互素的自然数中，除去1之外，全部都是素数（这些素数共有7个，即7，11，13，17，19，23，29）；而且30正好分解为这7个素数前面所缺的也是最小的3个素数，即30=2×3×5。据说，印度数学家马汉蒂就曾收集了15种之多的证明方法。即便如此，欧几里得定理及其巧妙的证明依然让后人赞叹不已。例如，美国女诗人、剧作家米莱就曾赞叹说：“只有欧几里得看到了‘美’的本质。”限于篇幅，我们在下面只介绍“欧拉证明”。

欧拉假设素数p_1 ，p_2 ，…，pm 仅为有限多个，那么一个确定的有限大的数是

根据唯一分解定理，每一个自然数n都能唯一地分解成素数偶的乘积，所以把上述式子的右边展开之后，每一个n恰好作为分母出现一次。也就是说，上述式子的右边等于 。而我们知道，这个被称为（著名的）调和级数之和的数是发散于无穷大的，从而使 不是一个确定的有限大的数。这就出现了矛盾，于是“素数有无穷多个”得证。

既然素数有无穷多个，那么数学家们追求越来越大的素数也就顺理成章了。然而，在发明电子计算机之前，追求大素数并不容易，得到的最大素数 A 仅有39位：A=170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727。这个A非常有趣：不但是第 12 个梅森素数，也是第 4 个双梅森素数与截至 2015年年底已知的最大双梅森素数，而且正好是“双国际象棋盘最后一格的麦粒数减 1”。这里的第一个说明是，把两个国际象棋棋盘并列摆在一起，在每一个棋盘格中按以下方法分别放入麦粒：第一个棋盘的第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以下照这样依次加倍放，直到第二个棋盘的最后一格，再从最后一格取出1粒之后，这一格剩下的粒数就是2^127 -1，即A。第二个说明是，以2为底，用梅森素数作为梅森数的指数，就得到新梅森数，新梅森数中的素数就是双梅森素数，也就是样子像 其中p为素数，Mp =2p -1是第p个梅森素数）的素数。截至2015年年底，已知的双梅森素数只有4个，另外较小的3个是7，127，2 147 483 647。

有多么不容易呢？美国数学家贝勒在他于1964年出版的名著《数论妙题——数学女王的盛情款待》中举了一个例子来说明：德国天文学家、数学家迈塞尔（在19世纪末）当真计算了10亿以内的素数，结果有50 847 479个，但正确的答案是50 847 534个，他遗漏了55个！此外，A由法国数学家鲁卡斯在1876年证明是第12个梅森素数时，距离“第一台”电子计算机埃尼阿克诞生的1946年整整有70年。可见在这大半个世纪中，“聪明”的人类还没能发现一个比A更大的素数！

接下来的问题就是，如何判断某个自然数n是不是素数呢？然而，如上所述，当n很大时，要判断是非常不容易的。举例来说，很容易算出19 394 489×27 687 937=536 993 389 579 193=n，但要找到n的这两个因子就异常困难了。这种困难可以从下面的“筛子”算法体现出来。

埃拉托色尼的“筛子”

古希腊数学家埃拉托色尼首先发明了鉴别素数的“筛子”：用小于 的所有素数依次去除待鉴别的 n，然后根据每一次的余数是否为零进行判别，当且仅当每一次的余数都不为零时，n 就是一个素数。例如，要鉴别 257 是不是素数，要用小于 的所有6个素数2，3，5，7，11，13分别去除257。结果是每一次的余数都不为零，那么257是素数。当然，在实际除的时候可以采用某些技巧来减少工作量，但是在n很大时，工作量依然很大，而且困难重重。例如，若要鉴别8 083 457，则要用小于 的412个素数依次去除8 083 457，别说（例如）更大的536 993 389 579 193了。

没有多大理论价值的埃拉托色尼筛（常简称筛法）有重要的应用价值但却效率低下，而且在20世纪之前的两千多年中几乎没有重大进展。

4．不断更新的“筛子”

（1）从 19 世纪的勒让德到 20 世纪上半叶的塞尔贝格

“不合格品”被一个个“筛”出去

虽然法国数学家勒让德在 18～19 世纪把埃拉托色尼筛改进为勒让德筛，也就是埃拉托色尼-勒让德筛，但也没有重大实用价值。直到1920年前后，挪威数学家威果·布朗才首先对埃拉托色尼筛法做出有重要理论价值的改进，发明了布朗筛。1941年，库恩提出了能加强其他筛法效果的筛法——加权筛。这种筛法可以加强其他筛法的效果，当今有关筛法的许多重要结果都与这一思想有关。1942年，俄国-苏联数学家林尼克取得又一次重大进展，发明了大筛。1947年，美籍挪威数学家塞尔贝格用求二次型极值的简单思想完成了又一次重大改进，发明了塞尔贝格筛。这样，布朗筛、加权筛、大筛和塞尔贝格筛成为20世纪上半叶的四大现代“筛子”。

后来，包括中国的华罗庚、陈景润在内的各国数学家也对现代筛法做出了许多重要贡献。（2）孙达拉姆：别具一格的改进

另一个与埃拉托色尼筛一样浅显易懂但更加便于操作的“筛子”来自印度泰米尔纳德邦小镇萨斯亚曼嘎拉姆的数学家孙达拉姆。1934年，这位当时还是学生的孙达拉姆取得了一项青史留名的数学成就，发明了孙达拉姆（正方形）筛（以下简称孙筛）。这项虽然算不上是“现代”的突出成就，由印度数学家艾亚尔以“孙达拉姆素数筛”为题，发表在1934年的《学生数学》杂志第2卷第2期第73页上。

孙筛是一个对称矩阵，它的第1列和第1行都是从4开始、公差为3的等差数列，第2，3，4，…列和第2，3，4，…行依次是公差为5，7，9，…的等差数列。

4 7 10 13 16 19 22 25 …

7 12 17 22 27 32 37 42 …

10 17 24 31 38 45 52 59 …

13 22 31 40 49 58 67 76 …

16 27 38 49 60 71 82 93 …

19 32 45 58 71 84 97 110 …

22 37 52 67 82 97 112 127 …

25 42 59 76 93 110 127 144 …

… … … … … … … … …

如果某个自然数 n 不出现在孙筛中，那么 2n+1 就一定是素数；如果 n 出现在孙筛中，那么2n+1就一定不是素数。以下各举一些实例来说明。显然，1，2，3不会出现在孙筛中，所以3（=2×1+1），5（=2×2+1），7（=2×3+1）都是素数；而4，7，10出现在孙筛中，所以9（=2×4+1），15（=2×7+1），21（=2×10+1）都不是素数。

几乎所有的素数都能从孙筛中逆推得到。例如，对于281，因为（281-1）÷ 2=140，而 140 显然不会出现在孙筛中，所以 281 是素数。当然，也有且仅有一个例外——素数2不能从孙筛中得到，但这个“缺点”显然无关紧要。不过，孙筛的缺点也显而易见：在鉴定很大的数时，不但要事前编制那个篇幅惊人的对称矩阵，而且还需要大规模的计算。

虽然孙筛也诞生在20世纪上半叶，但由于它独树一帜，所以在这里单独叙述。

（3）20世纪下半叶：ARCL法与APR法

1980年的一项重要进展是由4位密码专家、计算机科学家做出的，他们分别是美国的阿德勒曼和鲁梅利，以及法国的亨利·科恩、荷兰的阿尔金·克拉斯·楞斯特拉。他们研究出一种非常复杂、具有高度技巧的素数判别方法（取四人的姓氏第一个字母命名为ARCL法），用计算机分别检验一个20位数、50位数、100位数的素性，各自只需要10秒、15秒、40秒；而如果用埃拉托色尼筛法，判别一个50位数的素性则需要100亿年！

此外，3 位美国数学家阿德勒曼、波梅兰斯和鲁梅利在 1983年提出的 APR判定法（以三人姓氏的第一个字母命名）也很有名。

（4）21世纪“更上层楼”：从AKS法到阿特金筛

2002年8月6日，印度理工大学的3位计算机专家阿格拉瓦尔、卡亚尔和萨克纳联合发表了一篇论文，介绍了他们发现的检验素数的快速方法——以三人的名字缩写命名为AKS素数测试（以下简称AKS法）。AKS 法一改传统的“直接判定某数是不是素数”的方法，而是从被检验的数出发，构造出一系列小问题或者等式。如果所有的等式都成立，那么这个数就是素数；如果其中任何一个等式不成立，那么这个数就不是素数。AKS法吸引了包括《纽约时报》在内的全世界媒体的关注。后来，这篇论文以“属于素数的P”为题刊登在美国《数学年刊》2004年第160卷第2期第781～793页上。1884年更名的《数学年刊》的前身是 1874年创办的《分析师》，后来成为世界顶级数学双月刊。他们仨也因此获得包含2006年的哥德尔奖在内的许多大奖。哥德尔奖以著名的捷克-奥地利-美国数理逻辑学家哥德尔命名，从1993年起，每年由欧洲理论计算机协会（EATCS）与美国计算机协会（ACM）的算法与计算理论特别兴趣小组（SIGACT）共同颁发。

左起：阿格拉瓦尔、卡亚尔、萨克纳

2005年，美国数学家波梅兰斯与荷兰数学家亨德里克·威廉·楞斯特拉（小）又发现了AKS法的一个变体，它比AKS法检验素数的时间显著缩短。

21世纪的另一项突破是阿特金筛，它由英国数学家阿特金与美国数学家、密码专家丹尼尔·朱利叶斯·伯恩斯坦创造。利用他俩在2004年发明的阿特金筛，据说使用一台Pentium II-350型计算机，在8秒内就找出了10^9 以内的全部50 847 534个素数。

5．“筛”出来的素数表

检验素数后的另一项工作就是把成果汇编成素数表或自然数的因数表。

最早编制素数表的是我们熟知的斐波那契。在他于1202年编制的素数表中，只有从11到97之间的21个素数。同时，他还编制了12和100之间的因数表。

波梅兰斯

楞斯特拉（小）

阿特金

丹尼尔·朱利叶斯·伯恩斯坦

1657年，荷兰数学家斯库顿发表了1万以内的素数表。这是数学史上第一个规模宏大的素数表。但仅仅过了两年，他的纪录就被打破：1659年，瑞士数学家雷恩发表了 2.4 万以内的自然数因数表（当然也就包含了素数表）。1668年，英国数学家佩尔将2.4万增加到10万。另一种说法是，增加到10万的是布兰克尔。首次企图把10万扩展到100万的是“狂人”数学家、奥地利维也纳的一位中学校长费尔克尔，他在1785年将其延伸到285.6万。不幸的是，这位“素数迷”在 1776年印出来的 40.8万以内的数的因子表却很少有买主，除了几本幸免于难之外，其余的都被低价抛售，在与土耳其的战争中用于买子弹等军火！奥地利皇家金库曾出巨资支持编印这个因子表，获得并保存过费尔克尔的大部分手稿。但是，这些手稿在费尔克尔要收回时却没有了踪影，他只好把从40.8万到285.6万之间的数的因子再重新计算一遍！

费尔克尔

“凝视着这些心血的结晶时，人们不禁会沉思冥想，在这样一个战乱频仍、动荡不安的世界里，心甘情愿地消磨一生的大部分时光从事这样一种工作的人，一定发现了使内心安乐平静的秘密。”美国数学家贝勒在《数论妙题——数学女王的盛情款待》中，对这样的挫折与不幸感慨地说，“这是所有的急功近利之徒从来没有得到的东西。”

到了1863年，奥地利帝国数学家、天文学家库里克算出了1000万以上的素数，得到了从10 006 741到10 999 997之间的所有素数。他在生命的最后大约40年（约1825—1863年）编制了一部共有4212页的八卷本素因数表，记载了包括从素数2，3，5直到100 330 201在内的自然数的标准素因数（其中列出的素数超过5 761 456个）。虽然第二卷（其中有从12 642 600到22 852 800之间的素数）已经丢失，而且错误很多，但却是迄今已出版的最大规模的素因数表。库里克这本没有完工的素因数表手稿是他在布拉格大学工作期间写的，现存于维也纳科学院。由于意大利诗人、数学家波莱提与罗伯特·詹姆斯·波特等人的后继工作，库里克的素数表才在他死后88年的1951年出版。

库里克的第二卷书稿被丢失，对个人来说是一个悲剧，但对数学却无关紧要，加之后来又发现库里克的第一卷素数表中也有不少错误，这就使他几乎倾其一生的努力变得没有价值，所以有人把他称为“最英勇同时也是最悲壮的素数迷”。然而，正是这些“英勇而悲壮”的数学家们“没有价值”的劳动，才让今天的数学大厦傲然矗立，我们则在它的荫庇中享尽福祉！

进入20世纪，编制素数表的工作仍在继续。1914年，儿子和媳妇也是编造数表的专家的美国数学家德里克·诺曼·莱默，出版了他们凝聚多年心血的成果——10 006 721以内的全部664 999个素数的素数表（1909年完成，1956年再版）。这个有133页的素数表中每页印有5000个数，共665 000个数，并不是素数的1也印在其中。显然，他重复了库里克在大半个世纪之前的一部分劳动。在当今的美国，莱默的巨著《首批一千万个数的因数表》以及《1到10 006 721的素数表》都不难寻觅，甚至唾手可得。美国RADN公司的计算机专家卡尔·贝克与格伦贝格，用IBM-704型电子计算机算出了104 395 301以内的全体素数（共约6×10^6 个），在1959年制成微型卡片出版。借助于电子计算机，美国在20世纪60年代已将600万个素数放进电子计算机的存储系统。接下来，德国-美国数学家扎盖尔在1977年编制了5000万以内的完整素数表。

德里克·诺曼·莱默

美国科普作家霍夫曼所写的《数字情种：保罗·厄尔多斯探索数学真理的故事》于1998年在伦敦首次出版，2000年在中国大陆出版的中文译本名叫《数字情种——埃尔德什传》。后一书名中的埃尔德什就是前一书名中的厄尔多斯——出生在匈牙利的这位美国数学家的另一译名。书中提到，在1987年1月下旬，厄尔多斯等 2575 位数学家在圣安东尼奥参加美国数学学会（American Mathematical Society，AMS）与美国数学协会（Mathematical Association of America，MAA）的年会。厄尔多斯等人住在马里奥特宾馆。“647怎么样？是素数吗？”在房间内6位数学家中，一位样子像犹太人的民族领袖摩西的胖子问，“我的脑子转不动，已经算不出来了。”这时，一位衣着斑斓的妇女出来帮忙了。她拿出一本有 276页、通篇印满200万以内的所有素数（从2到1 999 993共148 933个）的书，在上面确实看到了素数647。

到20世纪90年代初，不大于104 395 301的素数已经有表可查。1993年，美国数学家杜博内尔担负了超过2000位的素数的查找工作。2011年8月，日本还出版了仅有15万个素数的小册子《150000个素数表》。截至2014年年底，人们至少知道10^25 以内的所有素数，有176 846 309 399 143 769 411 680个。

下表中列出了截至2011年编制的素数表（数字前有“★”者）以及得到的素数止于哪一个上限，其中有的是因数表（数字前标“▲”者），但无疑也就可以得到相应的素数表。

素数表编制年表

不过，即使是在今天，要确定某个“大数”是不是素数，依然不是易如反掌。于是，美国数学家迪克森在他的三卷本经典名著《数论史》中说：“要确定一个已知的15位数或20位数是不是素数，不论用我们已知的哪一种方法，一个人终身也检验不完。”虽然这句话是在电子计算机诞生之前说的，今天已不再正确，但是，它所表达的在新方法没有发现之前“要确定大素数十分困难”的意思，无疑是正确的。

于是，感慨于求素数的困难（和某些应用），今人写有词作《忆江南·素数》：“约数找，一与自身揪。密码循之坚似铁，齿轮依数顺如流。素数最难求。”

顺便指出，在15个连续自然数中最多只有6个素数。这是因为在15个连续自然数中至少有7个偶数，最多有8个奇数，去掉其中至少有一个9的倍数与至少有一个15的倍数后，最多只能剩下6个。特例是在1，2，…，15 中，只有2，3，5，7，11，13这6个素数。

6．高斯的猜测

素数有多少，又是怎么分布的？这是数论中的基本问题。虽然自欧几里得以来的许多著名数学家都绞尽脑汁，但是在其后的两千年内没有实质性的进展。

如果用俄国数学家切比雪夫首创的素数计算函数π（x）来表示不大于自然数x的所有素数的个数，那么素数有多少的问题就是找出一个用x来表示π（x）的公式。

到了1793年，16岁的高斯由直觉初步看出了π（x）的端倪：π（x）和 的数量差非常小——记为 。上述 是欧拉对数积分，而“～”表示“同阶”或“相当”。他的这个猜测被称为素数的渐近分布定律。你看，e“莫名其妙”地出现在了似乎完全与它无关的式子之中！

高斯为什么会有这样的猜测呢？从15岁开始，他就开始验证兰伯特编写的素数表，目标是想找到不大于任意整数的素数的个数。大约一年以后，根据兰伯特编写的素数表和自制的素数表，在研究了300万以内的素数之后，高斯由“直觉”做出了这一猜测。于是，年轻的高斯就在这个对数表的最后一页写上：

Primzahlen unter a（=∞）a/lna。

这个式子的意思是，当a→∞时，小于等于a的素数的个数为a/lna。

然而，这位数学王子并没有去证明上面那个非常重要的猜测，并进而错失了获得许多伟大数学思想的机会，其中包括他的学生、德国数学家黎曼在1859年发表的8页论文（下面要提到）中的重要思想！不过，这个时代对素数的研究真有点中国唐代诗人韩愈所说的“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”的味道，谁都不是先知先觉。所以，我们也不必在此苛求这位数学王子。当然，高斯也有自知之明：“你，自然的女神：对你的规律，我的贡献是很有限的。”

当然，由“直觉”就能“看出”规律，这对“阅霸”（后来的高斯被到阅览室看书的学生们戏称为“阅览室之霸”）高斯来说，倒不是天方夜谭。据说，他曾开玩笑说：“我从婴儿时就开始从事数学计算了。”他在小学课堂上就用等差级数求和的方法，很快算出1+2+3+…+100=5050，被后人称为数学王子。这一称呼还来自德国汉诺威公国的最后一个国王乔治五世。高斯辞世后不久，为了表彰他的伟大成就，乔治五世敕令铸造一枚直径为7厘米的纪念章赠与高斯家族，上面写着“君王乔治向数学家之王致敬”。

高斯最得意的是他解决了正 17 边形的尺规作图法。1796年，19岁的高斯在解决这个问题之后走上了数学之路并取得了伟大成就，于是他对在哥廷根大学读书时的好友、匈牙利数学家鲍耶说：“以后我的墓碑上就刻正17边形好了。”

虽然人们打算实现高斯的遗愿，但是由于种种原因没能得到当局批准，只好在他的出生地德国布伦瑞克郡建立一座刻有正 17 边形和他本人雕像的纪念碑（一说墓碑底座也是正17边形）。墓碑的正面刻有“数学王子”字样。但是，因为雕刻工认为正17边形刻出来几乎和圆一模一样，所以碑顶所刻的却是一颗17角星。在他曾经任教的哥廷根大学也建立了有雕像的纪念碑，基座是正17棱柱。1989年7月，在布伦瑞克举办了第30届国际奥林匹克数学竞赛，大家也把环绕高斯肖像的正 17 角星作为这届竞赛的会徽。1001 号小行星和月球上的一座火山口也以高斯命名。

德国布伦瑞克：高斯雕像

用尺规作图法解决正17边形相关作图问题，的确值得高斯引以为豪，因为这解决了两千年来数学家没能解决的问题。刊在1081年高斯出版的《算数研究》一书中的“尺规作图高斯定理”说，尺规作图法能作出的正多边形的边数，只能是任意个（可以为0个）2与任意个（可以为0个）不同的费马素数22n +1（即3，5，17，257，65 537）的乘积。由此可知，正3，4，5，6，8，10，12，15，16，17，20，24，30，32，34，40，48，51，60，64，68，80，85，96（以上边数在100以内），…，257，65 537，…边形都能用尺规作图法作出，而正7，9，11，13，14，…边形却不能用尺规作图法作出。

用尺规作图法作出正17边形的具体方法依据的是：

说起上述截至 2014年年底已知的最大费马素数 ，还有一段数学家痴迷研究正多边形作图的故事呢！德国数学家赫尔梅斯在哥尼斯堡花费了10年光阴，仿照高斯的方法，用尺规作图法作出了正65 537边形。他的论文《把圆分成65 537等份》，发表在1894年的《哥廷根数学-物理学课程》第3卷第170～186 页上。当年的《哥廷根新闻》等报刊对此也有报道。他的这一世界上最繁琐的尺规作图手稿有200多页，据说装满了“一个大箱子”，第二次世界大战后被转移到哥廷根大学研究所，现存于该大学博物馆（或图书馆）。另一种说法是，现存于哥廷根大学的乔治-奥古斯特学院。而德国数学家黎克洛则在此前的1832年完成了正 边形的尺规作图，占了一本数学杂志的80页，“仅次于”上述的200多页。

值得一提的还有路利在 1819年给出的正 17 边形的一种作图法（与高斯的方法不同），发表在当年的《数学博览》杂志上，占了9页。他的具体作法如下。

如右图所示，求出与 AB（单位圆 O的直径）垂直的半径OC的中点Q，并截取OD等于半径的1/8。作DF=DE=DQ，又作EG=EQ和FH=FQ，再作OH与OQ的比例中项OK。过K作KM平行于AB并与直径在OG上的半圆相交于M，最后作 MN 平行于OC 并与⊙O 相交于N，则 AN 就是正 17 边形的一边。其中， 。

除了在数学的许多分支都有巨大贡献之外，高斯还在物理学、天文学与大地测量学等领域有突出成就。

勒让德

7．素数定理的确立

素数定理（律） 又叫素数分布定理（律）或素数分布中心定理（律）。

（1）勒让德的初步形式

1798年，巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一的勒让德提出了素数定律的初步形式，1808年又把它“精确化”为 。你看，e的芳踪倩影再现其中。

勒让德还宣称并在1830年再次强调，他是用归纳法发现这个非凡的定律的。可是，他并没有严格证明这个定律，所以还只能称为猜想。

以上高斯和勒让德的猜测都可以写成 。

（2）切比雪夫更上一层楼

在1848～1850年间，俄国数学家切比雪夫发表了一系列论文，对 的值进行了卓有贡献的研究。其中1849年的博士论文在假定“ 存在极限”的前提下，里程碑式地证明了 ，这就是著名的素数定理。用它可以算出在10^99 和10^100 之间大约有3.9×10^97 个素数。

切比雪夫

在这篇博士论文的基础上，切比雪夫又在当年用法文写的另一篇论文《确定小于某个数的全部素数之数目的函数》中，指出勒让德式子中的“最佳逼近值”不是1.083 66而是1，并对可以使高斯表达式和勒让德表达式都适用的x下限进行了估计：当x＞1 247 689时， 和 的差值可以忽略不计。

但是，切比雪夫的“ 存在极限”这个假定却一直没有人能够证明，以致西尔维斯特在1881年悲观地评论说：“我们或许要等待世界上产生这样一个人，他的智慧和洞察力像切比雪夫一样，证明自己超人一等（才能解决问题）。”西尔维斯特是何方神圣，他的话也值得拿来说明这个证明的难度吗？是的，西尔维斯特是一位著名的英国数学家，在代数方程、数论、不变量理论、初等二次型因子理论、行列式与矩阵等领域都有重要贡献，发表了大约180篇论著。他还于1878年在美国期间创办了美国历史上的第一个数学杂志《美国数学杂志》，对美国数学有很大影响，推动了美国纯数学的研究。

西尔维斯特

（3）阿达马和普桑的突破

历史果然产生了西尔维斯特所说的像切比雪夫一样的“超人”。在西尔维斯特发表悲观论点之后15年，也就是切比雪夫提出“假定”以后大约半个世纪的1896年，法国数学家阿达马和比利时数学家普桑几乎同时各自独立证明了 。它和 等价。

素数定理也可以写成粗略的形式 。由素数定理可以推出，第 n个素数是pn ～n ln n。

高斯当年也估计了 ，但他认为比 的精度要差一些。

阿达马

普桑

素数平均密度变化趋势

素数有许多神秘之处，令人不断好奇并为之探索。其中之一是，素数好像随机分布在整数之中而“无规可循”。事实上，任何试图求出所有素数的简单公式或预测其准确分布的尝试至今都没有成功。然而，如果把 改写为 ，就可以把 看成素数的平均密度（即某一给定整数x范围内的素数的概率），它在x→∞时越来越接近 。对于这个正确的结论，由上页中的表给出的变化趋势可以明显看出。表中的相对误差（四舍五入到百分数的两位小数）由 算出。应当注意，由于 与 各自都只取了 4 位小数，会产生舍入误差，所以这一相对误差末位的有效数字并不完全可靠，但表明的变化趋势是可靠的。

上页表中各个大的 π（x）值都是“名花有主”。例如，π（10^21 ）由法国数学家哥尔顿在2000年10月27日算得，而π（10^25 ）则是毕耶特、弗兰克（德国）、约斯特和克莱因金（德国）在2013年6月1日算得的。此前的2010年7月，他们还算得 π（10^24 ）。从该表可以看出，除了少数几处的 π（x）/x与1/lnx的相对误差值以外，随着x的增大，π（x）/x与1/lnx的相对误差越来越小，当x→∞时，素数的平均密度（素数的概率）则将更加接近1/lnx。

从下图也可以看出，x/π（x）随x变化的曲线（锯齿状的那条）与lnx随x变化的曲线（平滑的那条）非常接近。

素数定理中出现自然对数的事实表明，e 与素数之间存在着一种奇妙的间接联系。这种联系非同寻常：e 属于分析范畴（极限和连续领域），素数却属于整数范畴（是离散数学的精髓）。有感于这种数学奇妙之处，柯朗和罗宾斯在《数学是什么？》中说：“素数的平均分布规律可以用对数函数来说明，这是一个非常伟大的发现，因为它将两个看起来毫不相关的数学概念如此紧密地联系在一起，确实令人惊叹。”

x/π（x）随x变化的锯齿状曲线与lnx随x变化的平滑曲线

当然， 只是一个近似公式。有当代学者提出了以下准确公式：

其中γ是欧拉常数， 表示x→∞时 0→ 。

事实上，这种奇妙的联系并非“此曲只应天上有，人间哪得几回闻”。超越数π和整数之间众多的联系是又一类：

（4）黎曼功不可没

阿达马和普桑的证明，用了复变函数的理论和另一个人的“钥匙”。那么，这个人是谁，这把“钥匙”又是什么样子呢？

这个人，就是德国数学家黎曼；这把“钥匙”，就是他的一篇论文中的伟大思想——“黎曼猜想”。

黎曼

1859年，年轻的黎曼当选为柏林科学院的通信院士。同年，作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了他一生在数论方面的唯一论文——《论小于给定大数内的素数个数》。这篇论文的一个重大成果就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使这个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。这个函数如今被称为黎曼（泽塔）函数，即 ζ（s），这一系列特殊的点则被称为ζ（s）的非平凡零点。黎曼猜想，就是一个关于对素数分布规律有决定性影响的ζ（s）的非平凡零点的猜想。1859年以来，像一座巍峨的山峰，黎曼猜想已然跨过了150多个春夏秋冬，吸引了数不尽的数学家去攀登，但谁都没能成功登顶。然而，就是这篇仅8页的论文给出的强大思想武器成了阿达马和普桑证明素数定理的“钥匙”。当然，他俩还用了复变函数的理论。而黎曼的论文则采用了1734年欧拉求得 时所用的一些方法。

可是，西尔维斯特并不知道自己发表悲观论点之前22年黎曼的这把“钥匙”。

遗憾的是，我们没有篇幅介绍黎曼的这个过于专业的数论思想。

“我们必须知道，我们必将知道。”1930年，德国数学家希尔伯特在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，这样满怀信心地宣称。此时，我们必须把这句也刻在他墓碑上的名言送给西尔维斯特和全人类，以扬起探索未知世界的信心之帆。

素数定理在数学中非常重要，在 1999年 7月召开的美国数学学会会议上，两位美国数学家阿巴德与阿巴奇就把它列在“历史上最伟大的100个数学定理”的第5位。

在阿达马和普桑证明了素数定理之后，依然有如下后续研究。

（5）塞尔贝格和厄尔多斯的初等证明

1948年7月，分别出生在挪威和匈牙利的两位美国数学家塞尔贝格与厄尔多斯找到了不采用复变函数的理论的初等方法，各自独立证明了素数定理。但是，这个“初等方法”也非常艰深，无法在这里叙述。有趣的是，他俩的证明都不约而同地依靠同一个不等式——现在称为塞尔贝格不等式，而它的重要意义甚至超过了这个初等证明。

在哥廷根的希尔伯特的墓碑上刻有“我们必须知道，我们必将知道”

当然，这个非常艰深的初等证明也来之不易——许多著名的数学家都没有找到，而且还怀疑这种证明是否存在。例如，英国数学家哈代就说过，虽然“断言一个定理不能用某种方法证明是轻率的”，但是素数定理的证明是格外不可能的，“如果谁给出了素数定理的初等证明，那他就证明了（我们现在关于数论、解析函数论中什么是深刻、什么是肤浅的）见解是错误的……从而到了该丢掉一些著作并重写理论的时候了。”然而，在哈代的话音落下仅仅28年之后，塞尔贝格和厄尔多斯这两个年轻人就完成了这项“格外不可能的”的任务! 于是，希尔伯特那“我们必须知道，我们必将知道”的讲演声又再次在我们耳边激荡……

不幸的是，为了这个“初等证明”的优先权，塞尔贝格和厄尔多斯产生过激烈争论。

塞尔贝格也因此和其他数学成就成为第二次世界大战之后第一次颁发（1950年）的菲尔兹奖的两位得主之一。菲尔兹奖是由加拿大数学家菲尔兹提议设立，由国际数学家大会颁发的最有影响的数学奖项之一。

8．带余项的素数定理

寻找当x充分大时的π（x），是19世纪以来数学家们的一项中心任务。

1850年，切比雪夫又向俄国科学院提交了名为“论素数”的重要论文。在这篇论文中，他证得当x很大的时候，有 的结果，首开研究纪录。事实上，从前文表中就能看出，在x超过10^6 时， 都在10%的范围内——符合这个结果。

在阿达马和普桑完成了他们的证明之后，数学家们一直在求lix-π（x）的最佳误差。

1901年，尼尔斯·法比安·赫尔奇·冯·科克在黎曼猜想成立的假设下，证明了 。这位科克是一位瑞典数学家，因为在1904年发明了科克雪花曲线（一种分形曲线）而闻名遐迩。

尼尔斯·法比安·赫尔奇·冯·科克

例如，当n→∞时，lix的渐进表现是（其中k为任意自然数）：

lix的完整渐进展开式为：

即

例如，取x=10^7 ，就算得π（x），lix，x/（lnx）分别为664 579，664 918，620 417，前文与表中对应栏的数据吻合。

1908年，朗道证明了 （请注意：有时Lix与上述及下面的lix存在细微区别，见5.5节）。这里的 （函数 在t=1处有一奇点，当x＞1时，Lix只能用柯西主值的概念来解释）， ，c是适当的正数。

1914年，英国数学家李特伍德给出了素数定理的余项估计：

这里的sup（n）和inf（n）分别表示n的“上确界”和“下确界”。

再后来的1958年，俄国-苏联数学家伊万·马特维伊奇·维诺格拉多夫（老） （以下简称维氏）和苏联数学家科罗博夫各自独立得到了更为精确的公式：

李特伍德

维氏

式中任意给定的正数α＞0，任意给定的小

正常数ε＞0，相应的ζ函数无零点区域为：

据说，在目前最精确的π（x）估计式中，有一个是 。

9．ζ（s），lix[即li（x）]和π（x）的有趣联系

黎曼在《论小于给定大数内的素数个数》的后半部分得出了黎曼函数ζ（s） （与lix有关）、li（x）和π（x）的关系（其中c为常数）：

其中

由此可以看出，研究数论问题多么依赖于e。

“有两个事实我希望能够压倒性地说服你们，使它们永远铭记在你们的心中。”德国-美国数学家扎盖尔在授课时曾别出心裁地描绘素数分布，“第一个事实是，虽然可以简单地把素数定义为自然数的积木，但素数如同杂草在自然数中生长，看起来除了概率之外不遵守任何规定，无法预测下一个将生长在哪儿。第二个是恰恰更惊人的相反事实，素数显示出令人惊讶的规则性，具有管理它们行为的规律，甚至军事般精确地遵守这些规律。”英国数学家哈威尔等著的《γ：欧拉常数探索》第171页有这段话。

10．从勒让德开始的猜想

我们再回到切比雪夫的研究上来。

在前述切比雪夫的《论素数》中，指出当x很大的时候，有0.921 29" ＜ 1.105 55"的结果。《论素数》还附带解决了著名的伯特兰第一猜想。

伯特兰第一猜想是法国数学家伯特兰在检查了 2 和3×10^6 之间所有的自然数之后于1845年提出来的：在自然数x和2x之间（含x和2x），至少存在一个素数。这个猜想在 1850年被切比雪夫用初等方法证明之后，称为伯特兰-切比雪夫定理或切比雪夫定理，常表述为比伯特兰第一猜想稍强的“在x和2x-2之间（含x和2x-2，x＞1）至少存在一个素数”。后来，拉马努金用Γ函数（见5.7节），以及厄尔多斯在 1932年用切比雪夫函数并借助于二项式系数，分别给出了更简单而互不相同的证明，见5.9节。

伯特兰

利用这个这个定理，人们找到了3个恰好都是100位数的素数（这样的素数至少有3个）：35×2^327 +1，63×2^326 +1，81×2^324 +1。

1845年，伯特兰还提出了伯特兰第二猜想：在x/2和x-2（含x和2x-2，x＞3）之间至少有一个素数。当时没能证明的这个猜想，据说在后来被一位中国学者证明。

狄利克雷

不过，更早进行这类猜想的却是勒让德。他在1785年就猜想：在每一个算术级数P（n）=ax+b（a和b互素，x=0，1，2，…，n-1，自然数n＞2）中，都有无穷多个素数。1837年7月27日，德国数学家狄利克雷在柏林科学院会议上提交了上述勒让德猜想的证明。这被称为算术级数的素数定理就是现在所说的狄利克雷定理：对于互素的a和b，线性多项式P（n）=ax+b能产生无穷多个素数（尽管不是对于所有的自然数n）。他的证明利用了级数 （an ，z是复数）以及二元二次型类数的计算等分析工具和方法，成为解析数论的开创性工作。

11．原子弹专家的素数直线和素数螺旋

“Teller-Ulam design”，在一颗原子弹上这样写着。你知道这是什么意思，又是写在哪一颗原子弹上的呢？

乌拉姆

原来，“Teller”是指被称为氢弹之父的美籍匈牙利理论物理学家爱德华·泰勒（Edward Teller），而“Ulam”则是指曾参加过美国第一颗原子弹研制的美籍波兰物理学家、数学家斯坦尼斯拉夫·马尔钦·乌拉姆（Stanisław Marcin Ulam），“design”是“设计”或“方案”的意思。“Teller-Ulam design”被标注在第一颗原子弹和同类原子弹上。

（1）“涂鸦”引出素数直线

1963年秋，美国洛斯·阿拉莫斯科学实验室的乌拉姆在参加一个学术会议时，对“又臭又长”且缺乏新意的报告不感兴趣，昏昏欲睡。为了不打瞌睡，他就在纸上信手进行漫长而无聊的“涂鸦”，无意之中把1，2，3，…，100 按逆时针方向排成螺旋状，以“提神”和消磨时间。始料未及的是，他在把其中的素数（表中用粗斜体表示的数）圈出来的时候，惊奇地发现这些素数都排列在直线上。

乌拉姆表：100以内的素数（粗斜体）按逆时针方向排列在直线上

会后，他和同事迈伦·斯坦因、马克·威尔斯一起用实验室的 Maninc Ⅱ型计算机，对前65 000个自然数如法炮制，上述“直线特征”依然存在。

后来，他们还用当时具有最先进绘图功能的这台计算机把1000万以内的自然数也这样排列并打印出来，结果素数仍然排列在直线上！

1964年 3月，美国数学家马丁·加德纳在美国著名科普月刊《科学美国人》第210期第120～128页发表了《数学游戏：素数的非凡绝技》。这篇文章记载了乌拉姆的上述趣味发现，而该期的封面也以这个螺旋为“特色”。

401以内的素数（阴影格内）按顺时针方向排列在直线上

不过，乌拉姆并非这类研究的先行者。马丁·加德纳在《数学娱乐》一书第88页说，一期《科学美国人》的附录提到，美国爬虫两栖类学家、研究响尾蛇的权威克劳贝尔，早在1932年美国数学学会会议上所做的报告中，就举出了把素数排列为二维结构的例子，只不过没有排列成正方形，而是排列成三角形。这本书在1971年由芝加哥大学出版社出版。

此外，有人还把不小于401的自然数按顺时针方向排列，也能看到所有的素数都在直线上。

说起研制原子弹和乌拉姆打瞌睡，我们就想起了1965年诺贝尔物理学奖的3位得主之一、参加曼哈顿工程的美国物理学家费曼的一桩“钟情e趣事”。由于研究原子弹时生活乏味，他把开锁当成了业余爱好。经过推算，他发现打开一个 6 位的保险柜密码锁至少需要 8000 次尝试，但在现实中，他往往能够在10分钟内打开同事的保险柜。他说，最有效的方法不是数学，而是心理学。后来，有个老锁匠告诉他，保险柜的出厂密码一般是“50-0-50”或者“25-5-25”。费曼用这个密码测试了整栋研制原子弹的大楼，他惊奇地发现，每 5个保险柜中就有一个在使用原始密码。有一次，他甚至用 2.718 28（自然对数的底的前几位数字）作为密码打开了29个保险柜——里面装的可是有关原子弹的全部机密资料！

欧拉当年曾发现a^2 +a+17（a为整数）在a为小于16的非负整数时全都是素数：17，19，23，29，37，47，59，73，…，257。一个有趣的现象是，如果把这些欧拉素数（下图中的粗体数字）按乌拉姆方式排列起来，就能看到它们排列在一条对角线上！

当然，这个现象很容易解释。a^2 +a恰好等于一个边长是a的正方形的面积加上一个1×a的矩形的面积，那么它的右上角或左下角（黑方块处）就恰好是下一个素数的位置，但是这仅限于0≤a＜16的范围。

欧拉素数位于一条对角线上

除黑方块外面积为a^2 +a

（2）奇妙的素数螺旋

乌拉姆按从小到大的顺序把前65 000个自然数中的素数按逆时针方向连成的正方形螺旋，被称为乌拉姆螺旋或黄金螺旋。

素数的这个有趣现象被称为乌拉姆现象。数学家们在乌拉姆现象中又找到了素数的许多趣味现象。但是，产生这个现象的原因至今还是一个谜。

左图，前65000个自然数逆时针螺旋排列，素数（白点）分布在直线上；中图，前49个自然数螺旋排列；右图，前15个素数螺旋排列

前面提到，类似于乌拉姆螺旋的“原创”并不属于乌拉姆。美国数学家、数学游戏专家佩格（小）在2006年7月17日发表的《最佳生成多项式》中也记录了美国爬虫两栖类学家克劳贝尔在 1932年就得到与乌拉姆螺旋类似的三角形图。

1994年，数学家萨克斯把所有的整数按大小放在极坐标系中，就形成了一个素数的“转基因”乌拉姆螺旋图，称为萨克斯螺旋。在整个螺旋图靠左的大半部分中，所有的素数都呈阿基米德螺旋（而不是正方形）状排列。这个阿基米德素数螺旋，实质上是乌拉姆螺旋的极坐标表示。

萨克斯螺旋图

12．相邻素数之间的间隙

用 pn+1 和 pn 分别代表第 n+1 个与第 n 个素数，那么这两个相邻素数之差 dn 称为它们之间的素数间隙（以下简称间隙），即dn =pn+1 -pn 。我们容易知道的是，d_1 =p1+1 -p_1 =3-2=1，所有其他的 dn 都是大小不完全相等的偶数。可以证明，dn 可以任意大；或者说，在pn 与pn+1 之间，总可以找到任意多个合数。

设n!+2，n!+3，n!+4，…，n!+n是n-1个连续的合数，显然它们分别有真因子2，3，4，…，n。这样，在n!+2前面的首个素数与在n!+n后面的首个素数之差不小于n。因为n可以取任意大的值，所以dn 可以任意大。例如，当n=3时，3!+2=8前面的首个素数是7，3!+3=9后面的首个素数是11，于是7和11之间就有3个合数，即8，9，10。又如，当n=4时，4!+2=26前面的首个素数是23，4!+4=28后面的首个素数是29，于是23和29之间就有5（5＞4）个合数，即24，25，26，27，28。

应当注意，在N！+2（N为自然数）前面的首个素数与在N！+N后面的首个素数之差形成的间隙有时比N大得多。例如，当N=12时，12！+2=479 001 602前面的首个素数是479 001 599，而12！+12=479 001 612后面的首个素数是479 001 629，间隙为30（远大于12）。

在素数31 397与素数31 469之间，有间隙为71的最小合数序列：31 398，31 399，…，31 468。

截至2014年年底发现的最大素数间隙是在两个 18 662 位数之间的间隙1 113 106，这由卡米、简森与丹麦的延斯·克鲁斯·安德森发现；一个“疑似”的最大素数间隙是在两个97 953位数之间的间隙3 311 852，这由简森与延斯·克鲁斯·安德森发现。

100以内最大的素数间隙（为8）出现在素数89与97之间，共有90，91，…，96这7个合数。

13．有趣的素数公式

（1）部分素数公式

最古老的一次型部分素数公式很可能是毕氏的4m+1（m是自然数），可用它得到100以内25个素数中的11个，分别为5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97。

高斯的素数公式是4m+3，由此得到100以内的13个高斯素数：3，7，11，19，23，31，43，47，59，67，71，79，83。可见，高斯把毕氏的4m+1进行“基因移植”之后，在100以内就多得到了两个，但各自得到的素数互不重叠。

可以看出，上述4m+1和4m+3在100以内得到的所有素数，正好是100以内25个素数中去掉素数2之后的24个。

上述 4m+1 和 4m+3 都没有分别得到连续素数，从而不能各自形成“连续素数等差数列”，但能分别得到无穷多个素数。以下用“CPAP-n”表示由n（自然数n＞2）个素数构成的连续素数等差数列。例如，n=3，首项为 3，公差为 2 的“CPAP-3”：3，5，7。1939年，荷兰数学家科普特证明，存在无穷多个“CPAP-3”。

能连续得到6个素数7，37，…，157的公式30x+7（x=0，1，…，5。通式为0≤x≤n-1，以下类似，通常不再另注），由美国数学家德里克·诺曼·莱默在1909年发现。他在同年发现的150x+7与210x+47都分别能连续得到7个素数：7，…，907；47，…，1307。

1910年，埃斯科特得到了210x+199，能连续得到10个素数：199，…，2089。

1978年，美国康奈尔大学数学家普利查德用计算机花了近一个月时间找到了9 922 782 870x+10 792 827，能连续得到18个素数：10 792 827，…，276 618 587 107。1984年，他又找到了4 180 566 390x+8 297 644 387，能连续得到19个素数：8 297 644 387，…，83 547 839 407。

2004年用计算机找到的44 546 738 095 860n+56 211 383 760 397，能连续得到23个素数：56 211 383 760 397，…，1 036 239 621 869 317。

澳大利亚籍华裔数学家陶哲轩给出的30x+37仅能连续得到5个素数：37，…，157。

英国-加拿大数学家格兰维尔在论文《素数模式》中收集了能形成素数等差数列的 19 个数值最小的一次型部分素数公式，见下表。以下用“AP-n”表示由 n （自然数n＞2）个素数构成的素数等差数列。例如，n=3，首项为3，公差为4的“AP-3”为3，7，11。由于这个最小的“AP-3”中不包含3与7之间的素数5，所以不是“CPAP-3”。

一次型部分素数公式

《素数模式》刊登在《美国数学月刊》1988年第115期第279～296页上，其中第280页与第296页说，延斯·克鲁斯·安德森在《素数算术级数的纪录》中对这些公式有详细介绍。

截止2015年9月底，数学家们得到了当n=3～26时各自最大的“AP-n”，见下页中的表。对该表的两点说明是：除了有专门注明的x取值之外，x=0，1，…，n-1；“＃”表示“素数阶乘”，例如23＃=2×3×5×7×11×13×17×19×23=223 092 870，叫素数23的素数阶乘。

n=3～26时各自最大的AP-n

这里要说明的是，用上述一次型部分素数公式，除了 4m+1 和 4m+3 之外，都各自能在一定范围内形成“AP-n”，但都不是“CPAP-n”（用2x+3得到的3，5，7除外）。

此外，《素数模式》在第281页还提出了“广义素数算术级数”概念。一种广义素数算术级数的实例是有k=4“项”的5+36i+6j（其中0≤i≤1，0≤j≤k-1）：（5，11），（17，23），（41，47），（53，59）。其中的5来自当i=j=0时；11来自当i=0，j=1时；17来自当i=0，j=2时，23来自当i=0，j=3时；41来自当i=1，j=0时，47来自当i=1，j=1时；53来自当i=1，j=2时，59来自当i=1，j=3时。k=2，3，…，9“项”的广义素数算术级数见下表。

k=2，3，…，9“项”的广义素数算术级数

二次型部分素数公式以欧拉的二次三项式最为著名。1772年，欧拉在给瑞士丹尼尔·伯努利的一封信中说：“素数的公式，在我们这辈子恐怕是找不到了。不过，我还是想用一个式子来表达它，纵然不能得到全部素数。”欧拉在这封信中给出的是 n^2 -n+41，它在0≤n＜40时，都连续得到素数（共有40个，注意n为0和1时重复得到41），但在n=41时就“不灵”了。这里的说明是，有人说欧拉给出的是n^2 +n+41（此时也连续表示40个素数），也有人说它由丹尼尔·伯努利用n-1代替n^2 -n+41中的 n得到。还有人说是勒让德在1798年得到的。

n^2 +n+41 是一个当之无愧的“大明星”，吸引过许多数学家的研究。可以证明，有无穷多个n，使得n^2 +n+41能被43整除。此外，如果取n=1+43m（m是自然数），那么n^2 +n+41=（1+43m）2 +（1+43m）+41=43（43 m^2 +3m+1），显然也能被43整除，而且不等于43。因此，有无穷多个n，使n^2 +n+41不是素数。但是，n^2 +n+41中的素数也很多，在取前 100个、1000个和 10 000个 n时，分别有 86个、581 个和 4148 个素数，在 1000 万以内的素数中大约占 49.5%。而2n^2 -1000n+2069则能在10 000以内产生4151个（比n^2 +n+41产生的多3个）素数。美国数学家卡斯特在1991年元旦写的一封信中用2n^2 -199打破了上述纪录，在取前1000个和10 000个n时，分别有598个和4373个素数。

用与上述证明类似的方法可以证明，f（n）=n^2 +n+k 型二次三项式是不可能产生n=（k-1）个以上素数的。这是因为f(k-1)=(k-1)2 2 +(k-1)+k+k^2 已经是合数了。

更进一步还可以证明n的整系数多项式f（n）=a_0 nm +a_1 nm -1+…+am -1n+am 都不可能得到无穷多个素数。

这个由哥德巴赫提出的命题已经被欧拉证明，以下是证明要点。

设f（n）=p，其中n为整数，p为素数；设k为任意整数。此时：

显然，后一个等式的右边含有因数p，所以可设 f(n+kp)−f(n)=Cp（其中C是整数）。这样，f(n+kp)=Cp+f(n)=(C+1)p就是合数。也就是说，不存在素数的整系数一元表达式。

n^2 +n+41还有一个“明星表现”：对于n^2 +n+k型素数三项式，如果存在另一个整数k，使得对连续k-1个n，n^2 +n+k都能得到素数，那么k必须大于1.25×10^9 ，而且最多只存在1个这样的k。

“素数宝塔”共40层

n^2 +n+41中的41是一个特立独行的素数。有人在1967年证明：当k＞41时n^2 +n+k不能对n=0，1，2，…，k-2 全部得到素数。由此似乎可以猜测，对于n=-40，…，0，…，39能产生80个素数的正系数二次三项式，就只有n^2 +n+41了。但这个猜测至今没有被证明。

41也是一个很有趣的素数。从 41 出发，能得到一个“欧拉三角形”——“素数宝塔”（见右图）。这座“宝塔”有 6 道美丽的“风景线”。

加黑点的数依次相差2，4，…，78，正好是“素数宝塔”内正中的素数

第一道：正中的 41 所在的这一列数都是素数，虽然不是它们之间的全部素数。

第二道：“宝塔”共40层，止于41 这一列的素数是 1601 （没有画出），正好是当n=39时n^2 +n+41的值。

第三道：这40层从41这一列开始的素数，是和 41 依次相差2，4，6，…，2k（1≤k≤39）的40个（41计算在内）素数43，47，53，61，…，1601。“宝塔”中的斜体数或者上页第二个图中加黑点的素数就是这40个素数。这种从某个素数出发，用连续相差2，4，…，78的40个素数且只用40个素数组成的素数群非常罕见，不知道是否绝无仅有？例如，分别从2，3，5，…，37开始都得不到这样的40个素数群！

第四道：接下来第41层正中对应的“应该”是合数1681（=41^2 ）——用“塔”形象地体现了n^2 +n+41不能产生全体素数。

第五道：从第二行起，每行左边（或右边）的数依次与上一行相差1，3，5，…，77。

第六道：所有的数是从41开始的连续自然数。

取 41 的倒数，就有 ，循环节中的 2439 也是一个有趣的数，它能分别被19 512（=2439×8）及19 512的4个有相同“基因”的“兄弟”整除：95 121=2439×39，51 219=2439×21，12 195=2439×5，21 951=2439×9。

n^2 +n+41的判别式Δ=1^2 -4×1×41=-163。163是个很有趣和奇特的黑格涅尔数（指仅能进行唯一分解的代数整数，仅有即将提到的9个），用它能构造出拉马努金常数 =262 537 412 640 768 743.999 999 25"≈262 537 412 640 768 744。黑格涅尔是一位德国（一说瑞士）无线电工程师、业余数学家。此外，用163与3，4，5还能构成共有3位准确值的 。

像 这样含e、π和163的准整数还有163（π-e）=68.9996…≈69。

用n-40代替n^2 -n+41中的n得到的n^2 -79n+1601，也曾被当成简单素数公式。其实，虽然n＜80时产生的都是素数（n=0，79时都是1601），但n=80时就是合数了。n^2 -79n+1601 是一个有“最佳素数效益”的著名公式：在迄今已知的所有二次型部分素数公式中，如果n＜100，那么只有它能仅仅得到5个合数，而其他公式都会得到14个（对于n^2 +n+41）或以上个数的合数。不知道在所有二次型部分素数公式中，n^2 -79n+1601是否也具有这一“最佳素数效益”。

荷兰数学家贝格给出的 N=n^2 +n+72 491（也有人因为起始值不同，将其写成N=n^2 -n+72 491），是常数项较大的一个，有人说对1和11 000之间的自然数n能产生许多素数。但是，由于72 491=71×1021，所以当n取11 000以内的71k（k为自然数）和 1021k 型的数时，N 就不是素数了。而一次项系数不是 1、常数项更大的一个是n^2 -2999n+2 248 541，对n=1460～1539产生80个素数。

此外，数学家们还发现了比n^2 +n+41更“简单”的公式n^2 +n+11（n＜10）与n^2 +n+17（n＜16）等，但它们产生的连续素数都比n^2 +n+41更少。

一个有趣的问题是，二次项与一次项的系数都是1的部分素数公式有没有通式？1913年（一说1905年），数学家拉比诺维茨证明了这样的通式：n^2 +n+A（其中n为素数，A为自然数，0≤n≤A-2），n^2 +n+A的判别式的绝对值 |（1-4A）| 是且仅仅是黑格涅尔数（共9个，分别为1，2，3，7，11，19，43，67，163）。这样，当|（1-4A）|=7，11，19，43，67，163时，其中的A被称为欧拉幸运数，A=2，3，5，11，17，41。注意，其中的11，17，41，“恰巧”就出现在前面提到的n^2 +n+11，n^2 +n+17，n^2 +n+41之内；而把这3个式子分别改写为 ， ，就更能看出其中的“袖里乾坤”——它们各自的黑格涅尔数“基因”，以及它们之间的联系中的黑格涅尔数“情结”！

能产生素数的、二次项和一次项系数都不是1的二次三项式有：n^2 +4n+59（n＜22，能得到大约43.7%的素数），3n^2 +3n+23（n＜22，能得到22个素数），6n^2 +6n+31 （n＜29，能得到29个素数）等。

当然，也有更“复杂”的，如n^2 -2999n+22 248 541（n=1460，1461，…，1539，能得到80个素数），36n^2 -810n+2753（n＜45，能得到45个素数），47n^2 -1701n+10 181（n＜43，能得到43个素数）等。

勒让德在1798年发现的2n^2 +29则是一个著名的二次两项式（缺一次项），当0≤n＜29时，连续得到29个不同的素数。

除了上述一次型与二次型以外，还有不少大于二次的部分素数公式。例如，三次三项型（缺一次项）的n^3 +n^2 +17能在0≤n＜11时连续产生11个不同的素数：17，19，29，53，97，167，269，409，593，827，1117。当然，在n为其他某些值时也能产生素数。例如，当n=12时，产生1889；当n=57时，产生188 459。又如，六次七项型的（n^6 -126n^5 +6217n^4 -153 066n^3 +1 987 786n^2 -13 055 316n+34 747 236）/36，能在0≤n＜55的范围内连续产生55个不同的素数：965 201，653 687，…。

再如，美国纽约布鲁克林区的数学家台尔曼设计了一个只产生素数N的“另类”公式：

其中Pn 是前n个素数的乘积，pi ，pj ，…，pm 则是前n个素数中不重复的一部分或者全部，N 小于第 n+1 个素数的平方。他对这个公式的证明发表在 1961年的《娱乐数学杂志》第4期第64页上。例如：

其结果97和13是素数，它们都小于13^2 。又如：其结果29 881和709也都是素数，709＜29^2 ，而29 881≮29^2 （可见有时并不需要“N小于第n+1个素数的平方”这一条件）。

然而，这个公式使求N与Pn+1 联系起来，要想确定N是不是素数，就必须确定Pn-1 ，而Pn-1 又不能用公式给出，所以根本就没有解决问题。

此外，美国的米尔斯以及英国的哈代、李特伍德等数学家也都研究过素数公式。在哈代的著作中已有比较“复杂”且算出来的全体数都是素数的公式，但不能算出全体素数。

（2）所谓“可以产生全部素数”的公式

在20世纪80年代，有人宣称发现了一个“从理论上可以产生全部素数”的比较复杂的公式：其中m和n是自然数，f（m，n）的值域是全体素数。

那么，这个公式是否能产生全部素数呢？

我们还是从“另一个”能“表达所有素数的函数”说起吧。

1976年，加拿大滑铁卢大学教授杭斯伯格从著名的威尔森定理出发，在他所著的《数学珍宝》一书中给出了下面据称能产生每一个素数的二元函数：其中x和y是自然数，B=x（y+1）-（y！+1）。这里的威尔森指英国数学家约翰·威尔森。

由这个函数出发就可以得到前面说的“从理论上可以产生全部素数”的公式。

威尔森定理说，如果p是素数，那么（p-1）！+1就能被p整除；如果p是合数，那么（p-1）！+1就不能被p整除；而且，如果p能整除（p-1）！+1，p就是素数。

不过，上述两个本质一样的“从理论上可以产生全部素数”的公式有相同的两大缺点。一是要算出奇素数p，就必须算出（p-1）！，这在p非常大的时候，难度不亚于直接检验p是不是素数，实际上难以做到。二是用它算出来的素数多数时候都是 2。这样，用这个公式来计算素数是实验性质的，没有普遍性，因此也就不能成为一个准则。

威尔森定理最早是由德国数学家莱布尼茨发现的（在1671年发表），但他没能证明。恰好经过 100年之后，意大利-法国数学家、巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一的拉格朗日在 1771年首先给出了证明，1773年发表相关论文《素数的一个新定理的证明》。此外，埃及数学家拉瑟德于1984年在巴黎出版的《从算数到代数：数学史研究》一书说，出生在伊拉克巴士拉、死于开罗的阿拉伯数学家阿尔-哈桑已经在10 世纪就阐明了这个定理的内容。阿尔-哈桑的遗作《手册》也记载了这一内容。

阿尔-哈桑

原来，威尔森当时并没有重视自己的发现，而仅仅是在给他的朋友、剑桥大学数学家华林的信中说他发现了一个素数判别法。华林认识到了这个发现的价值，而且作为威尔森的朋友，当然要“讨好”威尔森，于是就在1770年出版的《代数沉思录》一书中公布了这个发现，还“贴金”称它为威尔森定理。华林还在这本书中说，永远不可能证明威尔森定理，原因是人类没有好的符号来处理素数。当这话传到高斯耳朵里的时候，他只在黑板前站了5分钟就向传话人说，自己已经证明了威尔森定理。他还批评威尔森：“他缺乏的不是符号，而是概念。”而此时的高斯并不知道拉格朗日已经在 1771年给出了证明。在 1762年初次出版时叫《分析杂说》的《代数沉思录》还首次把著名的哥德巴赫猜想公诸于世。

1958年法国发行邮票纪念拉格朗日

有位外国数论专家曾说过，如果一个人不知道威尔森定理，那他就白学了数论。可见这个定理在数论中的重要地位。然而，威尔森本人没有慧眼识珠，华林这样的数论专家也对证明它缺乏信心。但历史却再次开了一个大玩笑：它既不叫阿尔-哈桑定理或莱布尼茨定理（以最早阐述者或发现者命名），也不叫拉格朗日定理（以最早证明者命名），而是叫威尔森定理——用差点让成果成为给子女的遗物的威尔森命名！要是威尔森地下有知，不知是悲是喜，还是悲喜交加？

杭斯伯格宣布这个成果以后，世界各国的数学家都非常重视，中国的《数学译林》杂志在1984年第3期也节译了有关章节。但值得玩味的是，出生在巴西的加拿大女王大学数学家里本鲍姆在1996年出版了一本有关素数的出色专著《素数的纪录新著》，他在这本书中虽然把《数学珍宝》列为参考书目，但缄口不提杭斯伯格那个能“表达所有素数的函数”的公式。这耐人寻味的“沉默”是否说明这个公式还有瑕疵呢？

此外，据说公式f（n）=2+［2n！（mod n+1）］能且只能产生所有的素数，其中素数2将出现无限多次，其余的素数恰好出现一次。实际上，当n+1是素数p时，由威尔森定理得知，2n！（mod n+1）=p-2，于是f（n）=p；当n+1是合数时，2n！（mod n+1）=0，得到2。

一位中国学者说，他的“新素数公式”是这样的：n=p_1 m_1 +a_1 =p_2 m_2 +a_2 =…=pk mk +ak 。其中 p_1 ，p_2 ，…，pk 表示从小到大的所有素数 2，3，5，…；a≠0，即 n 不 ，则n是一个素数。但他没能是2m+0，3m+0，5m+0，…，pk m+0；如果有说明 m 的取值范围。这位学者还说，利用以上“公式”，就能算得任意大的数以内的全部素数。

这位中国学者还说，上述“新素数公式”可以变为等价的同余式组形式：n≡a_1 （mod p_1 ），n≡a_2 （mod p_2 ），…，n≡ak （mod pk ）。其依据是，由于公式中的模p_1 ，p_2 ，…，pk 两两互素，根据孙子定理（即剩余定理），公式有唯一的解。例如，对于29，由于29不能分别被 以下的素数2，3，5整除，而且29＜7^2 （7是2，3，5 之后的第一个素数），所以 29 是一个素数。这里的“mod”表示“同余”，是高斯新创的符号和概念，首次发表在1801年出版的数论专著《算术研究》中。

什么是同余呢？称呼给定的一个自然数 n为“模”，如果用n分别去除任意两个整数a与b所得的余数相同，就说“a，b对于n同余”，记为a≡b（mod n）或n∣a-b，读成“a同余b模n”，或读成“a与b关于模n同余”。这里的“≡”读作“同余（于）”。例如，当 a=26，b=14时，就有26≡14（mod 12）表示用12分别去除26与14，都得到相同的余数2。

其实，上述中国学者的这两个“公式”的本质仅仅是把埃拉托色尼筛法稍加改进之后变成“数学语言”而已，没有任何新意。或者说，它仅仅是一种公式的构造形式，既没有给出具体的解，也没有给出解的结构，所以算不上“新”。事实上，它的解极其复杂——只需算到k=4，5就能看到，所以基本上没有实用价值。

《算术研究》

此外，还有几位中国学者先后分别声称自己发现了能求出所有素数的一元函数表达式。其中一位在1997年7月公布的公式是 （该式与以下两式中的“[]”表示“取整”）和 ，还说它们是“对威尔森定理的否定和纠正”。另一位“据威尔森定理建立”的公式为 p=(n−2) +2，发表在2000年3月（第一期）某大学学报（自然科学版）上；还说它“达到与罗斯·杭斯伯格表达式同样的结果，n 取自然数时，p只产生质数（指素数——引者），且能产生全体质数，而且除偶质数以外，每个奇质数恰好只产生一次”。于是有人就根据这3个所谓的“一元公式”（和其他公式）嘲笑另外的人说，中国人自己都搞出了先进的值域是所有素数的一元公式，而有的数学人还在津津乐道地介绍国外落后的二元公式。这里说的“国外落后的二元公式”指前述杭斯伯格的公式。

不过，这种嘲笑没有任何意义。这是因为这3个公式（和其他公式）并不比“国外落后的二元公式”先进，也没有任何创新。下面以 为例进行分析。

容易算出，当n=1，2，3，…，12时，p=2，3，2，5，2，7，2，2，2，11，2，13。由此可见 与前面提到的 并没有本质的区别。

事实上，数学家们至今没有找到一个任何形式（包括算术级数）的一元公式，可以让它产生且只产生全体素数。据说，有人已经证得，对于任何一元公式，都不可能代入每个非负整数所得的值都是素数。如果把具体数值一一代进那些所谓的“一元公式”中，我们就会发现，要么得到一些重复的素数，要么得到一些凌乱（指不是从小到大依次排列）的素数，而且还不知道是否有遗漏。

虽然本书作者寡闻陋见，但却知道迄今的现实是：既能用来寻找未知素数又能产生且只产生全体素数的表达式（即不是通过递推、筛选、有重复或遗漏的素数的表达式）是否存在都还是个问题，而某些探索者却认为“有”，并且已经“找到了”。所以本书作者认为，对上述全体所谓的“一元公式”，应和陈景润早在《中国大百科全书·数学卷》（1988年出版）第 628 页的条目“素数分布”中所写的那样持谨慎态度（这也是当今学术界的主要倾向）：“素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。”从哲学角度看，只要有一个明确的概念，就应该有一个公式。于是，一位中国学者于1999年12月发表在某师专学报（自然科学版）第18卷第4期第66页起的一篇论文就“痛下杀手”，干脆取名为“素数普遍公式寻找的‘穷途末路’”。

此外，用电子计算机寻找素数普遍公式的希望也已经破灭：“数学中还没有一种已知的决定论的计算机算法，用它可以确定素数运算时间不从指数上依赖于程序的大小。”

当然，陈景润审慎的猜测性断言并非“终极结论”，于是我们面临两种选择：一是抛弃“素数有普遍公式”的信条，另立“素数序列在本质上没有规律，并在这个公设下创建新的素数理论”的信条；二是只要不能证明没有素数普遍公式，就要继续寻找素数普遍公式。

（3）21世纪寻找“CPAP-n”的成果

两个小伙子，英国的格林和有“被数学照亮的精灵”之称的华裔数学家陶哲轩于2004年 4月 18日在因特网上宣布，他俩联合用反证法，证明了格林-陶定理：存在任意长度 n（自然数 n＞2）的素数等差数列（不一定是“CPAP-n”）。厄尔多斯在 1936年悬赏 3000 美元征求证明的猜想得到了证明。他俩的相关论文发表在2008年的美国《数学年刊》第167卷第481～547页上。因为这一“令人眩晕的突破”比狄利克雷定理更强，所以震惊了全球数学界。这一成果为寻找“CPAP-n”开辟了道路。那么，是否确实存在位数任意长度为n的“CPAP-n”呢？

陶哲轩

格林

位数最少、数值最小的“CPAP-4”是3位数的251+6x（其中x=0，1，2，3，以下的“CPAP-5”、“CPAP-6”等类似，但x的取值依次增大），即251，257，263，269。位数最少、数值最小的“CPAP-5”是7位数的9 843 019+30x。数值最小的“CPAP-6”是9位数的121 174 811+30x，由美国数学家兰德尔与帕金在1967年发现……

进入21世纪，寻找“CPAP-n”取得了重大成果，但迄今还没有发现“CPAP-11”。美国数学家杜博内尔和法国数学家齐默尔曼估计，如果存在“CPAP-11”，它将比“CPAP-10”至少大10^12 倍。截止到2014年年底发现的n=3，4，…，10时的最大“C PA P-n”见下页中的表，其中x=0，1，2，n-1，ym （m是自然数）是一个由许多素因子形成的有 m 位的数，用来确保表中的 P（n）即“C PA P-n”是素数。ym 的具体数值如下：

y_77 =54 538 241 683 887 582 668 189 703 590 110 659 057 865 934 764 604 873 840 781 923 513 421 103 495 579

y_87 =279 872 509 634 587 186 332 039 135 414 046 330 728 180 994 209 092 523 040 703 520 843 811 319 320 930 380 677 867

n=3，4，…，10时的最大“CPAP-n”

y_99 =158 794 709 618 074 229 409 987 416 174 386 945 728 371 523 590 452 459 863 667 791 687 440 944 143 462 160 821 328 735 143 564 091

y_253 =1 617 599 298 905 320 471 304 802 538 356 587 398 499 979 836 255 156 671 030 473 751 281 181 199 911 312 259 550 734 373 874 520 536 148 519 300 924 327 947 507 674 746 679 858 816 780 182 478 724 431 966 587 843 672 408 773 388 445 788 142 740 274 329 621 811 879 827 349 575 247 851 843 514 012 399 313 201 211 101 277 175 684 636 727

14．好玩并有用

对素数的研究，当然绝不止是闹着好玩，而是在各个领域有着广泛的应用。

该素数幻方不符合当今标准

素数好玩并有用的一个实例是素数幻方。幻方在组合数学、图论等领域都有广泛用途，已有悠久的历史。而素数幻方的历史可追溯到提出素数幻方的英国趣味数学家杜德尼从大约1900年开始的研究。他构造的3阶素数幻方（幻方常数为111，见右图）由于当时把1看成素数，显然不符合当今标准。类似的“山寨货”是1913年美国幻方迷梅西尼构造的一个12阶幻方（见下页中第一个图）——用1以及从3开头到827为止的143个连续素数（无一缺席，无一重复）构成，幻方常数为4514。

事实上，幻方常数最小（177）的“资格”3阶素数幻方如下页中第二个图所示。它由美国幻方专家昂德莱奇卡首创。

用1以及从3开头到827为止的143个连续素数组成的12阶素数幻方

昂德莱奇3阶素数幻方

在下面两个3阶孪生素数幻方中，请特别注意，它们各自对应位置的数都是孪生素数（例如左上角的191和193），这是非常罕见的“大熊猫双胞胎”！

当然，其他种类的3阶素数幻方有许多。例如下面给出的不完整3阶素数幻方，请有兴趣的读者尝试将其填充完整（答案：第一行为 199，第二行为 619 和1459，第三行为829，1879，409）。

两个3阶孪生素数幻方

不完整素数幻方

不过，最有名的连续素数幻方当数日本幻方专家寺村周太郎经过多年探索之后，在1979年11月7日构造成功的一个10阶幻方（见下图）。在这个幻方常数是 2862的幻方中，不但有从 23（第 9个素数）到 593（第 108个素数）之间的100 个连续素数（没有一个重复和遗漏），而且是一个“亲子幻方”。亲子幻方是一种嵌套幻方，即包含小幻方的大幻方。图中下部的方框表示大幻方的“儿子”——一个幻方常数为276的4阶小素数幻方，有从37（第12个素数）到103（第27个素数）之间的16个连续素数。据说，寺村在24岁就构造了605个亲子幻方，这些幻方都各具特色。

不过，寺村的连续素数幻方的阶数纪录已经在他之后20多年被打破。据报道，从 1977年开始研究幻方的中国幻方专家蔡宜文从 2002年起先后取得了 18 项成果，编造了阶数为11，12，13，15，16，17，18，19，20，24，28，30，32，36，38，42，43的连续素数幻方。当然，另有中国“幻丝”在1998年编出了14阶连续素数幻方的报道。据说，有人在2007年已经构成45阶连续素数幻方了。169 23 137 431 373 379 521 179 401 251 443 227 173 419 491 263 523 113 181 29 277 31 191 409 349 571 499 109 157 269 281 241 211 367 509 433 383 199 131 107 127 163 257 457 397 461 389 239 223 149 151 193 233 503 467 479 271 229 139 197 283 563 347 47 67 83 79 337 463 593 421 541 317 103 71 43 59 311 547 449 359 293 557 73 101 61 41 577 313 487 353 587 439 53 37 89 97 569 307 331

寺村周太郎的10阶素数幻方

在几何学中，判断圆的哪些边数的正内接多边形能够用尺规作图法作出来，也要用到素数。

一位中国学者就认为，素数反映了自然界在量的方面的某种稳定性，并由此提出了以素数原理和对称原理为基础的多稳定性理论。素数原理是指由素数个基本单位构成的多体结构是有极性的稳定系统，例如电荷的正负。对称原理是指由双奇素数个基本单位构成的多体结构是中心对称的稳定系统，例如原子结构。

在北美地区，一种“布鲁德X蝉”（BroodX，意思是要等X年才能孵化的蝉）大多在素数年（例如13年或17年）从地下爬出。这种“生命的素数现象”从1634年开始就有记载。有研究者认为，这是蝉为了避开与天敌的生命周期重合的生存法则。例如，在2013年就有约300亿只在地下蛰伏了17年的蝉为求偶破土而出，“入侵”美国东海岸。实验表明，在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，素数次数地使用杀虫剂最合理，能在繁殖的高潮期给害虫以“致命的一击”，而且害虫很难产生抗药性。

把汽车变速箱中相邻两个齿轮的齿数设计成素数，能增加相同的两个齿相遇啮合次数的最小公倍数，使其变得更加耐用，从而减少故障。以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

蝉避开天敌在素数年从地下爬出

此外，素数在密码学中也有重要应用。例如，采用需要分解大素数的密码编制体系（例如基于RSA密码编制体系的公开密钥密码），把传递的信息传送给收信人。因为收发双方才知道密码公钥，所以其他人即使收到也无法在短时间内解密。为什么无法在短时间内解密呢？这是由于没有密码公钥，在解密过程中必须要分解大素数的素因子，这要花很长的时间，从而使相关信息“过时作废”。

5.7 从麦齐里阿克到陈景润——华林-哥德巴赫猜想中的e

1．公使出的数学难题

曾有一个人出生在东普鲁士哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），长大后学法律，当了22年（1742—1764）的东普鲁士常驻俄国公使。然而，就是这位游遍欧洲、成就并不大的德国数学家却出了一道至今全世界都没有完全解答出来的难题。

哥德巴赫

这位德国数学家就是扬名天下的哥德巴赫。

1742年6月7日，在莫斯科担任驻俄公使的哥德巴赫给在柏林的欧拉写信，信中提出了两个猜想：猜想一为每个大于4 的偶数都可以表示成两个奇素数之和，通常称之为偶素数哥德巴赫猜想；猜想二为每个大于7 的奇数都可以表示成3 个奇素数之和（或者每个大于5 的奇数都可以表示成 3 个素数之和），通常称之为奇素数哥德巴赫猜想或三素数猜想，也有人称之为弱型哥德巴赫猜想 1（以下简称弱猜 1）。他还在信中举出能验证弱猜 1 的实例：77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5，等等；并问欧拉如何证明。

欧拉在当年 6月 30日回了信，认为他的猜想很可能是对的，但表示自己不能证明。欧拉在信中还把两个猜想“合并”在一起，而且做了补充：只需说每个大于2 的偶数都是两个素数之和就行了。这就是著名的哥德巴赫猜想或欧拉-哥德巴赫猜想，简称“1+1”（与猜想一几乎相同）。欧拉的“合并”是有依据的，因为2n+1=（2n-2）+3（n 为整数），所以任何大于1 的奇数 2n+1都可以写成一个偶数（2n-2）加一个奇素数3的形式。

哥德巴赫信件手稿，原文用德文和拉丁文写成

其实，“1+1”是很容易被“鼻子”灵敏的数学家们“嗅到”的，因为像 6=3+3，8=3+5，10=3+7这类式子会经常碰到。事实上，法国数学家笛卡儿在距哥德巴赫100多年之前就有了类似的猜测。

对于自然数列1，2，3，…，删去其中的偶数，就得到奇数列1，3，5，…。这样，除了1以外，第一个数是3。接下来，在这个奇数列中把3的整倍数位置上的数删去，就得到1，3，7，…。这样，除了1和3以外，第一个数是7。再接下去，在这个数列中把7的整倍数位置上的数删去，就得到1，3，7，9，…。如此继续，最终“幸存”下来的就是幸运数1，3，7，9，13，15，21，25，31，33 （前10个）。可看出，“1+1”也能用“幸运数”而不是素数来表达。例如，4=1+3，6=3+3，等等。

连欧拉这样首屈一指的大数学家都不能证明的“1+1”，又简单得用三言两语让小学生或者路人懂得，所以在欧拉把他们之间的通信公开之后，自然就引起了“哥迷”的强烈兴趣。这些由专业数学家和业余爱好者组成的“哥迷”就像吃了德国数学家克罗内克说的忘忧果那样，“一次吃了这种果实就再也离不开它了”。于是，距离提出哥德巴赫猜想270多年来，不计其数的“哥迷”为之殚精竭虑、宵衣旰食，以致还有“如果你认为自己聪明，那就去研究哥德巴赫”这样的俏皮话。

2．向着答案挺进

（1）基本证明了弱猜1

1920～1928年间，英国数学家哈代和李特伍德系统地开创并发展了解析数论中的一个新方法——今称哈代-李特伍德圆法，简称圆法。而圆法的早期思想则来自哈代和拉马努金在1918年联名发表的一篇长达40页的论文《组合分拆的渐近公式》，以及他俩于此前的1916年与1917年对“正整数分拆”（见5.9节）的渐进分析中的研究。

哈代命名的圆法一词是这样来的：因为圆法从定积分 （其中e2iπx 表示单位圆上幅角为2πx）的复数出发，而当x经过区间[0，1]时，e2iπx 恰好经过单位圆。圆法在解析数论中常被使用，在21世纪还在出成果。

在20世纪二三十年代，俄国-苏联数学家维氏和德国数学家、理论物理学家外尔的工作让哈代-李特伍德圆法得到重大改进和发展。在1924年，维氏没有采用圆法，而是采用傅里叶级数（见5.11节）与外尔的估计三角和的方法，就对希尔伯特定理给出了一个初等证明。

1937年，维氏用改进了的圆法和他本人独创的三角和估计法“基本上”证明了弱猜 1，使三素数猜想成为三素数定理（或者叫哥德巴赫-维氏定理）。这是哥德巴赫猜想提出以来的首次大捷。1977年，中国数学家潘承彪简化了维氏的证明。维氏还给出了不同表示方法的个数T（n）的表达式：

其中，p 为素数，“|”与“ ”分别代表“能整除”和“不能整除”。这里之所以说“基本上”是因为维氏的证明说，对于弱猜1，需要不小于“充分大的数”（后来称为维氏常数）的奇数才成立，而他没有说出这“充分大的数”的下限究竟是多少。

20年后的1956年（中国杂志《数学通报》1980年第8期第25页说“有人在1946年”），维氏的学生博罗兹特基给出了可计算的“充分大的数”的下限ee16.038 （一个4 008 660位数，e在这里又鬼使神差地出现了；一说这个下限是3^315 ）。维基百科说：“波罗斯特金（指上述博罗兹特基——引者）在1956年给出了一个可计算的下限：ee16.038 ……写出来有 6 846 168 位数。”这个说法有一个错误：ee16.038 是4 008 660位数，而不是6 846 168位数。上述《数学通报》则说ee16.038 “大约为10的50万次方”。这个说法是错误的，因为ee16.038 大约为10的400万次方。1989年，中国数学家陈景润与王元将这个下限减低到 1043 000.5 （一个 43 001位数）。2001年，中国香港大学的廖明哲教授以及陈景润的学生王天泽进一步将下限降到e^3100 ≈101346.3 （一个1347位数），但仍然与实际验证过的范围4×10^18 （一个19位数）有非常大的距离。

据英国《自然》杂志网站在2012年5月14日和同年5月出版的《科学美国人》月刊报道，当年2月1日，陶哲轩发表了一篇论文，证明了每个大于1的奇数都可以表示成最多5个素数之和，这是研究弱猜1的较新进展。

2013年 5月 13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员、秘鲁数学家赫尔弗戈特宣布“彻底证明”了弱猜 1。他的相关论文《论哥德巴赫定理的优弧》（79 页）以及《哥德巴赫问题的劣弧》（79页）于2013年6月24日发表在全球最大的预印本网站arXiv上。

赫尔弗戈特

（2）进军“1+1”的漫漫征程

证明“1+1”貌似简单，但要证明却着实不易，所以直到19世纪末还没有重大进展。于是，希尔伯特在1900年的第2届国际数学家大会上著名的“23问”中，把它列为第8个难题。既然直接证明不容易，人们就只好采取“迂回战术”。“迂回战术”有许多种，以下主要介绍4种。

方法一

在1912年英国剑桥召开的第5届国际数学家大会上，德国数学家朗道提出了不同于前面弱猜1的弱型哥德巴赫猜想2（以下简称弱猜2）：每个大于1的自然数等于不超过n个素数之和。再从弱猜2出发，把n一步一步逼近到2。这就是方法一。注意，虽然弱猜2中的“每个大于1的自然数”不是“充分大的偶数”，但如果能“把n一步一步逼近到2”，显然也就证明了“1+1”。

施尼列尔曼

不过，一些数学家对方法一却信心不足。例如，朗道就在这次大会上悲观地说，即使要解决弱猜 2，也是现代数学力不能及的。

然而，解决弱猜2却在朗道提出10多年之后有了重大进展。首先是在 1930年，俄国-苏联数学家施尼列尔曼利用自己独创的（正）密率法，结合1920年前后挪威数学家威果·布朗发明的筛法，证

明了n≤8×10（5 这个数称为施尼列尔曼常数）。然后是接下来取得的一系列成果，见右表。对于该表的两点说明是：美国哈罗德·纳撒尼尔·谢皮罗和波兰-美国杰克·瓦尔加[Jack（本名 Yitzhak——伊扎克）K. Warga，1922—2011]，有资料写为谢（夏）皮罗（Shapiro，M. S.）和瓦尔加（Varga）；1980年陈景润的 n≤15 显然落后了，没有写入。

弱猜2的研究成果

有人认为，n＞2改变了n=2的方向和性质，因此会南辕北辙，劳而无功。这种看法值得商榷，理由之一是，当大于2的n在最终逼近并达到2之后，就可能会“量变导致质变”，得到“1+1”。

方法二

把每个充分大的偶数表示成两个“殆素数”之和，而这两个殆素数又各自等于c_1 和c_2 个素数的乘积（c_1 和c_2 都是自然数，可以相同或不同），然后把c_1 和c_2 分别逐渐减小到 1，从而最终证明“1+1”。方法二也称为因子哥德巴赫问题或者强哥德巴赫问题。殆素数中的“殆”是“大概”或“差不多”的意思，殆素数就是与素数差不多的、素因子不多的数，更准确地说是指因子的个数不超过某一固定常数（例如2）的自然数。

方法二又有两种途径。途径一是设 c_1 和 c_2 都大于1，然后把 c_1 和 c_2 分别逐渐减小到1，从而最终证明“1+1”。途径二是设c_1 =1，c_2 ＞1，然后把c_2 减小到1，从而最终证明“1+1”。

然而，方法二的两种途径在20世纪20年代之前都没有任何实质性进展。途径一的重大突破出现在1920年前后，挪威数学家威果·布朗对埃拉托色尼筛法做出了有主要理论价值的改进之后，证明了两个惊人的结果：ⓐ“9+9”成立（其后的研究成果见下表，包括“c_1 +c_2 ”和“1+c”）；ⓑ如果用p′和p′+2表示孪生素数，则级数 收敛。

至于方法二的途径二，匈牙利数学家瑞尼在1948年利用改进了的大筛法证明了“1+c_2 ”（或写为“1+c”）（一个定性的结果），开创了研究 c_1 =1 的历史。其后的“1+5”等研究成果也列在表中。对该表的说明是，苏联数学家巴尔巴恩当时证明的“1+5”和“1+4”都存在错误，经过潘承洞（潘承彪的哥哥）在 1964年指出之后，巴尔巴恩在 1970年才更正；而中国数学家陈景润的成果“1+2”，将在后面专谈。

途径一的重大突破

方法三

通过解决“几乎哥德巴赫问题”来证明弱猜2。1953年，俄国-苏联数学家林尼克在一篇长达70页的论文中率先研究了这个问题，并证明了林尼克定理：存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。林尼克定理似乎“丑化”了哥德巴赫猜想，但实际上非常深刻：能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合——对任意取定的x，x前面这种整数的个数都不会超过（lnx）k （e在这里神奇现身）。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的 k表示更好的逼近度。显然，如果 k=0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，此时，林尼克定理就与哥德巴赫猜想完全一致。

但是，林尼克在1953年的论文并没有具体定出k的容许值，只是认为k很大。此后40多年间，人们还是不知道多大的k才能使林尼克定理成立。据说在1999年，有3位中国学者首次定出k的容许值为54 000；2002年的结果为k=13，由英国数学家戴维·罗德尼·（罗杰）·赫斯-布朗与德国数学家西勒奇-普赫塔合作取得。截至2014年年底，最好的结果是k=8，由两位匈牙利数学家亚诺什·平茨和鲁兹萨在2003年共同得到。

要特别指出，还有另一个扩展了算术级数的狄利克雷定理（见 5.6 节）的林尼克定理。1944年，俄国-苏联数学家林尼克证明了后来所称的林尼克定理：p（a，d）＜cdL ，其中 1≤a≤d-1，c 为常数，指数 L 称为林尼克常数。然而，林尼克没有给出c和L的数值。直到13年之后的1957年，中国数学家潘承洞才给出L≤10 000。后来，许多数学家都研究并成功降低了L的数值，2015年3月底的纪录是L≤5，由德国数学家齐罗尤里斯在2011年得到。

方法四

把不能表示为两个奇素数之和的偶数称为哥德巴赫例外数，并用E（x）来表示不超过x的哥德巴赫例外数的个数，那就有含 e 的式子 （A 是任意正数）。用它可以推出，几乎所有的大偶数都可以表示成两个奇素数之和。这个结果由以下5位数学家在1937～1938年间几乎同时各自独立用维氏接近证明了的哥德巴赫-维氏定理的思路证明：华罗庚、俄国-苏联邱达科夫、德国-英国-加拿大海尔布隆、荷兰科普特与德国埃斯特曼。其中华罗庚的结果比其他4人稍强一些。

华罗庚

1948年，匈牙利数学家瑞尼用林尼克的大筛法证明了存在常数 η_0 ＞0，使对任意自然数 η＜η_0 及对任意的 A＞0 都有 。这个式子中也有e，其中：

1972年，英国数学家沃恩证明了存在常数c＞0，使得E(x)=O(xe−clnx )。这个也含e的公式是对上述公式的发展。1975年，沃恩和美国数学家蒙哥马利又把它改进为E(x)=O(x1−δ )（其中δ＞0）。1979年，中国数学家陈景润与潘承洞首次定出了这个式子中的δ＞0.01。1990年，陈景润又进一步得到δ＞0.04和δ＞0.05的成果。

显然，如果E（x）=0，那么“1+1”得证。

沃恩

3．黄皮肤移动了群山

（1）陈景润的“1+2”

截至 2015年年底，研究“1+1”的最好结果是陈景润于1966年 5月发表在中国《科学通报》第17期上的初步证明了的“1+2”——改进加权筛之后得到的结果。其后，在中国数学家闵嗣鹤的建议下，他简化证明，并在1973年发表了著名的相关论文《大偶数表示为一个素数及不超过二个素数的乘积之和》，得到国际上的承认。

陈景润这一“移动了群山”的给力成果立即轰动了全球数学界。此时，一本叫“筛法”的书正准备付印……

原来，消息传到出生在捷克斯洛伐克的英国著名数学家哈尔伯斯坦（1980年到了美国）那里，他立即托人从香港找到了陈景润的论文的复印件，马上把陈景润的“1+2”印进《筛法》，作为第11章“陈氏定理”。1974年在伦敦学术出版社出版的《筛法》由哈尔伯斯坦与德国数学家李希特合著。

随之，“陈（景润）素数”成为专用名词。如果p+2 是一个素数或两个素数的积，那么素数 p 就是一个陈素数。在100以内的25个素数中，有20个陈素数（2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，47，53，59，67，71，83，89），以及 5 个非陈素数（43，61，73，79，97）。当时已知最大的陈素数（后来没有报道新纪录）是一个70 301位数：（1 284 991 359×298 305 +1）（96 060 285×2135 170 +1）-2。

陈景润

特种邮票《哥德巴赫猜想的最佳结果》，1999年

有趣的是，美国幻方专家昂德莱奇卡还专门用陈素数制作了一个3阶幻方（见5.6节中的图）。

陈景润的“1+2”如果用 px (1，2)表示，就是 （注意：e在这里也神秘现身），国际上把它称为陈氏定理，中国在1999年还为这个公式发行了一枚特种邮票《哥德巴赫猜想的最佳结果》。1978年，陈景润在《中国科学》第 5期上发表论文《（1+2）系数估计的进一步改进》，把上述公式改进为 。

看起来，陈景润的成果似乎距离摘下数学“皇冠”（高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”）上的“明珠”仅咫尺之遥。人们也从陈景润的“1+2”中似乎看到了解决“1+1”问题的“希望的曙光”。

然而，德国诗人、作家歌德曾告诫世人：“我们越接近目标，困难就会越多。”1966年之后近半个世纪过去了，到2012年4月4日，葡萄牙德威罗大学的席尔瓦等数学家验证了4×10^18 以内的偶数，都没有发现“1+1”的反例。但是，这“1+2”与“1+1”之间近在咫尺之遥的道路还未走完。

据报道，在2006年，一位中国学者在因特网上发表了《“简捷证明”了“1+1”》的论文，但没有得到公认，不知道他的证明是否正确。

由此看来，要证明“1+1”，还不能局限于改进筛法，而应重起炉灶、新开天地，例如有方法上的突破。事实上，有学者就认为：“‘圆法’与‘筛法’均已山穷水尽，用它们几乎不可能证明‘1+1’。”

歌德还说过：“历史给我们最好的东西就是它所激起的热情。”所以，对于一般了解“1+1”不多而被“激起热情”的朋友来说，还是听从英国天文学家、科学哲学家爱丁顿的箴言为好：“证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。”

（2）对用“1+2”逼近“1+1”的质疑

一个问题是，从“1+2”出发，是否真能逼近“1+1”呢？有人提出质疑，认为“1+2”和“1+1”可能相悖。其实，这里所谓的“相悖”应从两方面来分析。

一方面，“1+2”和“1+1”可以并存不悖。例如，对于62，62=43+19是“1+1”的一个实例，同时62=7+5×11也是“1+2”的一个实例。前者是每个大于2的偶数等于两个素数之和（哥德巴赫猜想）的例子，后者是每个大于4的偶数等于一个素数与一个合数（这个合数等于两个素数之积）之和（陈氏定理）的例子，两者并不相悖。

另一方面，从“1+2”出发，是真的能逼近“1+1”而不相悖还是不能逼近“1+1”而“相悖”呢？这的确是个问题，值得进一步探索。例如，据说中国数学家王元于1986年在南开大学校园内的一次私人谈话中就认为“1+2”与“1+1”不是一回事，意思是用“1+2”的方法不能解决“1+1”。再如，有人认为陈景润是把这两个毫不相关的命题混为一谈，他的“1+2”不是在逼近证明“1+1”。当然，还有从其他角度的质疑。虽然有人质疑，但当今国际数学界对“1+2”的正确性却没有任何异议，并公认它是迄今为止“1+1”的最好结果，被许多论著广泛引用。

4．验证“1+1”

在人们企图证明“1+1”的过程中，验证数值也是重要的一环。较大数值的验证从 1938年开始，芬兰的皮平验证了所有小于10^5 的偶数。以下是截至 2014年年底，数学家们对偶数的验证成果：1964年，美国迈伦·斯坦因和P. R. 斯坦因，＜10^7 ；1989年，英国-加拿大格兰维尔，＜2×10^10 ；1993年，芬兰西尼萨罗，＜4×10^11 ；2000年，里奇斯坦，＜4×10^14 ；2012年4月4日，葡萄牙席尔瓦等，＜4×10^18 。这些验证都没有发现“1+1”的反例。

但是，面对无穷的事物，有限次的实践显然无能为力。“1+1”只能利用科学理论进行严密的逻辑推理来解决。这是由于一次实践（或一个实验）就能否定某一个猜想，但有限次的实践（或实验）却不能证明某一个猜想；被实践证明了的科学理论虽然不能作为检验真理的标准，但是可以作为逻辑证明的论据。

5．与哥德巴赫猜想相关的猜想

数论中的不少问题（猜想）都与哥德巴赫猜想有关，例如孪生素数猜想、勒莫瓦纳猜想以及下一节要谈到的华林问题（猜想）。

哥德巴赫猜想是把一个自然数表达成两个素数之和的猜想。与此“最自然的对应”就是把一个自然数表达成两个素数之差的猜想——孪生素数猜想：是否有无穷多组素数（p_1 ，p_2 ）满足p_1 - p_2 =2？

至今没有解决的勒莫瓦纳猜想由法国数学家勒莫瓦纳在1895年最早提出：任何一个大于5 的奇数 n 都可表示成一个素数 p_1 与另一个素数 p_2 的两倍之和，也就是n=p_1 +2p_2 。例如，51=37+2×7。美国的在线数学百科全书网络MathWorld记载，已经至少验证到n≤10^9 ，勒莫瓦纳猜想都成立。1963年，苏格兰数学家李维在英国数学教育期刊《数学公报》第47卷第274页上发表了论文《关于哥德巴赫猜想》。由于论文对勒莫瓦纳猜想也进行了深入研究，所以勒莫瓦纳猜想又称为李维猜想。

类似勒莫瓦纳猜想的一个猜想是：任何正奇数都可以表示为2n^2 +p的形式，其中n为自然数或0，p为素数。例如，51=2×2^2 +43。一般认为，这个猜想在某一个数之后都成立，而在小于121 000的所有奇数中，只有5777和5993不成立。

类似勒莫瓦纳猜想的另一个猜想是：任何大于3的奇自然数k都可以表示为一个奇素数p与两个连续自然数之积的和，也就是k=p+x（x+1）。例如，51=31+4（4+1）。这一猜想是由中国数学家孙智伟在2008年提出的，至今没有被证明或者否定。

6．华林出的难题

英国数学家华林在1770年出版的《代数沉思录》第204～205页中，在总结前人成果的基础上提出并讨论了如下问题（猜想）：每个自然数都能表示成不超过4个整数的平方之和，或不超过9个整数的立方数之和，或不超过19个整数的4次方数之和，等等。也就是华林认为：对任意给定的自然数k≥2，必定有一个自然数s（k）（s依赖于k）存在，使得每个自然数N必为s（k）个非负整数x（i 1≤i≤s）的k次方之和。也就是当s＞s（k）时，不定方程“A”即 一定有非负整数解。这就是著名的华林问题（猜想）。

设“A”的解xi 的个数为rs （N），则有公式：

其中也有e。1959年，华罗庚证明：当s≥2k^2 （2lnk+lnlnk+c）时，有：

式子中的Γ（x）是Γ函数。

1908年，德国数学家希尔伯特证明了s（k）的存在性，从而证明了华林猜想（1909年发表）。不过，他采用的重积分方法很复杂，而且得到的s（k）值与理想值相差很大。

此外，维氏和华罗庚（在1944年）提出了素数次方幂的华林问题：当“A”中的xi 是素数 pi 时，问 pi 的个数 n 是多少？华罗庚证明，充分大的 n 可表示为[6n^2 lnn]（[x]表示对x“取整”）个素数方幂之和——素数次方幂的华林问题上的华罗庚定理（华氏定理），其中e也神秘现身。

把s（k）中的最小值记为g（k），当初华林只是猜测 表示对x“取整”），并没有给出s（k）存在性的证明。在希尔伯特证明了s（k）的存在性之后，关于g（k）的华林猜想就成了华林定理，也称之为希尔伯特-华林定理或希尔伯特定理。

其实，还有一位比华林更先行的“准华林”——法国科学院的数学家麦齐里阿克。他在早于华林100多年研读丢番图的《算术》一书时就提出了华林猜想的一个特殊情形：从5开始的任何非平方数都可以分解成2个、3个或4个平方数的和。

如果把上述“每个自然数N”改为“每个充分大的自然数N”，那么s（k）中的最小值就记为G（k）。此时，关于g（k）的华林猜想（定理）就变成和它紧密相连的估计G（k）上界的华林猜想（定理）。

华林

希尔伯特

麦齐里阿克

显然，对华林猜想的研究就集中在希尔伯特也没有解决的问题上，即确定g（k）和G（k）或者它们各自的上界。

后来，数学家们又把华林问题推广为广义华林问题。广义华林问题有多项式华林问题、与哥德巴赫猜想密切相关的华林-哥德巴赫问题（1938年被华罗庚解决）、代数数域的华林问题（堆垒数论研究中方兴未艾的重要课题之一），等等。早期研究广义华林问题的数学家包括：德国数学家西格尔，最早（在1922年）把英国数学家哈代的平方和问题推广到代数数域中去，1945年研究有限次代数数域中的华林问题；华罗庚，在20世纪三四十年代对华林问题、多项式华林问题、具有比例条件的华林问题等进行大量研究，研究成果记载于他的名著《堆垒素数论》之中。

7．华林问题在20世纪的进展8．纯数学问题有用吗？

（1）确定g（k）或它的上界

英国数学家哈代和李特伍德于1918年在《组合分拆的渐近公式》中创立的圆法实现了研究g（k）和G（k）的首次突破。

1935年，美国数学家迪克森和印度数学家皮莱各自独立得到了g（k）问题接近最后的解决，其中的关键是应用了维氏的方法。当k≥6，且有条件 −2时， 表示对x“取整”）成立。迪克森还在1936年证得k≥7的结果。1957年，德国-英国-澳大利亚数学家马勒证明，当k充分大时，这个条件一定成立；他还猜测对所有k≥6，这个条件都成立。

公元3世纪，希腊数学家丢番图最早猜测g（2）=4。华林提出猜想之前，欧拉首先在1754年初步证明了g（2）=4。正好在华林问题提出的1770年，拉格朗日给出了g（2）=4的严格证明。在其后的100年内，在确定g（k）和G（k）或它们的上界问题上进展不大。

1909年和1912年，德国数学家威弗利奇和英国-美国数学家肯普纳各自严格证明了g（3）=9。

后来，威弗利奇还把g（4）的上界改进到37。1974年，陈景润证明g（4）≤27。1985年，印度数学家巴拉苏布兰马尼安改进了陈景润证明g（5）=37（见下文）的方法，得到g（4）≤20。1986年（论文发表时间，1985年证明），巴拉苏布兰马尼安与两位法国数学家戴舍勒斯和德莱斯最终证明了 g（4）=19。另一种说法是：1986年4位美国数学家联手证明了g（4）=19。

1964年，陈景润证明了g（5）=37。

1940年，印度数学家皮莱证得g（6）=73。

（2）确定G（k）或它的上界

有没有确定G（k）上界的准确公式呢？人们一直在寻找，但截至2014年年底还没有找到。

哈代与李特伍德在1920～1928年间得到的另一结果是首次得到G（k）的显式上界：G（k）≤2k -1（k-2）+5。华罗庚把他们得到的这一结果改进为G（k）≤2k +1，用到了后人所说的华氏不等式 k （一个含e的公式，其中素数p |k，任意给定的α＞0，任意给定的小正常数ε＞0）。

维氏对G（k）上界的研究从20世纪20年代开始。他于1947年得到求上界的简洁公式 G(k)≤k(3ln k+1)1 之后，又在 1959年得到 G(k)≤k(2 ln k+2lnlnk+clnlnlnk)，以及当时最好的结果G(k)＜k(2lnk+4lnlnk+2lnlnlnk+13)（k＞170 000）。这些式子中的k足够大，而且c＞0。

1958年，陈景润得到的求G（k）上界的公式是G（k）≤k（3lnk+5.2）。19年以后的1977年，英国数学家沃恩把它改进为G（k）≤k（3lnk+4.2），其中k≥9。

1985年，苏联-俄罗斯数学家卡拉楚巴得到了当时的最好结果：G(k)＜2k(lnk+ln lnk+6)，其中 k＞4000。两位英国数学家沃恩和伍利在 2002年的一篇论文中总结了此前研究G（k）的成果，其中有G(k)≤k(lnk+ln lnk+c)。伍利还因为研究华林问题而荣获1998年的塞勒姆奖。从1968年开始每年颁发一次的塞勒姆奖由出生在奥斯曼帝国萨洛尼卡（今属希腊）、死于法国的数学家拉斐尔·塞勒姆的遗孀阿德里安娜·塞勒姆设立，主要奖励研究傅里叶级数理论（拉斐尔·塞勒姆的数学爱好）有突出成果的青年数学家。

容易得知，k+1≤G（k）≤2k +1，又因为G（k）≤g（k），所以G（2）=4。

G（3）的进展由德国数学家朗道取得。他在 1927年出版的《数论导引》一书中指出，用维氏的方法可以求得 g（k）相当满意的上界，他还还求得 G（3）=7。林尼克在1942年取得了又一次重大突破，发明了大筛法。他还在1943年给出了希尔伯特定理的另一个初等证明，其思想来自哈代、李特尔伍德和华罗庚的某些式子。1947年，他又证明了 G（3）≤7。截至 2014年年底的最新成果是：4≤G（3）≤7。

20 世纪 30年代，哈代和李特伍德把G（4）的上界改进到了19。1939年，英国数学家达文波特把上界改进到了 16。1985～1989年，英国数学家沃恩再次刷新了G（4）的上界，先后改进到了14，13，12。

截至2014年年底，对于k≥5时的 G（k），只有一些初步成果（右表是截至2012年5月12日的一些重要成果，其中有的是猜测性成果）。例如，德国数学家布鲁德恩在1989年得到G（5）≤18。不过，要证明其中的某些猜测，似乎还遥遥无期。

对于k≥5时G（k）的研究成果

“纯数学从来都不是对任何人都有任何用处的。”英国数学家亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯说。也有人认为，研究像华林-哥德巴赫猜想这类纯数学问题中的数论问题更是毫无意义，没有任何应用价值或经济效益。1917～1918年担任美国数学学会主席的迪克森是 20 世纪上半叶芝加哥大学的数学权威，他的口头禅就是：“感谢上帝，数论毫无用途。”这些看法对吗？这是我们放弃纯数学研究的理由吗？

还是用事实说话吧！

布鲁德恩

1917年，奥地利数学家拉东在积分几何研究中引进的一个数学变换，后来成了当今医学上应用广泛的XCT（X光断层扫描仪）的理论基础。这一变换在天文学中也有重要应用。

中国科学家王选发明的精密汉字激光照排系统的科学依据，早先有人认为是一个“数学游戏”。

……

由此可见，“毫无意义”论反映出目光短浅或急于求成。可是，拿着“科学望远镜”的人却不这样。

1986年，美籍华裔数学家陈省身在香港中文大学做的报告《什么是几何》中说：中国千余年来发展不快，在于中国数学太注重实践，而忽略了许多暂时没有应用的理论。

2000年3月18日，英国费伯和美国布卢姆斯伯里这两家出版社宣布悬赏100万美元奖励在两年内证明哥德巴赫猜想的人。

2004年的诺贝尔物理学奖（发现粒子物理强相互作用理论中的渐近自由现象）、化学奖（研究泛素调节的蛋白质降解）、生理学或医学奖（阐明了嗅觉机制）以及经济学奖（揭示经济政策和世界商业循环后驱动力的一致性），都涉及几乎被视为现在没有什么作用的科学。

……

“数学最抽象无用的研究被人们发现以后，常常被其他部分所俘获，成了解决问题的工具。”匈牙利-美国数学家詹姆斯·罗伊·纽曼曾说，“我想，这不是偶然的，就好像一个人戴了一顶高帽子去参加婚礼，后来在火灾时发现它居然可以当水桶用。”这就是我们不能放弃研究华林-哥德巴赫猜想这类问题的理由。

对任何数学甚至所有的科学理论都应该持这样的态度。当然，我们也应在这些难题面前保持冷静——“盲目可以增加你的勇气，因为你无法看到危险”。

比如，在中国作家徐迟于1978年写的报告文学《哥德巴赫猜想》的影响下，不少民间“哥迷”对“1+1”产生了浓厚的兴趣，其中有不少人自称证明了“1+1”。前些年，中国科学院每年都收到几麻袋“证明稿”。其实，缺乏专业的学科知识和系统训练的人是无法在“1+1”上获得进展的。

后来，中国科学院声明，不会审理来自科学共同体之外的任何自称证明了“1+1”的论文。

开普勒在1619年为阐明他发现的行星运动三大定律的著作《宇宙和谐论》写下了充满欣喜、自豪与诗意的序言：“大势已定！我正在为同时代的人或者后代——那都无关紧要——写一本书。我的书也许要等100年才有一个读者，上帝不是也等了第一个观测者6000年吗？”

可不是么，费马大定理（指当自然数n＞2时，xn +yn =zn 没有xyz≠0的整数解）由费马在 1637年提出，到 1995年被证明，经历了 358 个春秋。那么，在 1742年提出的“1+1”到2015年只有273个温凉寒暑，那我们怎么就没有等“100年”或“6000年”那样的信心和耐心了呢？

5.8 吉利斯猜想——梅森素数个数中的e

在关于梅森素数的研究中，有一个重要的问题：在某个自然数范围内有多少个梅森素数？所谓梅森素数，是指法国数学家梅森在1640年提出的梅森数Mp =2p -1（p为素数）中的素数。他在 1644年出版的著作《物理学和数学的深思》一书中记载了这一公式。书中还说，当p等于2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257这11个素自然数时，Mp =2p -1都是素数。但后来的数学家证明，当 p 为 67 和 257 时，Mp =2p -1 并不是素数，他还漏掉了 p＜257 时的 3 个素数：p=61，p=89，p=107。

在估计梅森素数的个数问题上，已有如下的吉利斯猜想：小于m的梅森素数的个数大约是k=2ln（lnm）/ln2。你看，e又在意想不到的场合出现了！这个猜想是由第21～23个梅森素数的发现人——加拿大计算机专家、数学家吉利斯在1964年首先提出的。可惜的是，在1975年7月17日差一点47岁时，他就不幸死于罕见的病毒性心肌炎。

利用吉利斯的猜想就能事先大致判断出某个自然数范围内的k，使数学家们在寻找时不容易遗漏。例如，22亿以内的梅森素数的数量就大约是k=2ln（ln 2.2×10^9 ）/ln2个≈9个，与实际的8个基本吻合。

梅森

吉利斯

在关于素数分布规律的猜想中，据说中国人也有“疑似”的重要成果。从1977年在雷州半岛当“知青”时开始，经过15年探索，最终在1992年2月26日，中国青年（后来成为数学家兼语言学家）周海中发现了比较精确的、梅森素数分布个数的“周氏猜想”——一个国际数学界的命名。对此，2000年第6期《科学美国人》月刊的中文版在《梅森素数：数学宝库中的明珠》一文中评论说：“这一成果是梅森素数研究中的一项重大突破。”

周海中在论文《梅森素数的分布规律》中提出的猜想是：当22n ＜p＜22n+1 （n=0，1，2，…，p为素数）时，梅森数Mp =2p -1中有（2n+1 -1）个是素数。他据此还推论，当 时，Mp 中有（2n+2 -n-2）个是素数。不过，有一些学者指出上述猜时，Mp 中有（2n+2 -n-2）个是素数。不过，有一些学者指出上述猜想并不成立。此外，据说另一位电子专业的中国博士与合作者在2013年发表论文，改进了周氏猜想。

5.9 自然数“切蛋糕”——整数分拆也要e

1．如何“正整数分拆”自然数

在解析数论这个分支中，又有一个叫堆垒数论（即加性数论）的小分支。堆垒数论中的一个著名问题是整数分拆，也称为数的分拆、整数剖分或整数分割。

什么是分拆（中国杂志《自然辩证法通讯》1982年第3期第57页称为“分析”）呢？在某种设定的条件下，把任意自然数n分成若干个正整数的和，就称为n的一种分拆。通常，用p（n）表示n的分拆数，即所有不同分拆方案的总数目。例如，在设定n_1 ≥n_2 ≥…≥nk 的条件下，自然数的正整数分拆就是求符合p（n）=n_1 +n_2 +…+nk （其中k的大小不定）的数组（n_1 +n_2 +…+nk ）的数目。本书在后面只谈这种分拆。当然，也可设定其他条件，以及对 nk 限定特殊条件（例如限定“k是偶数”），进行与上述不同的另一种分拆。可以看出，分拆问题就像切蛋糕那样，按照一定的规则，研究一块蛋糕有多少种切法。

现在的问题是n的分拆数p（n）是多少？

例如，当n=2时，分法只有2=2=1+1这两种，此时p（2）=2。又如，当n=5时，就有 5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1 这 7 种分法，此时p（5）=7。

当然，我们可以按照上述两例的方法对任意n进行实际分拆，从而求得5＜n＜21对应的p（n）。这里的说明是：下表略去了p（1）=1，p（2）=2，p（3）=3，p（4）=5，p（5）=7。

部分自然数的分拆数

2．计算p（n）是一个有趣的难题

显然，分拆较大的n非常困难，因为随着n的增大，p（n）会急剧增大。例如，p（10）=42，p（24）=1575，p（30）=5604，p（50）=204 226，p（100）=190 569 292，p（200）=3 972 999 029 388，p（500）=2 300 165 032 574 323 995 027，…。这正如分拆问题的发轫者莱布尼茨在1699年写给约翰·伯努利的信中所说：“这个问题，我看并非轻而易举。”

现在的问题是，有没有什么方法能较快得到p（n）？或者有没有计算p（n）的公式？对此，罗马尼亚组合学者莫伊西尔说：“组合理论的每一个问题要求人们的头脑无拘无束的运用。它需要知识，但更需要智能。”

研究分拆问题大致有3种方法：分析法，用超几何级数构造分拆数的生成函数，研究分拆数的性质，例如下述欧拉的分拆-生成函数；组合法，例如下述的费勒斯图；计算机法，例如利用组合法求解分拆方案。

已有的一部分成果是欧拉在1748年得到的：分为奇数份的p'（n）小于等于n的所有自然数的个数。例如，当n=5时，因为小于5的所有自然数有4个（即1，2，3，4），所以p'（5）=4，5=5=3+1+1=2+2+1=1+1+1+1+1。

欧拉的另一成果是把幂级数Q=1+x+x^2 +2x^3 +2x^4 +3x^5 +4x^6 +…与p（n）联系起来：各个含x项的系数，就是对该x项的指数进行的分拆中只包含不同数字的分拆数目。例如，当x的指数为5（3x^5 项的指数），对5进行分拆时，在前述p（5）的7 种分拆中，只有 5=5=4+1=3+2 这 3 种分拆才只包含不同的数字，而这个“3”正好是3x^5 项的系数3。这个伟大的发现把组合问题与幂级数联系起来，使得分拆问题转化为幂级数Q展开式中x的非零次幂的系数与指数的关系。

那么，Q=1+x+x^2 +2x^3 +2x^4 +3x^5 +4x^6 +…从何而来呢？答案是，来自以下公式的幂级数展开。

欧拉还有一个成果是引入分拆-生成函数（即分拆-母函数）的计算公式： 此外，欧拉还引入了函数P=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+x^8 )"（每一个二项式中x的指数是相邻前一项的 2 倍）。展开这个乘积之后就得到P=1+x+x^2 +x^3 +x^4 +x^5 +…。由此可知，把自然数分拆成 2的指数形式之和是唯一的。这也是数论中的一个重要结论。

p（16）的一种分拆的费勒斯图：p（16）=8+4+3+1

许多数学家都研究过分拆问题，例如德国组合派数学家兴登伯格。印度-英国数学家奥古斯都·德·摩根与约翰·弗里德里希·威廉·赫谢尔研究过算 p（n）

的递推关系。英国-美国数学家西尔维斯特曾用图表-图像法进行分拆，他把图表-图像法归功于在 1884～1885年间担任剑桥大学副校长的英国数学家费勒斯在1853年首创的费勒斯图。把某个自然数的一种分拆方案画成一个费勒斯图，另一种分拆方案画成另一个费勒斯图，如此持续到没有新方案位置，这些图的总数就是p（n）。

什么是费勒斯图呢？设 p（n）的一种分拆为 p（n）=n_1 +n_2 +…+nk （其中 n_1 ≥n_2 ≥…≥nk ），把代表n_1 ，n_2 ，…，nk 数目的小黑点依次从上到下排列（左起的首个小黑点对齐），就成了p（n）的这一种分拆的费勒斯图。

已经先后发现了不少计算p（n）的近似公式和准确公式，例如英国哈代与印度拉马努金在1918年得到的渐近公式。

3．有趣的p（n）的同余性质

由于p（n）等于n阶对称群的共轭类的个数，并与这个群的表示理论密切相关，所以非常有趣，也曾让“无数英雄竞折腰”。虽然如此，数学家们还是发现了p（n）的某些性质，例如拉马努金在1919年发现的分拆理论中比较重要的整除性质。这个整除性质用以下3个同余式来表达（其中k=0，1，2，…）：

p（5k+4）≡0（mod 5）——n为4，9，14，…时p（n）能被5整除，例如p（14）=135能被5整除；

p（7k+5）≡0（mod 7）——n为5，12，19，…时p（n）能被7整除，例如p（19）=490能被7整除；

p（11k+6）≡0（mod 11）——n为6，17，28，…时p（n）能被11整除，例如p（17）=297能被11整除。

上述同余性质与所举实例都可以对照前文中的表进行验证。

后来，拉马努金还发现了一个有错的同余猜想，经过英国-美国数学家乔拉等修正后，由英国数学家 G.N.沃森（或 G.W.沃森）在 1938年，J.勒纳在 1943年，以及英国数学家阿特金在 1967年的证明，得到了正确的结果：如果 24λ≡1 （mod 5α 72 β -1 11γ ），则p（5α 72 β -1 11γ n+λ）≡0（mod 5α 7β 11γ ）。

4．自然数的正整数分拆的用途举例

例1：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出多少种质量，各自有几种称法？这个问题可以看作把n分拆成1，2，3，4之和，而且不允许重复的分拆数。例如，称出4克有两种方案，即3+1与2+2，并以此类推。最终的答案之一是：能称出1～10克10种质量。而“各自有几种称法”这一问题留给读者思考。

例 2：将某个自然数分拆成若干个自然数的和，使其乘积最大，应该如何分拆？以下分别举出3个实例。实例一，把14分拆成两个自然数的和，如何分拆？分拆14有7种分法：13+1，…，7+7。容易得知，最大乘积是7×7=49。实例二，把15分拆成两个自然数的和，如何分拆？分拆15有7种分法：14+1，…，8+7。也容易得知，最大乘积是8×7=56。从上述两例可见，把偶自然数2m分拆成m+m时，有最大乘积；把奇自然数2m+1分拆成m+（m+1）时，有最大乘积。实例三，将14分拆成3个自然数的和，如何分拆？显然，应使分拆成的数之间的差尽可能小（比如差是0或1）。这样就得到答案：分拆成5+5+4，最大乘积是4×5×5=100。

当然，自然数的正整数分拆并不只限于上述数论问题，还有在数学的组合计数、组合模型等领域的应用，也推动了母函数计数理论、逼近理论等分支的发展。其中最著名的例子是哥德巴赫猜想与正整数分拆的联系（哥德巴赫猜想提出时，欧洲数论学家们正在讨论整数分拆问题）。把给定的偶数分拆成两个素数之和，就叫这个数的哥德巴赫分拆。此外，在化学、生物学、密码学、统计学等领域也有广泛的应用。

5．从欧拉到高斯

1748年，欧拉通过高超的手算技巧推导出了p（n）的如下分拆-母函数之后，就为p（n）的计算开辟了道路。

同年，欧拉给出了一个恒等式——欧拉恒等式，如下：

由于这个恒等式中的（n/2）（3n-1）是五角数，所以这个恒等式被称为（欧拉）五角数定理。五角数又叫五角形数或五边形数，与这些数字相同数目的点子可以排成五边形（见下图）。

从五角数定理出发，欧拉得到了无限分拆函数p（n）的递推公式：

其中ωk =（k/2）（3 k-1）（k=0，±1，±2，…）是五角数。

五角数是角形数中的一种。有关角形数的研究还有一段高斯的趣闻呢！

头5个五角数1，5，12，22，35对应的五边形

原来，从古希腊的毕氏学派开始，人们就在研究三角数、四角数、五角数等角形数。高斯也是爱好者之一。1796年7月10日，他在日记中写下了“高斯密码”：

ΕYΡΗΚΑ！num=△+△+△

这里的 ΕYΡΗΚΑ 也被记载为 Εureka 等，读音“尤里卡”，由希腊文 εύρηκα （意思是“知道了”、“发现了”或“找到了”）而来。当年阿基米德在洗澡时解决了鉴别真假金冠问题（最终导致发现浮力定律）之后，赤身裸体地跑到大街上，就是这样“疯喊”的。由此可见高斯得到这个式子时的狂喜之情。高斯还在1798年把这个成果写进他在1801年首次出版的《算术研究》中。

高斯得到了什么而狂喜呢？原来，西文“num”是“number”（数）的缩写，“△”表示三角数。这就是说，他证明了任何一个自然数都可以表示成最多3个三角数的和，当然应该像阿基米德那样疯狂一把。

在高斯之前，费马曾猜测：任何一个自然数都可以表示成最多n个n角数的和。1813年，法国数学家柯西在巴黎科学院宣读的论文证明了这一猜测，于是费马的猜测成了费马多边形数定理。由此可见，“高斯密码”是费马多边形数定理的一个特例——三角数定理，也因为高斯这次“尤里卡”而被称为尤里卡定理。

但是，数学家们接下来的研究仅限于初等方法，没有引入实质性的分析学思想，只能频繁地计算较小整数的分拆数。

6．哈代和拉马努金的突破

首先在这方面研究取得重大突破的数学家是英国的哈代和印度的拉马努金。他俩在1918年联名发表了《组合分拆的渐近公式》，该论文借助于一个了不起的恒等式，选择适当的正数A和B，使得下式成立：

该论文还应用了一种新的分拆方法——圆法，从而得到了“精确得让人难以置信的”哈代-拉马努金公式：不过，也有人说它最早是由欧拉发现的——他至少计算出了p（29）。

看，在这些关于分拆的式子中，e又披着神秘的面纱奇迹般地出现了！

厄尔多斯在1942年的研究表明，哈代和拉马努金没有必要用如此繁杂的方法推导出他们的公式中的首项，该项可以用一种“初等”方法得到。其实这种“初等”方法（将证明限制在实数范围内）也不简单。

利用哈代-拉马努金公式，用 8 项就能求出 p（200）的近似值，与真值的相对误差仅为0.004。

7．拉德马赫尔乘胜追击

1937年和1943年，出生在德国的美国数学家拉德马赫尔给出了p（n）的准确级数表达式：

其中的Ak （n）将在下面说明， ，λn = ，“sinh”也写作“sh”，是双曲正弦函数的符号。

1954年，拉德马赫尔再接再厉，进一步利用整函数 得到p（n）“更准确的级数展开式”：

其中这里的Wh，k =eπis(h，k) （由拉德马赫尔定义），而 −k 1，其中∑内的括号那一部分即符号(t)表示当t是非整数时为t -[t]-1/2，t为整数时为0。这里的[t]是高斯在 1801年出版的《算术研究》中首次推出的高斯符号，也就是后来所说的地板函数⎢t⎥⎣ ⎦，表示不大于t的最大整数。关于德国数学家戴德金推出的戴德金和s（h，k），有戴德金和的互反律表达：

据说，用上述拉德马赫尔在 1954年发现的p（n）级数表达式计算 p（599）的值，结果是一个24位数，误差仅约为0.5。

拉德马赫尔还用福特圆当作积分周线，给出了上述“更准确的级数展开式”极其巧妙的证明。

福特圆

这里所说的福特圆（这些圆彼此相切并与“底线”相切，而且圆心距离左边为最简单形式的分数）是美国数学家莱斯特·伦道夫·福特（老）于1938年在《美国数学月刊》第45卷第9期第586～601页上发表的论文《分数》中首先提出来的。他的儿子莱斯特·伦道夫·福特（小）也是一位数学家。

8．华罗庚更上一层楼

1942年，中国数学家华罗庚用拉马努金和哈代的方法以及拉德马赫尔的无穷级数法里的分割法证明了以下公式。

其中2|/k，0＜h≤k，J_0 （x）为0-级贝塞尔函数。

贝塞尔是一位德国天文学家和数学家。他是通过视差法来确定太阳与另一颗恒星距离的第一位天文学家，编号为1552的小行星用他的名字命名。所谓贝塞尔函数是指贝塞尔方程x^2 y″+xy′+（x^2 -n^2 ）

y=0（其中n是参数）的解。贝塞尔函数具有许多奇特的性质和上百个重要关系式，为解决有关物理和天文问题提供了重要工具，对它们的研究成果已形成一些专著。

德国于1984年6月19日发行的纪念贝塞尔诞辰200周年的邮票

9．没有浪费的“欧拉表情”

匈牙利-美国数学家厄尔多斯在1942年，美国数学家唐纳德·詹姆斯·纽曼在1951年，苏联数学家波斯特尼科夫在约 1958年，都分别利用初等函数论的方法证明了以下公式（其中n→∞，e又在其中出现两次）。把前述五角数定理的两端乘以p（n）的母函数，并比较系数，就可以得到欧拉的递推公式：

这样，欧拉当年的“五角数定理表情”就被厄尔多斯、唐纳德·詹姆斯·纽曼和波斯特尼科夫“找回来了”。

马克马洪

利用上述欧拉得到的递推公式，就可以逐次求出 p（n）的值。事实上，在1916年，英国计算专家、数学家马克马洪仅花了一个月时间就用它算出了p（200）的前述13位数3 972 999 029 388。1918年，他还编制了p（n）（n≤200）表。后来，人们又算出p（500）和p（1000），分别是22位数和32位数。1935年、1937年和1958年，数学家H.古普塔将p（n）表逐渐扩展，直到n≤1000。其中还包括英国-美国数学家乔拉的编表工作。

当然，20世纪下半叶到21世纪，对p（n）的研究也没有停止。包括中国大陆学者在内的研究人员还在p（n）与丢番图方程的解的个数关系等问题上有独到的见解。

10．分拆问题的趣味和谜团

分拆问题中的许多问题很有趣味，例如把一个自然数分拆成若干个连续自然数之和。比如，605就有以下5种分拆法：302+303，119+120+121+122+123，56+57+…+65（共10个数），50+51+…+60（共11个数），17+18+…+38（共22个数）。那么，这样的数有多少，又能否用公式寻找它们呢？这也是一个有趣的谜团。

不但分拆问题如此，数论中的许多其他问题也是难解之谜。正如日本著名数学家弥永昌吉所说：“这个理论的大部分仍然笼罩在神奇的面纱之下。”

“（数论是）其他科学的典范，”德国数学家希尔伯特说，“数学知识的永不枯竭之泉，并且对其他一切领域的研究提供了不断的刺激。”所以，它至今仍然是数学家们研究的热点、难点和重点。

5.10 对数正态分布——概率计算中的e

1．钢丝的长度

把长10厘米的尺子放在面前，一边目测尺子，一边从一卷钢丝上切下一根根10厘米长的钢丝。

开始切下的100根长短不一，误差较大。当切下的数目不断增加（如200根、400根、800根……）时，切下的钢丝的长度基本上就会分布在某个值的附近。

设切下的钢丝长度为x厘米，x是个概率变量。测量切下来的钢丝长度是个实际问题，希望测量精度很高比较困难。因此一般将测量理想化，把x取为连续变量，x可取10厘米附近的一切实数值。这样的概率变量叫连续概率变量。

此外，像物体的个数或现象发生的次数是一些离散的数值，取离散值的概率变量叫离散概率变量。

连续概率变量x可以取多种值，因此很难说取某个特定值的概率是多大。所以，一般分析计算连续概率变量的概率分布时，不使用等式x=a，而用不等式a≤x≤b来描述。也就是说，一般只计算p（a≤x≤b）是多少就行了。

2．智商指数

人的智商指数也可看为连续概率变量。右表是对1000个学生智商调查结果的智商密度分布表。下面左图是由该表绘制的智商密度分布直方图和折线图，各区间中的长方形面积代表相对密度。右图是将左图中的折线进行平滑处理之后所得的密度分布曲线。

当被调查的学生人数不断增加时，就会得到右图那样左右对称的山形或吊钟形光滑曲线。这种曲线叫正态密度分布曲线，是连续概率变量分布曲线的代表。以身高、体重等为代表的很多自然现象和社会现象的分布就属于这种情况。

智商密度分布表

这种分布曲线可以用高斯正态分布公式 来描述，其中x∈R；a 是平均值，标准误差 σ＞0，σ^2 是方差，它们都是常数。你看，e 也在这里出现了。

智商密度分布直方图和折线图

智商密度分布曲线

由于高斯对最终确立高斯正态分布公式起了决定性的作用，所以在 1990～2001年间，德国发行的10马克新纸币正面就印着他的头像和正态密度分布曲线。而在1977年德意志民主共和国发行的20马克流通纪念硬币上也印着这种曲线和高斯的名字。不过，高斯正态分布公式的奠基者却是棣莫弗与拉普拉斯等数学家，所以它也叫棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

10马克纸币（左）及局部的正态分布曲线（右，放大后）

20马克流通纪念币

3．早期数学家对古典概率论的研究

概率论的源头是赌博。1494年，意大利数学家帕奇奥里发表了数学专著《算术、几何、比和比例摘要》。这本书最早提出了概率问题——一个关于赌博的问题。接着，法国、荷兰、瑞士、英国、德国等国的数学家都对概率问题做出过重要贡献。而创立古典概率论的数学家主要是法国的费马和帕斯卡以及荷兰的惠更斯。在1657年的《论赌博中的计算》论文里，惠更斯首先提出了数学期望这一概念，古典概率论由此诞生。首先使概率论成为数学的一个分支学科的数学家是瑞士的雅格布·伯努利和他的侄儿尼古拉斯·伯努利（1695—1726），以及数学家棣莫弗等。

棣莫弗用n!～ (n/e)n 这个逼近式研究了二项分布的极限式，最终得到 n 次试验中出现m次事件的概率的期望值满足以下关系式：其中m（n）是n次试验中出现m次事件的概率。也就是说，棣莫弗首次发现二项分布的极限形式是一个正态分布。显然，这个公式中又有e。

意大利纪念帕奇奥里的邮票

棣莫弗还首次处理了概率积分 ，得到样子像f（x）=ce−hx2 （c和h都是常数）的结果。这个式子可以具体化为：

这就是著名的正态密度函数公式，也就是标准正态分布的概率密度。显然，它是以下公式在σ=1和a=0时的特例。

遗憾的是，棣莫弗的工作被人们遗忘了两个世纪。直到1924年英国数学家、生物统计学的奠基人皮尔森的著作《正态曲线史》重提棣莫弗的工作，人们才认识到他的贡献和价值。

此外，随机变数ξ的密度函数是：

其中x＞0，σ＞0，μ是常数，那么就说ξ服从对数正态分布。如果x≤0，则f（x）=0。这个式子中也有e的身影。

4．近现代数学家对概率论的研究

对近现代的概率论做出过重要贡献的数学家有俄国及苏联的切比雪夫、马尔科夫、谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩斯坦、辛钦和柯尔莫哥洛夫，日本的伊藤清，美国的卡尔曼（出生在布达佩斯），中国的侯振挺等。其中，谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩斯坦于1917年首先给出了概率论的公理体系；柯尔莫哥洛夫于1933年把概率论建立在集合论的基础之上，完成了现代意义上的、更为严格完整的概率论公理体系。

5．柯尔莫哥洛夫成才给当今教育的启示

2003年1月16～21日，一大批当今世界著名的数学家云集莫斯科，要为已经作古的一位数学家的百年诞辰隆重纪念一番。

这位数学家是谁？

他就是在 1987年辞世的柯尔莫哥洛夫，2003年 4月25日是他诞辰100周年纪念日。在纪念活动中，举办了以“柯尔莫哥洛夫与当代数学”为题的学术会议。在这次能与世界数学家大会媲美的学术会议上，12位当今世界一流的数学家（其中包括2位菲尔兹奖得主与4位沃尔夫奖得主）分别做了1小时的主题报告，更多的人则分别做了45分钟与20分钟的报告。同年4月29日，柯尔莫哥洛夫曾就读的莫斯科大学也举办了纪念活动。

柯尔莫哥洛夫

为什么柯尔莫哥洛夫值得这么多人隆重纪念呢？这还得从头说起。

出生后10天就失去母亲的柯尔莫哥洛夫，是被他的两个姨妈薇拉和娜捷日达收养长大的。她俩努力引导他对书本和自然的兴趣，开拓他的好奇心。例如，带他到田野、森林去旅行，向他介绍讲花草树木、日月星辰，讲安徒生童话……让年仅五六岁的柯尔莫哥洛夫负责编辑《春燕》的数学部分。《春燕》是他外祖父家办的一份家庭杂志，读者是薇拉和娜捷日达创办的家庭学校中的十来个不同年龄的孩子。深受激励的柯尔莫哥洛夫在五六岁的时候就发现了 1=1^2 ，1+3=2^2 ，1+3+5=3^2 ，…，并将其发表在《春燕》上……

最终，柯尔莫哥洛夫成为20世纪苏联最伟大的数学家，也是20世纪世界上最伟大的数学家之一。他总共发表（包括与他人合作发表）学术论文488篇以及科普文章57篇，在概率论、拓扑结构、直觉逻辑、湍流、经典力学、算法信息理论和计算复杂度等数学的几乎所有分支领域（数论除外）都有开创性的重大贡献。他获得的奖项和学术称号更是不计其数，如列宁奖、沃尔夫奖、苏联科学院院士、英国皇家学会会员等。

柯尔莫哥洛夫也是 20 世纪世界上最伟大的数学教育家之一。他直接指导的67 位学生大多成为世界级的数学家，其中 14 人是苏联科学院院士。莫斯科大学寄宿学校也是由他创立的。

柯尔莫哥洛夫生前热爱生活，坚持体育锻炼（他历久不衰的数学生命力部分得益于强健的体魄），兴趣广泛。例如，他喜欢徒步长途行走，在林间悠然漫步，在湖中划船畅游，在山上纵情滑雪。在为庆祝他70岁生日组织的滑雪活动中，他穿着短裤，光着膀子上阵，把其他所有的参加者都抛在身后。他也因此获得了“户外数学家”的雅号。另外，柯尔莫哥洛夫还热爱诗歌、音乐、美术、雕塑和建筑……

柯尔莫哥洛夫虚怀若谷，淡泊名利，曾把奖金捐给学校图书馆，不去领取高达10万美元奖金的1980年沃尔夫数学奖（他是这一年该奖的两位得主之一）……柯尔莫哥洛夫的影响力之大用一个故事就能说明。1963年在第比利斯召开的概率统计会议上，美国著名统计学家、信息理论家雅格布·沃尔夫维茨说：“我这次来苏联的一个特别目的，就是确定柯尔莫哥洛夫究竟是一个人还是一个研究机构。”要知道，雅格布·沃尔夫维茨并非“大明星”柯尔莫哥洛夫的“小粉丝”，而是一位风云人物。他是 1979年香农奖的唯一得主，也是美国国防部前副部长（2001—2005年在任）、世界银行第11任行长（2005—2007年在任）保罗·邓德斯·沃尔夫维茨的父亲。

总之，“为数学与教育倾其一生”的柯尔莫哥洛夫人格伟大，乐于并善于与人合作，数学成就斐然。这得益于他姨妈们的成功教育，也得益于他上莫斯科大学时的老师鲁金等的指点（这个指点的机遇来自他解决了鲁金提出的一个问题后受到的赏识）以及与同学的交流合作。这些给我们当代教育工作者许多难忘而深刻的启示。

6．彩票中奖

当今，五花八门的彩票吸引着无数彩民。那么，如何正确认识中奖机会（中奖概率）呢？例如，假设某种彩票中奖的概率是10%，只买1张就中奖和连续买10张或20张全都不中奖的概率，哪一种更大呢？

既然买 1张中奖的概率是 10%，那么似乎买 10张或 20张不中奖的概率就几乎为零了。然而，正确计算的结果却不是这样的。买 10 张不中奖的概率是（1-10%）10 ≈34.9%，比买1张中奖的概率大得多！这是一个超出常人的想象，而且似乎是让人难以接受的结果。而买 20 张不中奖的概率也高达（1-10%）20 ≈12.2%！

那么，更一般的问题是：若中奖概率不是10%而是1/n，则买2n张彩票不中奖的概率又是多少呢？显然是（1-1/n）2n 。又因为：

所以：

例如，假设某种彩票的中奖概率为万分之一，那么，买2万张不中奖的概率就高达约 13.5%。当中奖概率足够小（即 n 足够大）时，都是这个和 e“生死不离”的值！对此，每个彩民都应有足够的认识与思想准备。

7．信笺放错

另一个信笺放错的问题是：如果把n封不同的信（笺）放进n个写有不同地址的信封中，问每一封信都放错的方式an （称为全错位列）有多少种？这个问题最早是由瑞士数学家尼古拉斯·伯努利（1687—1759）提出来的。后来，欧拉称它为“组合数论的一个妙题”，并在与尼古拉斯·伯努利毫无联系的情况下，独自解开了这道数学史上著名的难题。于是，它就被称为伯努利-欧拉问题。有人用递推法结合误差分析，得到了极限情况下简洁优美的答案：an =［n!/e+0.5］（其中［x］表示对x“取整”）。

现在，我们把信笺放错难题变一下，把问“每一封信都放错的方式an 有多少种”改为问“当n→∞时，每一封信都放错的概率p（n）=an /n!是多少”。答案是：

你看，每一封信都放错的方式 an =［n!/e+0.5］以及每一封信都放错的概率p（n）=1/e这两个答案都和e有关！

不但如此，由于p（n）=an /n!中的 n!表示 n 的全排列，所以 p（n）就是 n的全错位列与n的全排列之比。两个排列之比竟然也和和e有关，这不能不说是一件趣事！

那么，an =［n!/e+0.5］和p（n）=1/e是怎么得到的呢？先说如何得到p（n）=1/e。注意到莱布尼茨级数 （可以用1/e的马克劳林展开式得到），而 ，所以就得到 ，也就是p（n）=1/e。

再说如何得到an =［n!/e+0.5］。利用上面得到的 可知，当n很大时，an ≈n!/e，这样就能用n!/e来估计an ，其误差为：

因为

从而推出 ，也就是Δ＜0.5。

再由 ⇒an -0.5＜n!/e＜an +0.5⇒an ＜n!/e＜an +1，这样就得到an =［n!/e+0.5］。

类似于“每一封信都放错的方式”的问题是尼古拉斯·伯努利和法国数学家蒙特莫尔特等研究过的帽子问题：有n个客人在参加宴会前都把帽子放在衣帽间内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，问n个客人都戴错帽子的戴法an 有多少种？答案也是an =［n!/e+0.5］。例如n=4，答案是a_4 =［4!/e+0.5］=9。又如n=5，答案是a_5 =［5!/e+0.5］=44。

8．扑克配对

取扑克牌中的两种花色（例如黑桃和红心）共26张牌，充分洗匀后每次从中随机抽取两张。如果有黑桃和红心各一张，就叫配对，此时暂停实验（否则要继续抽取，直到抽完26张牌）。然后把这两张放进去再次充分洗匀并随机抽取两张。一直这样，做到自己认为尽可能多的次数为止。

有人做了2500次实验（n=2500），得到1578次配对（m=1578）。那么，没能配对的次数k（n）=n-m=2500-1578=922。由此可算得：n/k（n）=2500/922=2.711…≈e。这是因为，根据雅格布·伯努利大数定律，当n→∞时，n/k（n）=e。

5.11 数学的诗歌——三角级数中暗藏的e

现在，如果你走进法国交通工程学院的图书馆，就可以看到静静地躺着一篇大约两个世纪以前的论文。

是什么论文如此珍贵，它的作者又是谁？此外，在当今全球气候变暖的研究中，经常提到的温室效应（又称花房效应）最早是由谁发现的？

在级数中，有一个著名的级数——三角级数：其中a_0 为实常数，n=0，1，2，…，适当的实系数an 和bn 与x无关。

法国物理学家、数学家傅里叶在讨论热传导问题的一篇论文中，首先明确指出，定义在（-π，π）上、以 2π 为周期的任一函数都可以表示为式（5.10）的形式。如果把式（5.10）两边同时乘以cos nx或sin nx，并在（-π，π）[或者（0，2π）]上同时积分，就可以得到式（5.10）中f（x）的傅里叶系数an 和bn ：

由此可见，傅里叶在研究热传导问题时得到了一个“惊人的事实”：在有限的区间上，由任一图形定义的任何函数都可以分解为单纯的正弦函数与余弦函数之和。或者说，他得到的一个“副产品”是，任何函数都可以表达为一系列不同频率的简谐振动（即简单的三角函数）的叠加。

这种思想可以推广到任意区间上的正交函数。特别地，{e inx /2π}（n=0，±1，±2，…）是区间[0，2π]上的就范正交函数系，函数f（x）关于它的傅里叶级数（称为傅里叶级数的复数形式）为（e在其中现身）： 。

这篇论文是傅里叶在1807年接近年底时向法国科学院呈交的《固体中的热传播》（以下简称《热传播》）。

傅里叶的这篇内容很长的《热传播》研究了不连接的物质与特殊形状的连续体（例如矩形、环状、球状、柱状和棱柱状的物体）的热传导问题。1807年 12月21日，在法国科学院委托的论文评审委员会召开的评审会中，虽然拉普拉斯、蒙日、拉克努瓦赞成和打算接受其观点，但是却遭到拉格朗日的强烈反对，因为《热传播》中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日处理弦振动问题时对三角级数的否定观点矛盾。不完全相同的一种说法是：这次评审委员会的成员除了上述4人外还有勒让德，赞成与反对的评委也不尽相同。不管哪一种说法，最后都是以“不严密”为由不发表《热传播》。不过，评审委员会在给傅里叶的回信中还是鼓励他继续钻研，使研究结果严密化，而且他的论文摘要由拉普拉斯的得意门生泊松于1808年3月发表在巴黎科学普及协会主办的《科学普及协会通报》上。

这里要对上述“惊人的事实”、“与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾”和“不严密”加以说明。因为单纯的正弦函数与余弦函数都是解析的（即无限次可微的），所以包括拉格朗日在内，当时的数学家们都自然认为这些函数之和也必定是解析的。但是，解析函数实际上与在一个区间内可任意变化的函数相去甚远，例如解析函数有这样的性质：如果它的图形在任意小的区间[比如在（-π，π）中的一小段上]已知，那么这个图形到处就会被唯一地确定。这个事实怎么能同傅里叶所宣布的图形在整个区间（-π，π）上的任意性相协调呢？于是，评委们就不太相信傅里叶那个“与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾”的“惊人的事实”，从而认为其“不严密”了。

用今天的话来描述傅里叶的发现，实际上是：任何一个信号都可以用两种方式来表达，其中一种就是通常意义上的表达，自变量是时间或者空间的坐标，因变量是信号在该处的强度；另一种则是把一个信号“展开”成不同频率的简单三角函数的叠加，这就相当于把它看作是定义在所有频率所组成的空间（称为频域空间）上的另一个函数，自变量是不同的频率，因变量是该频率所对应的简谐振动的幅度。这两种函数分别定义在时域（或空域）与频域上，看起来的样子通常截然不同，但是它们是在以完全不同的方式殊途同归地描述着同一个信号。它们就像是两种不同的语言，乍一听完全不相干，但是其实可以精确地互相翻译。在数学上，这种翻译的过程被称为傅里叶变换。

傅里叶变换就像是把信号彻底打乱之后以最面目全非的方式复述出来，而一切信息都还原封不动地保留下来，多么神奇啊！在傅里叶变换的所有这些数学性质中，最不寻常的是这样一种特性：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（例如一段声音或者一幅图像），通常在频域上的表达会很简单。这里的“简单”是说作为频域上的函数，它只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。例如，从一张人脸和它对应的傅里叶变换可以看出，所有的频域信号差不多都分布在中心区域，而大部分周边区域都是黑色的（即零）。

人脸和它对应的傅里叶变换

这是一个“意味深长的事实”：一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域，而大部分频率是被浪费了的。这就导出了一个极为有用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用少得多的数据来加以描述。只要对它先进行傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了，这样数据量就可以大大减少，这基本上是今天大多数数据压缩方法的基础思想。在因特网时代，大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输，所以数据压缩是最核心的问题之一。而今天几乎所有流行的数据压缩格式，无论是声音的 MP3 格式还是图像的 JPG 格式，都是利用傅里叶变换才得以发明的。从这个意义上说来，几乎全部现代信息社会都建立在傅里叶理论的基础之上，这是傅里叶始料未及的。

现在我们知道，三角级数在数学、物理学、天文学和工程技术中都有广泛而重要的应用。所以，珍贵的《热传播》值得法国交通工程学院图书馆永久珍藏。后来所说的温室效应也是傅里叶在1824年发表的论文《地球和行星空间的温度概论》中首先提出来的。

当然，式（5.10）也可展开为：

不过，傅里叶当年的确没能严格证明式（5.11）和式（5.12）为系数时，式（5.10）是否收敛以及它的和是否等于f（x）。直到1820年，另一位法国数学家柯西在讨论级数时才注意到必须讨论它的收敛性。而在1829年，德国数学家狄利克雷才用狄利克雷积分得到收敛性的确定成果——著名的狄利克雷定理（不同于5.6 节提到的算术级数的狄利克雷定理）：如果f（x）在闭区间[-π，π]上单值、有界，并且只存在有限个不连续点与有限个极大值和极小值，那么f（x）的傅里叶级数在f（x）所有连续的点上都收敛到f（x），而在f（x）不连续的点上收敛到它在左、右极限的平均值上。至此，傅里叶级数理论严密性的争论终于落幕。1903年，法国数学家勒贝格用勒贝格积分也给出了严格证明。

由此可见，傅里叶（而不是拉格朗日等批评者）是正确的，即使他的证明并不严密。也由此可见，傅里叶对他的级数要求失之过宽，而批评者们对级数的限制则失之过严，这种错误在当时非常普遍，他们误认为收敛级数的和也应该具有该级数每一项所具有的性质（例如连续性、可微性）。数学在这里又一次历经坎坷曲折，但最终还是走向了阳关大道！

即便有这么多曲折，式（5.10）所示三角级数后来还是被叫作傅里叶级数，这又是为什么呢？

原来，主要是因为它是由傅里叶发现的。式（5.13）可以推广到用下面的一对美妙的积分公式代替：你看，e又在这里现身了，它“暗藏”在三角级数之中！

傅里叶那篇载有美妙的傅里叶级数的论文《热传播》，被英国物理学家、数学家麦克斯韦盛赞为“一首伟大的数学的诗歌”。一些科学家把傅里叶级数誉为“数学的诗”，而恩格斯则把傅里叶的数学成就与德国哲学家黑格尔的辩证法相提并论：傅里叶是一首数学的诗歌，黑格尔是一首辩证法的诗歌。

式（5.14）和式（5.15）这组公式的意义是，对属于-∞＜x＜+∞上的某个函数类中的函数f（x），式（5.14）关于一切 y（-∞＜y＜+∞）存在，因此得到函数 g（y），用 g（y）又可以形成式（5.15），所得到的函数就是原来的f（x）。

麦克斯韦

你看，数学的元素们在这里多么亲密，多么和谐地相互依存。

不但如此，式（5.14）和式（5.15）这对公式还创立了抽象分析学中的共轭理论，而傅里叶建立数学-物理模型的方法和推演技巧为后人树立了光辉的榜样，永载史册。

后来，泊松和他的前辈们还把傅里叶级数和傅里叶积分联系在一起，它最简单的情况是：

看，e也在这个式子中现身了。

傅里叶积分是指对任意函数F（x），有：它是一个偏微分方程的解。这个解是傅里叶在1811年12月28日提交给法国科学院的获奖论文《固体的热运动理论》（即对1807年《热传播》的修改，新增加了在无穷大的物体中热扩散的分析）中得到的。为了推动对热扩散问题的研究，法国科学院在1810年2月2日悬赏征求这方面的论文。因为原来所用的式（5.10）有周期性而不能对无穷大物体的热扩散进行分析，所以傅里叶在《固体的热运动理论》中采用以上积分形式代替式（5.10）。

这次评审委员会由拉格朗日、拉普拉斯、马吕斯（也是巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一）、阿雨和拉克努瓦（一种说法是勒让德）5 人组成。他们审查了傅里叶的论文，提出了“为了严格起见，他的积分过程有待进一步考虑”的意见，并拒绝在法国科学院主办的《纪要》（也译为《报告》）上发表这篇论文。傅里叶认为这是一种无理的刁难，非常愤慨，决心把这篇论文的数学部分扩充为一本书。不过，评审委员会还是对《固体的热运动理论》颁发了奖金。

又经过“十年寒窗苦”之后，傅里叶终于完成了这本热力学经典著作，1822年《热的解析理论》出版。两年后的1824年，傅里叶成为了科学院的秘书，他的《固体的热运动理论》被原封不动地发表在《纪要》上。56年后的1878年，英国历史学家、建筑艺术家弗里曼把《热的解析理论》译为英文，在剑桥大学出版社出版（2009年再版）。又过了几年，法国数学家达布克斯修订、编辑了《热的解析理论》，于1888年在法国出版。

在数学史甚至科学史上公认的划时代经典著作《热的解析理论》对纯粹数学与应用数学产生的巨大影响，超过了其他任何一部理论物理著作。2008年，简体中文版出版。

傅里叶级数在数学、物理学、天文学和工程技术等领域的应用只需一个例子就能说明。1965年，两位美国数学家库利和杜克在美国《计算数学》第 19 卷第297～301页上发表论文《一个复数傅里叶级数的机械算法》，提出了快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。FFT的数学意义在于，不仅使傅里叶分析的速度提高了数百倍，从而为数字信号处理技术的应用奠定了基础，而且使数字信号处理技术有了突破性进展（包括改善了数字信号不能实时处理的问题），为现在的网络通信、图形图像处理等领域的发展奠定了基础。于是有人说：“傅里叶分析的意义在于将电能变为工业的命脉，而FFT的意义更在于强有力地推动了整个社会信息化的进程。”所以，FFT是数字信号处理技术发展史上的一个重要里程碑。而在1999年7月，两位美国数学家阿巴德与阿巴奇则把傅里叶级数列在“历史上最伟大的100个数学定理”的第76位。

傅里叶与《热的解析理论》（2009年剑桥大学出版社再版）

傅里叶在数学、物理学等领域都有卓越的贡献。例如，著名的施图姆定理就是由他最早提出来的，但他没有给出严格的证明。1829年，出生在瑞士日内瓦，但大部分时间在法国度过的数学家雅克·查尔斯·弗朗索瓦·斯图姆（也是巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一）给出了严格的证明。而这位施图姆也是傅里叶帮助过的许多好友之一。施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根个数的方法，它与代数基本定理的一个区别是：代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内；而施图姆定理则只涉及实根，而且不把重根计算在内。又如，傅里叶在研究分析力学时解偏微分方程的机智方法非常重要而实用。中国数学家申又枨对此大加赞赏：傅里叶的创造给各种类型的偏微分方程提供了一种统一求解的方法，就好比以前解“四则问题”时各种难题有各种解法，而运用代数方程以后就有了统一的简便解法。他的比喻很好地形容了傅里叶的方法在微分方程领域的重要意义与广泛的实用价值。事实上，傅里叶的方法是如此“给力”，以致过了整整一个世纪，非线性微分方程才重新在数学、物理学领域中异军突起。

傅里叶对法国的重要性可以从下面的一件事看出来。1798年，他担任法兰西共和国执政官拿破仑到埃及远征探险的科学顾问。在行军途中将要进入危险地区时，拿破仑极力保护随行的傅里叶：“请命令队伍，把驴子和学者放在中间，保证万无一失。”

傅里叶去世以后，他的家乡也为他竖立了一座青铜塑像，20世纪还用他的名字命名了一所学校。傅里叶辞世59之后的1889年，巴黎埃菲尔铁塔建成，塔身上刻有“埃菲尔铁塔七十二贤”。在面向拉布尔多奈码头的塔身上，刻有其中的18位法国先贤的名字，他因为创立傅里叶级数而位列其中。此外，月球上的一座火山口、10 101号小行星以及法国的一所大学也用傅里叶的名字命名。

5.12 从达·芬奇到伯努利——悬在空中的e

设计总长4842米（一说5070米，正桥、主跨分别长3690米和3300米）、桥面宽70米、拟耗资60亿欧元的世界上最长的悬索桥——墨西拿海峡大桥，原计划从2009年12月23日开建，预计在2012年建成（2012年11月1日，意大利政府宣布把大桥修建的可行性评估期再延长两年），连接意大利本土和西西里岛。

墨西拿海峡大桥模拟图

截至2014年年底，世界上主跨最长的悬索桥是日本在1998年建成的明石海峡大桥（连接神户与淡路岛，主跨长1991米）。屈居亚军的是中国舟山的西堠门跨海大桥（连接册子岛与金塘岛，主跨长1650米），2009年建成的这座大桥也是钢箱梁悬索桥（悬索桥中的一种）中长度为世界第一的大桥。

与其他桥梁相比，又名吊桥的悬索桥可以使用较少的材料来跨越比较长的距离，造得比较高而利于行船，无须在桥中心建立暂时的桥墩，从而能在比较深或比较急的水流中建造，适合大风和地震区的需要。由于这些优点，悬索桥近年被广泛采用。

那么，悬索桥的悬索究竟有啥奥秘呢？本节将揭开谜底。

1．从达·芬奇到伯努利兄弟

在文艺复兴时期的意大利，有一位奇人，他就是科学家、艺术家达·芬奇。他的“蒙娜丽莎”至今依然在“微笑”，他在科学上全方位的探索依然鼓舞着来者。

在达·芬奇苦苦探索的问题中，有一个“悬链线问题”——由后来的莱布尼茨改的名。这个问题是，一根柔软、密度均匀而不能自由伸长的绳（例如铁链）悬挂在两个固定点（这两个点不一定等高）之间，求它所形成的曲线（的方程）或者猜想它的形状。但是，他没有给出明确的答案就辞世了。

铁链自然下垂的形状

也许我们会说：“可能是条抛物线吧！”其实，这样的猜想只不过是在重复历史上数学家们的错误而已。

可不是么，达·芬奇的同胞伽利略研究过悬链线问题以后，就猜想这条曲线可能是抛物线。无独有偶，法国-荷兰著名数学家吉拉德也认为是抛物线。

几十年以后的1646年，年仅17岁的惠更斯才从物理学的角度证明伽利略等的猜想是错误的。但悬链线究竟是什么形状，此时谁也说不清楚。到了1690年5月，雅格布·伯努利在德国的《教师学报》上又把这个问题重新提了出来，并引起了许多人的再度关注。

在1691年6月的《教师学报》上，惠更斯（此时已经62岁）、雅格布·伯努利的弟弟约翰·伯努利和莱布尼茨都发表了各自的解答，但结论是相同的。

惠更斯用的是几何方法，但十分烦琐。

约翰·伯努利借助于微积分进行解答，他构造了微分方程 dy/dx=s/c，其中 s是下图中悬链线最低点B到线上任意点A的长度，c是OB的长度。显然，c与悬链线的单位长度的重量有关。从这个微分方程出发，在平面直角坐标系中得到y=ccosh（x/c）。

悬链线图示

莱布尼茨采用微积分的方法。对于自己的解答，他在1690年7月的《教师学报》上曾不无得意地说：“因此，我被这一从未尝试过的内容（悬链线问题）吸引，并用我的钥匙（微分法）幸运地开启了它的秘密之门。”不过，此时他只是说解

决了这个问题，并没有立即发表成果。为什么莱布尼茨没有立即发表成果呢？1718年（雅格布·伯努利已去世13年），约翰·伯努利为了消除一位同事对他做出解答的质疑，就给这位同事写了一封信：“……莱布尼茨先生在1690年《教师学报》第360页告诉大家，他已经解决了这一问题，只不过为了给其他参与者一些时间，他选择暂时不发表他的成果。这让包括我哥哥和我在内的一千多人备受鼓舞，有机会再次投身到这个问题的求解中。”从这封信可以看出，莱布尼茨没有立即发表成果是想“一花引来百花开”。

1691年到 1692年间，伯努利兄弟俩还进一步解决了悬挂着的变密度非弹性柔绳、等尺寸的弹性绳以及在每一点的作用力都指向一个固定中心的细绳所成形状等更为复杂的问题。

1691年雅格布·伯努利发表在《教师学报》上的论文证明，在悬挂在两固定点间的细绳能取的所有形状中，以悬链线的重心最低，这表明自然界在创造它的外形时也使得它的势能最小——最小作用原理的表现之一。他还在弟弟的研究方法的基础上得到可变长度的悬链线的解。

伯努利兄弟俩是继牛顿和莱布尼茨之后微积分的两个最重要的奠基者，他们对悬链线的研究促进了微分方程的发展。

2．怨起萧墙

不幸的是，“对名声的追求近乎病态的”伯努利兄弟俩，在悬链线问题、最速降线问题（指只受重力作用的一个质点在 A 点以零速率开始沿某条曲线运动到不高于A点的B点，问以怎样的曲线运动所需时间才最短？）上产生了分歧，因为各自过分自尊、过于脾气暴躁而尖刻地指责对方，时常使双方甚至家庭成员不快。在雅格布·伯努利已去世13年后，约翰·伯努利还积怨未消，曾对同事说：“你知道我哥哥的性格。如果他真能解决这个问题，就会毫不犹豫地去夺取第一个解决它的荣耀，而不会让我参与进来，更不会让位给我了。”

《猜度术》

这种积怨的后果之一是，约翰·伯努利在雅格布·伯努利死去之前无法在巴塞尔立足，只好去格罗宁当了一名教授。当雅格布·伯努利死后，他的巨著《猜度术》一书的手稿被他的遗孀和儿子藏在外面多年，差点使这本经典著作“胎死家中”。直到雅格布·伯努利死后8年的 1713年，内容不够完整的《猜度术》才由他的侄儿尼古拉斯·伯努利（1687—1759年）帮助出版……

3．悬链线和e

在此，可能有人要问，悬链线和e有什么关系呢？

有。我们知道，“cosh”是双曲余弦的符号，用它就可以把y=ccosh（x/c）写成 。如果设这个式子中的c为1，悬链线方程就变成双曲余弦函数 了。当然，在伯努利兄弟俩时代的自然对数的底还没像后来的e这种特定的符号。

看，e就被数学家们用细线“悬在空中”了！

4．昆虫学家的赞美

美丽的悬链线和e的关系曾被人们大加赞美。在赞美者中，有一位“昆虫界的荷马，昆虫界的维吉尔”。（荷马是我们在1.1节提到的古希腊盲诗人，以《牧歌》（十章）闻名于世的帕布留斯·维吉尔·马洛则是著名的古罗马诗人）。

“每当地心引力作用时，悬链线就在现实中出现了。它就是抓住一条软绳子两端时绳子垂下来的形状，它就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的线条，它就是母山羊耷拉下来的乳房装满乳汁后鼓起来的弧线。而这一切都需要 e 这个数。”法国著名昆虫学家法布尔在他写的《昆虫记》一书卷9中，用富有诗意的语言讴歌道，“现在，这个奇妙的e又出现了，就写在蜘蛛丝上。在一个浓雾弥漫的清晨，让我们看一下夜间刚刚织好的网吧。黏性的蜘蛛丝担负着水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随着曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐、晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带着念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。e这个数是多么辉煌！”法布尔就是上面所说的“昆虫界的荷马，昆虫界的维吉尔”。

法布尔

蜘蛛网

瞧！连蜘蛛网都如此美丽，如果站在数学的角度去看这个世界，就甭提有多美了。那么，谁会有理由不热爱这个有“人间烟火”的世界，热爱生命呢！

5．跨越300年的美丽——悬链线无处不在

你小时候也许吹过肥皂泡吧？信不信由你，介于空中两个平行圆面之间的肥皂膜就是悬链线绕一条轴旋转而成的旋转体！

悬链线是一种重要的曲线，在理论研究和工程技术中都有广泛的应用。例如，美国密苏里州那座最高点高出密西西比河面 190 米的圣路易斯大拱门（杰弗森国家拓展纪念碑）的造型就是一条精确的倒挂悬链线。这座不锈钢建筑是由 1923年移民到美国的芬兰建筑师萨里恩在 1959年设计（1947年开始构思）的，在1965年 10月 28日竣工（此时他已于1961年因脑瘤辞世），全部造价达 1300 万美元，每天可接待游客6400人。

石拱是什么形状？也许你会说，当然接近半圆形。其实，除了半圆形以外，还有其他形状。例如，在江南水乡浙江绍兴，桥梁建筑史家已经发现了两座接近悬链线形状的清代石拱桥。20 世纪 60年代以来，西方桥梁建筑中也出现了先进的悬链线形拱桥。我们经常看到的美丽的悬索桥大多采用悬链线形状，通常大跨度的桥都采用这种结构。悬索桥是当今四大类桥中的一类，其余三类是拱桥、梁桥和斜拉桥（或者是这四大类的某些组合）。

杰弗森国家拓展纪念碑夜景

有的石拱桥的石拱接近悬链线形状

有趣的是，用微积分知识可以证明，对于两端固定的一条曲线，当它的形状是悬链线的时候，才能使它绕前图中的x轴旋转所得的旋转曲面的面积最小。

后来，对悬链线的研究发展为对悬链面的研究。悬链面是以悬链线为母线的旋转曲面，它的立体直角坐标方程是 。

5.13 数学也要轻装上阵——e与微积分

在数学分析教科书中，几乎都会用较大的篇幅介绍e和 这个数学中最重要的基本极限之一。这是为什么？

因为要介绍数列的极限和函数的极限，就必须注意两个最重要的极限： 。

那么， 这个极限又有什么用呢？

我们知道，在数学分析中要牵涉求导、微分、积分等，就必定会出现一些关于指数、对数的式子，必然涉及底数的问题。因此，数学家们都希望选取使得这些式子具有最简洁形式的底数。

那么，选什么数作为底数好呢？

我们来看一个实例。如果y=logb x，那么dy/dx=（1/x）logb e。很显然，只有当b=e时，dy/dx=1/x才具有最简洁的形式。用微积分理论可以完成严格的证明。

同时，以1以外的任何数为底（以1为底在代数中是“犯规行为”）的代数函数进行微积分运算以后，都会出现以e为底的函数。怪不得数学家们都说：“lnx和 ex 在高等数学中特别重要。”而 则是微积分中一个重要的基本公式。

有趣的是，以e为底时，ex 的导数（ex ）'=ex ——函数和它的导数相等。而以其他任何数为底都不会这样。更进一步，其他任何函数都不是这样。

e、指数函数ex 及其导数（即切线的斜率）这三者之间还有一个有趣的关系：e是在x=0的点上，导数ex 的值为1的唯一数。通过对比函数y=2x 的图像（见下页图中的一条虚线）和函数y=4x 的图像（见下页图中的另一条虚线）可以看到，这两条曲线都和斜率为1的直线并不相切。

更有趣的是，假设f ′（x）=f ′（nx）（式子中的x大于0，n不等于0和1），求f（x）。最后的答案是f（x）=lnx+C（式子中C是积分常数）。你看，e在这里又“鬼使神差”地做底了！

其实，在微积分学中，6 个基本极限公式里的4个都含有e，微分学重要极限公式、基本（不定）积分公式中不少也含有e。

当然，在数学的其他分支学科中，e 也随时“轻装上阵”：在罗巴切夫斯基非欧几何的相关计算中，在幂级数的相关公式中，在整函数分解为素因子的定理中，在埃尔米特（正交）多项式中……

在这3条曲线中，只有y=ex 和y=x+1相切

事实说明，e犹如神通广大的孙悟空，在数学中的作用毫不亚于大名鼎鼎的π。而马奥尔在1986年首次出版的书《无穷之旅——关于无穷大的文化史》中，则把π、e和φ并称为数学中“3个著名的无理数”。

5.14 e书荟萃

下面列出了已经出版的大部分“e书”，其中国内最早兼说π的是《π和 e》（1964年），最早专门谈 e的是《说 e》（1985年），篇幅最大的是《e的密码》（2011年）。

《说e》

《e的奥秘》

《e的奥秘》

《毛起来说e》

《不可思议的e》

《e的密码》

《漫话e》

《π和e》

《e的故事：一个常数的传奇》5种版本：左边3本为外文版，右边两本为译本

第6章 大众情人——走出王宫的e

世界是一本打开的活书……这本最伟大的书是用各种几何图形和数学文字写成的。

——伽利略

e不但在数学的王宫中漫游，而且它还走出王宫和其他学科“谈情说爱”。

6.1 物理学的宠儿——从大力士到衰变时钟

1．你也能当大力士——缆绳靠e系船舟

“工人们停止了锤击，两旁支撑船身的支持物已经移开。船要下水了。

呜——一声长鸣，缆绳解开，‘特拉波科罗号’摇摆着滑了下去。所有的眼睛都注视着这艘华丽的大船。

……突然，只听一声惊呼。原来，一只快艇要从‘特拉波科罗号’下水的船坞前面进港。

……在这两船就要相撞的危及关头，突然出现一个人：头高身大……胳膊像起重机……他在不到一分钟的时间内，把系在‘特拉波科罗号’前部的缆绳绕在钉在地里的木桩上，以‘超人’的气力抓住缆绳的另一端……大约有十秒种……最后缆绳断了。

可就是这十秒种的时间已经足够，‘特拉波科罗号’下水以后，只轻轻地擦了一下快艇，就向前驶去。

这位使快艇脱险的大力士，就是马蒂夫。”

以上是法国著名科幻小说家凡尔纳的小说《马蒂斯·桑多尔夫》（又名《桑多尔夫伯爵》）中的情节。被称为“又一部精彩的《基督山伯爵》”的《桑多尔夫伯爵》，于1885年6月16日～9月20日首次在巴黎当时最重要的日报之一——《时代》上连载。《时代》从1861年4月25日开始发行，1942年11月30日停办。

凡尔纳

“力拔山兮气盖世”，许多人都想当马蒂夫或楚霸王项羽这样的大力士。

但是，绝大多数人都不能如愿成为大力士。于是，人们常利用杠杆、动滑轮、辘轱、斜面、螺旋、劈、水压机等这些“力放大器”来圆大力士梦，因为它们能将小力变为大力。

用尼龙绳打结，是不容易打得牢靠的。晾衣物等的绳子有时会自己松脱。打包裹、被盖卷的时候，你会看到棱角处比其他部位被绳子勒得更深。船员或渔民在系船的时候，会在缆绳桩上绕许多圈。有的传动皮带要扭成“8”字形……

发生这些现象的原因是什么？

这里将分析另一种“力的放大器”，帮助你实现大力士梦，并解释包括上述现象在内的有关现象。

在下图中，设T（θ）和T_0 为通过绳子加在半径为r的无摩擦不动圆轮上的一对力，dN 为圆轮反推绳子的法向力；T（θ）与 T_0 合成后的力（由AB的长度表示）与dN有二力平衡的关系；并设M和N为绳与轮的切点，∠MON=dθ，C为菱形AEBD的中心。

显然，因为∠AEC与∠AON的两边分别垂直且同向，所以 。又因为T_0 与T（θ）合成的力与dN等大、反向，所以在直角△ACE中可知 。当dθ为微分量（当θ很小时，sinθ≈θ）时，上式变为 。由此得到：

以下将求得：

绳、轮受力分析1

用 去除式（6.1）的两边，并注意到 ，可得到dN / =T（θ）（dθ/ ）＝T（θ）/r，它就是式（6.2）。

式（6.2）表明，如果T（θ）一定，那么单位弧长上的法向力（即dN/ ）与r成反比。这一结论能解释用绳子扎紧包裹、被盖卷时，用同一段绳子，却使棱角处勒得最深，因为这儿的r最小。也能解释小物体比大物体容易捆得紧些。

由于绳、轮接触处不光滑，T（θ）和T_0 两力并不平衡，设滑动前相差某一值d T（θ）=μdN（μ为轮、绳间的滑动摩擦系数），绳在轮上绕了θ弧度。下面将导出T（θ）与T_0 间随θ不同而变化的关系式。

将式（6.1）代入dT（θ）=μdN中，就得到d T（θ）=μT（θ）dθ，也就是dT（θ）/ T（θ）=μdθ。把这个式子两边积分，就有（式中C＇为积分常数）：

当θ=0时，显然T（θ）=T_0 ，把它代入式（6.3），就求得C＇=ln T_0 。这样式（6.3）就变为ln T（θ）=μθ+ln T_0 ，此式可变形为：式（6.4）是由欧拉在18世纪发现的，也叫欧拉公式。

以下是推导出式（6.4）的另一种本质相同的方法。

在右图中，设绳绕轮的圆心角∠AOB=β，切点A处的拉力为T_0 ，另一切点B处使绳开始滑动的牵引力为T_1 。C是 上的任意一点，而且∠AOC=θ。

现在，我们来研究 C 处的一个微小增量dθ所对应的 这一部分绳的平衡。

如果C处向右拉的力为T，则D点向左拉的力应该比 T 大一个作用于这部分的摩擦力dT，即等于T+dT。

这个摩擦力是由皮带对 的压力dN引起的，所以大小是μdN。这样就有dT=μdN。

在近似直角△OCD中，dN=T tan（d θ）。此外，由于d θ很小，所以tan（dθ）≈dθ。这样就得到dN=T dθ。

由d T=μ d N和d N=T d θ可知，d T /T=μ d θ。此式积分后，就得到ln T=μθ+B （B是积分常数）。因为对应于θ=0的A点，T=T_0 ，所以B=ln T_0 ，于是也得到T=T_0 eμθ ，这就是式（6.4）。因此，当θ=β时，使绳滑动所需要的T_1 就可以由T_1 =T_0 eμθ 求出。

绳、轮受力分析2

欧拉公式表明，绕在圆轮（或圆柱、棒、桩等）上的绳子或带子可将力放大eμθ 倍。这能解释以下现象。

① 水手们可以通过绕在缆柱上多圈的绳子，轻而易举地控制住质量巨大的船只。

例如，有一艘50吨的船，并设克服船漂走的力为它所受重力（大约为5×10^5 牛，重力加速度g取10米/二次方秒）的1/10，即5×10^4 牛，绳在缆柱上绕4圈，即θ＝8π，缆柱和缆绳之间的摩擦系数μ＝0.25。问至少要多大的力拉住缆绳，才能控制住船不漂走？

把上述数据代入式（6.4），就得到 T_0 ≈(5×10^4 ÷2.720.25×8π )牛≈93 牛，即只需93牛的力。

那么，这93牛是一个什么概念呢？我们还是用日常生活中广泛使用的“斤”来计量吧。93牛约相当于提起19斤重物所用的力，因此一个小小少年就能控制住50吨的大船。

由此可见，凡尔纳笔下的马蒂夫是“冒牌货”，根本就不是什么大力士。或者说，凡尔纳缺乏这方面的知识，误把马蒂夫说成大力士了。

显然，如果多绕几圈，这个力还会大大减小。这种情况就出现在下面。

② 不知道你观察过没有，有时水手们在系缆绳的时候，只是在缆柱上绕许多圈，就把余下的缆绳随意扔在船上；绳端并不与绕的缆绳打成结，也不系在其他物体上。那么，他们不怕船“野马脱缰”吗？我们不必担心。欧拉“告诉”他们，重量很大的船无法拖动整个缆绳而成为“脱缰野马”。

以上①和②就是我们所说的“缆绳靠e系船舟”。

③ 牧民拴马也是类似的道理。他们把缰绳套在固定的木棒之上，绕上五六圈，然后在缰绳的端头轻轻地打一个结，就放心离开了。即使没有打结——像前面的水手们那样多绕几圈，马儿也不会脱缰而去。所以，欧拉公式又叫欧拉缰绳理论。

④ 晾衣服的时候，将系在柱子上的绳子多绕几圈，绳子就不容易在很重的湿衣服作用下脱落。捆扎物体时多绕几圈可防松脱，也是类似的道理。

⑤ 皮带之所以能传递动力，其依据也是皮带和轮子之间有足够的摩擦力，也就要求有足够大的θ。所以，有人也把欧拉公式称为皮带理论。

皮带的“8”字形传动

皮带的环形传动

⑥ 有时传动皮带被扭成“8”字形，它比环形（见右图）皮带具有更大的 θ，因而更不容易打滑。由此可见，有经验的工人师傅采用上页右图所示的“土办法”来应急处理刚开始打滑的传动皮带，是有科学依据的。当然，由于此时从动轮的转动方向和原来的相反（这是有时采用“8”字形传动皮带的另一个原因），应改变主动轮的转动方向，例如用电路控制。

⑦ 打牢固的绳结及缚紧绳端。结要打得牢，就一定要使绳的曲折多或者围着自己缠绕的圈数多，例如采用接绳法（见下图），使θ增大。

⑧ 多股绳的绳端容易散开，可采用冠状缚绳端法（见下图），因为用这种方法缚绳端时，各股细绳的曲折增多而使θ增大。

接绳法

冠状缚绳端法

当然，以上⑦、⑧仅仅是种类纷繁、用途各异的绳结中的两种。

⑨ 以一己之力赢得与多人拔河的比赛。拔河时可把绳子在柱子上多绕几圈，如右图所示。

以一己之力赢得与多人拔河的比赛

2．滴答声中的物理公式——摆锤振动中的e

我们知道，在摆幅很小的时候，单摆和复摆的振动周期T分别是 （式中l是单摆的摆长）和 （式中I是复摆对转动轴的转动惯量，m是复摆的质量，b是复摆的重心到转动轴的距离），这两个式子中的g是当地的重力加速度。

那么，这些摆的摆幅x又如何随时间t变化呢？物理学家给出了答案。

在有阻尼的空气中，x遵循x=A_0 e-βt 的规律。这里 A_0 是刚开始时的摆幅，β是一个有正值的阻尼系数。你看，这里又出现了e。如果你家中有摆钟，e就日日夜夜陪伴你了。

从x=A_0 e-βt 中可以看到，x将随t的增大而减小。这就不难解释为什么摆幅x将越来越小（见右图），直到摆幅为零而停下来。

那么，为什么家中摆钟上的钟摆没有较快停下来呢？这是因为有发条给它补充能量的缘故。一旦你忘记上发条，没有给它“喂草”，它就会“偷懒”休息了。

事实上，x=A_0 e-βt 是一切阻尼振动的规律。

摆幅变化情况

3．火箭飞天的奥秘——地球人借e上青云

现代科学技术的迅猛发展，使人类可以用火箭把人造卫星、宇宙飞船等飞行器送入太空。

“地球是人类的摇篮，但人类不可能永远被束缚在摇篮里。开始他将小心翼翼地穿出大气层，然后便去征服整个太阳系。”凡是对航天科技感兴趣的人，一定熟悉齐奥尔科夫斯基的这段名言。

俄国-苏联科学家齐奥尔科夫斯基被称为宇航之父。经过多年潜心研究之后，他在1897年推导出了著名的理想火箭运动方程（公式）。不过，他在1898年完成的相关航天学经典论文《利用火箭装置研究宇宙空间》，直到1903年才发表在圣彼得堡《科学评论》杂志第5期上。论文中说，火箭的理想运动速度（又叫速度增量或特征速度，即忽略重力和空气阻力等时计算出来的速度） v可以用以下公式计算：其中u是火箭发动机的有效排气速度（喷流相对于火箭的速度），z=m_0 /m是火箭最初的质量m_0 与发动机停止工作时的质量m之比（简称质量比）。式（6.5）叫（理想）火箭运动的齐奥尔科夫斯基方程（公式）。你看，其中也有e的一份功劳。

齐奥尔科夫斯基和他设计的飞艇

不过，1995年的新发现表明，在位于伦敦东南部伍尔维奇的英国皇家军事学院工作的著名数学家穆尔，曾在19世纪初就根据牛顿第三定律，首次阐述了理想火箭的运动方程。但是，由于他在1813年所写的相关论文《论火箭运动，附论海军重炮》没有公开发表，所以未被大家承认，于是人们依然称式（6.5）为齐奥尔科夫斯基方程。此外，由于许多相关历史文件在第二次世界大战中被德军飞机炸毁，穆尔的生平也鲜为人知。

从式（6.5）可以看出，要想提高火箭的运动速度 v，要么增大喷气速度 u，要么同时增加 u 和质量比 z。而火箭的最终速度至少要达到第一宇宙速度（约为7.9千米/秒），才能将人造卫星等送入运行轨道。

由于目前技术水平的限制，固体燃料的最高喷气速度u只能达到2.5千米/秒，液体燃料一般为3千米/秒，最好的混合液体燃料也只能达到4千米/秒。同时，质量比z也无法提高到10以上。因此，即使按u=4千米/秒和z=100的理想情形计算，火箭的理论速度虽然可以达到 9 千米/秒，但除去重力和空气阻力等造成的损失（约为 2千米/秒），实际速度只能达到7千米/秒。这样，人造卫星等还是无法被送入运行轨道。

科学家们通过研究式（6.5）之后，想到了采用多级火箭来解决速度问题，由接连的几个火箭发动机组成一个动力系统推动火箭前进。第—级发动机使火箭达到一定的速度，燃料耗尽自动脱落后，第二级发动机立即接着工作，使火箭达到更高的速度。第二级发动机燃料耗尽自动脱落后，第三级发动机再接着工作……这样，假设各级发动机的喷气速度和质量比都相同，即：

u_1 =u_2 =…=un =u，z_1 =z_2 =…=zn =z

那么火箭的最终速度为：

v=v_1 +v_2 +…+vn =u_1 ln z_1 +u_2 ln z_2 +…+un ln zn =nu lnz

这个式子表明，增加一级火箭和增加一倍喷气速度，对火箭运动速度产生的效果是一样的，即都可以使速度成正比地增大，而且还弥补了喷气速度不能大幅增大的困难。

现代火箭大多用的是液体燃料，可以使u达到3千米/秒，z达到3，所以只需三级火箭就可以最终达到 v=3×3ln3 千米/秒≈10 千米/秒。即使实际损失 2 千米/秒，也可达到7.9千米/秒的第一宇宙速度。

多级火箭的巧妙思路在于，不但能使火箭逐渐变轻，而且能使质量比足够大。

当然，由于火箭靠不断向后喷射高速气流获得动力，同时质量减小，所以是变质量、变速度的运动。

先假设火箭在理想状态（不考虑外力因素）下运动，火箭的瞬时质量为m，u为相对于火箭的喷气速度，它在一个微小时间 dt 内向后喷出的气体质量为 dm。那么，由动量守恒定理就可以得知火箭增加的动量mdv=-udm（这里的“-”表示dv和u的方向相反），即dv/u=-dm/m。当然，这里还假设了喷气产生的动力通过了火箭的重心，火箭不发生偏转。

当u为常数时，将dv/u=-dm/m积分，就得到v/u=-lnm+C（C是积分常数）。

设火箭起飞时的全部质量为m_0 ，当v=0时，m=m_0 ，于是可求得C=lnm_0 。所以，v=u ln（m_0 /m），这就是前面提到的齐奥尔科夫斯基方程。为了纪念这一方程，尼加拉瓜在1971年5月15日发行了一枚邮票。

纪念齐奥尔科夫斯基方程的邮票（1971年尼加拉瓜发行的纪念邮票《改变世界面貌的10个数学公式》之十）和他在1903年所发表论文中的火箭飞行图

有时，为了研究方便，常将v=u ln（m_0 /m）写成m_0 / m=ev/u 。

在以上推导中忽略了外力对飞行的影响，如果要考虑重力对火箭飞行的影响，前面的mdv=-udm就要改写为mdv/dt=-udm/dt。由于加速度a=dv/dt，按牛顿第二定律，喷气产生的推力F=ma=mdv/dt=-udm/dt。又由于重力为mg（其中g是重力加速度），所以火箭垂直于地平面向上飞行的方程就是：

用a=dv/dt消去dt，就得到：

由于u为常数，所以积分后就得到：

当v=0时，m=m_0 ，所以C′=ln m_0 。于是，得到考虑重力、火箭垂直向上运动的方程：

从这个方程可以看出，加速度 a 越大，要求的质量比 就越小，当 a 很大的时候， 以忽略不计，相当于消除了重力的影响。此时 就变成了

“好风凭借力，送我上青云。”看来，这个“力”中也有e的一份。

当然，如果火箭的速度接近光速c（虽然目前实际上达不到），则有：

阿克莱

马赫

这个公式叫阿克莱公式，也叫广义齐奥尔科夫斯基公式，只有星际航行才用到它。在中国科学家钱学森的名著《星际航行概论》中就有专门的“阿克莱公式”一节。阿克莱是瑞士空气动力学家，20 世纪最重要的航空专家之一，也是享誉全球的德国-美国火箭专家布劳恩的老师。航空航天领域中著名的马赫数就是由阿克莱在1928年命名的。马赫是一位奥地利物理学家、哲学家，他在1885年的一篇论文中首先描述了马赫数——飞行体的飞行速度与当地大气中的音速之比。

4．匀速落地的降落伞——落体速度与e

我们知道，自由落体按瞬时速度v=gt（g是当地重力加速度，t是时间）的规律下落。那为什么降落伞会在后半程匀速（具体速度因降落伞种类不同而异，通常约为4米/秒）下落呢？

原来，降落伞会受到空气的阻力，此时就不再是自由落体，也就不能用 v=gt计算了。

那为什么受到空气阻力的降落伞就会匀速下落呢？

实验表明，通常在降落伞的速度小于几米/秒的时候，空气的阻力f不是很大，而且和速度v成正比，即f=kv（k是比例系数）。

根据牛顿第二定律，并设降落伞的质量为m，加速度为a，就得到mg-f=ma。由于f=kv，就得到mg-kv=ma，于是有：

由于 ，就得到以下微分方程：

解这个微分方程，有：

其中C是积分常数。再设t=t_0 时v=v_0 ，就得到：

所以

这就是空气中的落体在较低的速度下，速度随时间变化而改变的计算公式。你看，e出现在降落伞的运动公式之中了。

下面，我们用它来研究降落伞的运动。

在降落伞离开它的载体（例如飞机）下落的前半程，由于 ，所以 ，所以，加上 这一项是正值。因此，随着下落时间t的增加，降落伞的速度 显然会逐渐增大。

但是，由于 ，所以 会随着 t 的增加而递减。可见， t这一项是逐渐减小的，而 这一项是不变的，所以v不会无限增大。

下面，分两种具体情况讨论降落伞的整个运动过程。

① 当 时， ， ，但随t增加而导致的 t的减小，v会逐渐趋近于 ，最后做匀速运动。

② 当 时， ， ，但随 t 增加而导致的 t的增大，v 会逐渐趋近于 ，最后也做匀速运动。

在空气中，降落伞最终会做匀速运动

由此可见，不论哪种情况，降落伞最后都是做匀速运动。

值得注意的是，我们在上面的讨论中都假设k是常数，但实际上k并不是常数，它会随v的变化而变化。此外，f和v成正比的假设也是近似的，f会随v的变化和vn （n是一个随 v而变化的由实验测定的正数）成正比。由于这两个主要原因，以上讨论是近似的。但是，如果进一步计算，也可得到降落伞最后都是做匀速运动的结论。

事实上，我们还有更简单的方法来研究降落伞的运动。

用前面得到的mg-f=ma讨论以下两种情况。

① 当v较小的时候，f=kv也就较小⇒mg-f＞0⇒a＞0⇒降落伞速度v增加。

② 当v继续增加的时候，f也按f=kv的规律增大。当f增大到mg的时候，a=0。a=0就说明降落伞做匀速运动。

f是不可能大于mg的——谁看到过没有向上动力的降落伞往天上飞呢？

5．牛顿小试牛刀做“小菜”——冷却定律中的e

一杯热水一经倒出，它就开始冷却。最初冷却得很快，随后会变得平稳。经过一段较长时间后，水的温度最终会与环境温度保持一致。

牛顿研究了这类问题并得出结论：一个温度为 T 的较热物体的冷却速度（dT/dt）与该物体温度和周围环境温度C的差（T-C）成正比，即dT/dt=-k（T-C）。这里，k 是一个由物体和周围环境（例如空气）接触状况决定的、由实验测定的正“常量”，t是时间，它前面的负号表示高于环境温度的物体会冷却。

牛顿对dT/dt=-k（T-C）进行积分运算，得到：

ln（T-C）=-kt+B（B是积分常数）

也就是

T-C=e-kt+B

设t=0时物体的温度为T_0 ，则上式变为：

T_0 -C=eB

把

eB =T_0 -C

代入T-C=e-kt+B =e-kt eB 之中，就得到：

T-C=e-kt （T_0 -C）

这个式子就是：

T=C+（T_0 -C）e-k t

或

Tt =C+（T_0 -C）e-kt 。

这个公式叫（牛顿）冷却公式、冷却定律或冷却法则。在该公式中，Tt 或 T是物体经过时间t之后的温度。

对于获得各种巨大成就的牛顿来说，这个冷却定律当然只是他小试牛刀做成的“一碟小菜”。

冷却法则揭示了大自然的一个基本原理：热量只能自然地从高温物体传递到低温物体，而不是相反。这对我们来说是幸运的，假设不是这样，饭菜就烧不熟。

用冷却定律可以解释相同温度的热水在冬天比夏天冷得更快等现象。显然，冬夏不同的是环境温度C。

下面的具体实例可以说明如何用牛顿冷却定律分析有关问题。

假设有一个62摄氏度的物体，将其放在15摄氏度的空气中冷却，1分钟后，物体的温度下降为52摄氏度。此时，有52=15+（62-15）e-k 。由此式可求得k=0.239。那么，就可以根据Tt =15+47e-0.239 t 求得这个物体在任意时刻的温度Tt 了。

牛顿

牛顿冷却定律有广泛的用途。例如，人死亡以后温度调节功能随即消失，因此借助于由正常体温（约为37摄氏度）与环境温度的比较，利用这个定律，就可以判定死亡的时间。实际计算的例子如下。

某冬晨，警察局接到报案，在街头发现一具尸体。在6点30分的时候，测量其体温为18摄氏度，到 7点30分已下降到16摄氏度。假设室外气温维持在约10摄氏度不变，而且设人体正常体温是37摄氏度，问这个人是什么时候死的？

显然，有T7.5 =16=10+（18-10）e-k （ 7.5-6.5 ） 。这里的“7.5”和“6.5”分别指7点30分和 6点30分。由此，可求得k=-ln（0.75）≈0.287，此时牛顿冷却定律的具体形式是Tt =10+(18-10)e-0.287 t 。再由37=10+8e-0.287t 求得t≈-4.24，就知道人在约2小时16分（6.5-4.24=2.26小时）之前死亡。

又如，把冰箱中的食物拿出来解冻，也可以用这个定律来计算解冻的时间。这里有一道习题供你练习。把鱼从零下5摄氏度的冰箱中拿出来放在25摄氏度室温下解冻，1小时后，鱼的温度约为10摄氏度。现在问，如果希望在烹调时要求鱼的温度不低于15摄氏度，那么最少应该在烹调前几个小时拿出来解冻？答案是大约1.5小时。

牛顿冷却定律也适用于低温物体温度升高的计算。右图中就画出了一个高温物体冷却和一个低温物体温度升高的曲线。从这个图可以看出，从理论上讲，一个物体的温度如果和环境温度不一样，那么它的温度只能接近而不能达到环境温度，这与冷却公式的计算结果是一致的——因为（T_0 -C）e-kt 项只有当t→∞的时候才为0。但事实是，用不了多长时间，这个物体的温度就和环境温度一样了。

由冷却定律绘制的物体温度变化曲线

值得注意的是，牛顿冷却定律中的“常量”k实际上随时间有微小变化，不是一个真正的常量，所以牛顿冷却定律是一个近似的规律。

牛顿冷却定律只适用于强制对流条件。于是，这个定律就表述为：在强制对流条件下，物体放出热量的速度正比于它的温度与使它冷却的环境温度之差。

6．从麦克斯韦到玻耳兹曼——刻在墓碑上的e

奥地利首都维也纳中央公墓中矗立着一座墓碑，一座自杀者的墓碑。

墓碑上方端端正正地刻着一个公式“S=klog W”。

这是谁的墓碑？为什么要刻上一个公式？这个公式有什么用？他为什么要自杀？我们把日历翻回到1858年。这一年，德国物理学家克劳修斯发表了论文《气体分子的平均自由路程》。论文提出了气体分子在没有遇到其他分子作用球而自由通过厚度为x的空间的概率为W=e-αx ，式子中的α是与作用球面积有关的待定常数。这样，e就走进了统计物理学。

那么，克劳修斯为什么要写这篇论文呢？原来，他是为了回答荷兰物理学家布斯-巴罗特对分子运动论的责难。巴罗特发表在同年《物理年鉴》2月号上的论文的责难之一是：既然分子速度达到几百米/秒，那么为什么烟尘在室内不动的空气中会停留很久呢？

纪念麦克斯韦方程的邮票，1971年5月15日尼加拉瓜发行的10枚纪念邮票之六

大约一年以后的 1859年 4月，麦克斯韦偶然读到了《气体分子的平均自由路程》，很受鼓舞，重新点燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，决定用概率理论研究分子运动问题。

麦克斯韦的努力没有白费，在这一年，他就发现了在热平衡状态下的某种大数分子n的“麦克斯韦分子按速率分布定律”：式中Δn为相对速率介于u和u+Δu之间的分子数。

而分子的算术平均速率公式也被发现：式中 vB 是分子的最可几速率（《高等学校教学参考书·热学教程（修订本）》，顾建中编，人民教育出版社，1961年，第49页）。

此外，麦克斯韦还发现了“麦克斯韦分子按速度分布定律”：

式中Δnc 是速率为v的x，y，z分量分别介于vx +Δvx ，vy +Δvy ，vz +Δvz 之间的分子数，m是1个分子的质量，Ek 是分子的平动能，k=1.380 648 8（13）×10−23 焦/开（著名的玻耳兹曼常量，有时也写作kB ），T是热平衡时的热力学温度。

你看，上面的3个公式都离不开e。

研究统计物理学和热学的车轮继续前进。

1871年，奥地利物理学家、数学家玻耳兹曼连续发表了两篇论文《论多原子分子的热平衡》和《热平衡的某些理论》。在论文中，他研究了气体在重力场中的平衡分布，其中的分布函数是：

式中mgh（h是分子对于参考点的高度）为分子在位场中的位能，α和β为取决于温度的常数，v为分子的速率。

后来，玻耳兹曼又进一步把式（6.6）推广到任意位场之中，得到：

式子中的V（x，y，z）表示分子在位场中的位能。

式（6.6）和式（6.7）就是著名的玻耳兹曼分布。

再后来又把式（6.7）表示为：

式中的E是分子总能量。

式（6.8）是统计物理学的重要定律之一。

1877年，玻耳兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，在热力学第二定律和热力学概率 W（表示分子混乱程度的物理量）的关系中，证明了熵S与W的自然对数成正比。1906年，独享1918年诺贝尔物理学奖的德国物理学家普朗克把W改为Ω，于是前面提到的“S=klog W”就成了当今形式S=kln Ω。

纪念玻耳兹曼熵公式的邮票，1971年5月15日尼加拉瓜发行的10枚纪念邮票之九

玻耳兹曼熵公式（定理）S=kln Ω 首先把熵定义为热力学概率的对数，揭示了熵增加原理的微观实质。这是一个十分重要的公式，例如普朗克就曾用它推导出辐射量子定律。这个公式不但是热力学第二定律的统计解释的基础，而且是现代信息论的基础。同时，它也是一个十分简洁优美的公式。

此外，在热力学研究中，玻耳兹曼还发现了“玻耳兹曼分子按能量分布定律”：式中ΔnE 为速率在v和v+Δv（Δv为速率增量）之间的分子总数，n_00 为分子势能为0 处单位体积中的分子数，Δvx ，Δvy ，Δvz 分别为 Δv 在x，y，z 三个坐标方向上的分量，Δx，Δy，Δz分别为分子在x，y，z三个坐标方向上的增量，其余参数的含义在前面已经谈到。该定律及其常用形式玻耳兹曼分子按势能分布定律中也有e。等温气压公式也可以从这两个定律推导出来。

“众芳摇落独暄妍，占尽风情向小园。”玻耳兹曼的微观热力学研究成果本来应该引起人们的重视，但不幸的是，虽然当时人们对于宏观热力学理论有了比较深刻的认识，但描述微观热力学的统计理论还处于萌芽阶段，所以，人们不但没有认识到玻耳兹曼工作的重大意义，反而是“寒雪围剿冬梅”，他长期孤军奋战，终于悲观厌世，郁愤成疾。

1906年9月5日，形象孔武有力的“美髯公“玻耳兹曼在去意大利的旅行途中，突然在奥匈帝国蒂里雅斯特附近小镇杜伊诺（今属意大利）的一家旅店中上吊自杀身亡。

玻耳兹曼

一位研究自然科学的科学家因所持观点得不到人们的理解，反而被围攻，最终自杀身亡。这个悲剧使人想起了唐朝诗人白居易所写《竹枝》中的诗句：“唱到竹枝声咽处，寒猿暗鸟一时啼。”当然，我们更要把爱因斯坦的感叹告诉给那些在现实生活中和玻耳兹曼一样对人生持悲观态度的朋友：“人生就像骑单车，要想保持平衡就得往前走。”

后来，人们为了纪念这位统计物理学和物理动力学创始人（之一），就在欧洲最有名的维也纳中央公墓建立了刻有“S=klog W”的墓碑，表达对亡灵的一丝安慰。

玻耳兹曼墓碑的上部镌刻着著名的焓定理“S=klog W”

“大江流日夜，客心悲未央。”由杰出科学家玻耳兹曼的自杀事件联想到当今光怪陆离的自杀现象，我们不得不非常关注社会的理解和关爱以及个人的心理健康这两个重大课题。“不过，（有时）要打破人的偏见比崩解一个原子还难！”爱因斯坦曾这样感叹。而要有理解和关爱，就必须要有爱因斯坦对于提出科学新假说的正确态度：“如果一个想法在一开始不荒谬，那它就没有希望。”

“伤口是我们第一次认识生活的地方。伤痛给我们以智慧，比任何知识更能让我们懂得如何更好地生活；伤痛使我们看清自己，看清那真实却出乎意料的生活。”其实，玻耳兹曼不应该选择那么决绝的方式结束宝贵的生命，而应该如美国女肿瘤心理学医生、作家蕾曼在《伤痛与力量》一文中所说，“（人生的）哲理就在于，以最大的勇气去面对你所遭遇的命运，永不放手，直到从中找到那无所不在的、未知的力量。”而我们则要补充说，磨难让我们懂得珍惜，更要用激情来回馈！

7．煮不熟的米饭——气压随高度变化公式中的e

曾有一支登山队登上了海拔 4810 米的勃朗峰——欧洲阿尔卑斯山的最高峰，大家兴高采烈地庆祝成功登顶，尽情享受“伸手就能碰到天”的胜利与快乐。但是，大家的喜悦很快就烟消云散了，因为带来的食物煮不熟，疲惫不堪之下还得饿肚子。原来，这里的大气压只有424毫米汞柱（1毫米汞柱压强约合133.28帕），水在84.5摄氏度就沸腾了。食物在沸水里煮了很久还是生的。

勃朗峰终年积雪，当地雪线海拔约为2700米

科学家们研究发现，海拔（单位为米，本节下同）每升高1000米，水的沸点就要下降大约3摄氏度。因此，研究高海拔处的大气压与水的沸点之间的关系就非常重要。

假设在海拔较高（h值较大）处大气压是p（毫米汞柱），那么，海拔和大气压两者之间的函数关系是p=p_0 ekx 。这个公式叫等温气压公式。这里的“等温”是指（假设）h 处的气温和海拔为 0 处的温度一样。但是，由于这两个温度实际上不同，所以所得的结果是近似的。看，e在这里又出现了。

在p=p_0 ekx 中，p_0 和k都是常量。p_0 =760毫米汞柱，是海拔为0处的标准大气压。k=-μgh/RT，μ=2.9×10-2千克/摩尔，是空气的摩尔质量；g≈9.8米/二次方秒，是当地重力加速度的近似值；R=8.314 462 1（75）焦/（摩尔·开），常取8.314焦/（摩尔·开），是摩尔气体常量；T是h处空气的热力学温度，单位为开（尔文）。

根据不同海拔高度h得到大气压p的值，再根据p值和沸点的对应关系，就可编制出供登山、科考用的表格，以便相关人员参考。

大气压与沸点的对应关系

为了解决高海拔处食物煮不熟的问题，为蒸汽机的改进做出过重大贡献的法国物理学家帕潘在1679年发明了蒸汽蒸煮器（当时称为帕潘锅），也就是后来所说的家用高压锅。

高压锅的工作原理是，锅内密闭的空气被加热以后，压强增大，使锅内液体的沸点升高，让食物在更高的温度下被加热。这样的结果在今天有两个用途：在高海拔处能煮熟食物，在平地能更快地煮熟食物，并使食物的味道更加鲜美。

1680年12月8日，英国皇家学会举行委员会会议，决定出版帕潘的书《新的烹调器》。可是，帕潘在给英国皇家学会的献辞中却谦虚地说：“这本小册子中没有称得上远见卓识的东西，对这样的赞扬（我）受之有愧。”

有趣的是，帕潘就是到阿尔卑斯山“被旅游”之时，发现高山上的食物难以煮熟，从而到英国后做出这项发明的。

帕潘与他在1679年发明的蒸汽蒸煮器（压力锅原型）

气压公式是17世纪末以后许多科学家研究大气压强的经验所得。英国天文学家哈雷在分析了德国物理学家格里克和意大利物理学家托里拆利的实验之后，得到 h=Aln（B/C）的结果。这个式子中的 A，B，C 都是常量。哈雷、格里克和托里拆利都是广大中学生的“老朋友”，他们各自以预言哈雷彗星的回归、测定大气压的马德堡半球实验和托里拆利实验而闻名。

1823年，拉普拉斯第一次用密度的形式来表示气压公式：ρ=ρ_0 e-αh 。式子中的ρ和ρ_0 分别是研究点和海平面的空气密度（单位为千克/立方米，本节下同），α是常数。

在低于海平面处，也有计算空气压强的公式：P=P_0 1.001n 。这里的 P 和 P_0 分别类似于前面的 p 和 p_0 ；n是研究点的h值除以8所得商的绝对值。例如，在海平面以下32米处，n=︱-32÷8︱=4。如果低于海平面处的压强不太多，空气的密度也有形式相似的规律（马里奥特定律）：ρ=ρ_0 1.001n 。马里奥特是一位法国神父和物理学家，他还发明了一种被称为马里奥特容器的有趣装置，见左图。在这种容器中装上水后，从容器底部放水时，只要水没有放完，水流大小就不随水面下降而变化。

马里奥特容器：下部出水，上部进气，形成负压，使水流大小不变

8．植物学“联姻”物理学——布朗运动中的e

布朗

1827年6月的一天，英国植物学家罗伯特·布朗同往常一样，用显微镜观察克拉花的花粉标本。他偶然发现，悬浮在液面上的花粉微粒总是在一上一下不停地无规则运动。

是什么力使这些花粉不“安分守纪”呢，它的运动又有什么规律呢？

经过先后许多科学家的研究，涉及生物、化学、物理、数学等学科知识的布朗运动原来是花粉微粒与水分子碰撞的结果，从而结束了两千多年来原子是否存在的争论。而它的运动规律则最终被爱因斯坦、波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基以及法国物理学家朗之万和佩兰揭开。特别是在1908年，佩兰用基于光的散射（而不是反射）原理的超显微镜观察到上述物理学家的理论预测结果。利用比当时的普通光学显微镜分辨率高20倍的超显微镜，能观察到微小的胶体粒子的运动。这种仪器是由德国物理学家西登托普夫和奥地利（当时属于奥匈帝国）光学专家、化学家齐格蒙迪在1902年发明的。齐格蒙迪还因此以及对胶体化学的贡献而独享1925年的诺贝尔化学奖，月球上的一座火山口也以他的名字命名。

西登托普夫

齐格蒙迪

对于布朗运动这一典型随机过程的解释是：水中的微粒受到周围大量水分子的不平衡快速撞击（撞击次数大约为 10^19 次/秒），微粒运动方向每秒就发生可高达10^10 次的改变，于是形成不规则的运动。

水分子撞击微粒

微粒做无规则运动

然而，对于运动方向每秒改变可高达100亿次的无规则布朗运动，是无法确定它的实际运动状况的。这样，描述它的运动就成了当时物理学、化学界甚至数学界的一个重大难题。突破这个难题的是伟大的爱因斯坦。

《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》一角（左）以及1919年11月10日《纽约时报》的新闻《新观察证实了相对论》（右）

假设ρ=ρ（x，t）是一个布朗运动粒子在时间t和位置x时的概率密度。如果粒子在t=0时的位置是x=0，在某些概率假设下，爱因斯坦于1905年7月18日发表在德国《物理年鉴》（以下简称《年鉴》）月刊上的论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》导出了布朗运动的概率密度ρ（x，t）的公式：

式中扩散系数 （这个式子叫爱因斯坦关系，其中 k 是玻耳兹曼常量，T 是水的热力学温度，R 是微粒的半径，η是水的黏滞系数），表示一个正的常量。可以看到，e和π双双出现在这个被称为“布朗运动的爱因斯坦统计力学公式”的“植物学公式”之中。

《年鉴》也译作《物理杂志》或《物理学杂志》，前身是1790～1794年发行的《物理期刊》以及1795～1797年发行的《物理新期刊》。《年鉴》在历史上曾经用过许多不同的名称，例如《物理和物理化学年鉴》、《物理和化学年鉴》。

一个植物学家的偶然发现，引起了化学、物理及其分支统计力学、数学及其分支概率论等多学科的研究，并由此产生一系列重大成果，成为科学界常津津乐道的美谈趣事。

1923年，美国控制论专家、数学家维纳首先把布朗运动当作一种随机过程来研究。因此，布朗运动也叫维纳过程。

如今，布朗运动在理论和运用上已经与泊松过程构成了两种最基本的随机过程。

在“爱因斯坦奇迹年”即1905年，爱因斯坦总共写成了在 3个重要领域（涉及 4项历史性贡献）都有开创性成果的6篇论文。第一个领域是量子论，3月17日完成《关于光的产生和转化的一个启发性观点》。第二个领域是物质结构原子论，除了上述《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》以外，在4月30日写成《分子大小的新测定方法》，在 5月完成《布朗运动的一些检视》。第三个领域是相对论，5月11日完成《论动体的电动力学》，9月完成《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》。前者是狭义相对论，后者提出了质能方程 E=mc^2 （E 是能量，m 是物体的质量，c 是光速）。这6篇划时代的论文分别发表在1905年（4篇）及1906年（2篇）不同月份的《年鉴》上。此外，爱因斯坦还在1905年写了21篇书评，发表在当年德国的《物理年鉴增刊》上。

爱因斯坦

纪念质能方程E=mc^2 的邮票1971年5月15日尼加拉瓜发行的10枚纪念邮票之七

2004年6月10日，联合国大会通过决议，把2005年定为“国际物理年”，以纪念爱因斯坦为现代物理学奠定基础的开创性工作。而“爱因斯坦奇迹年”的说法，则由英国数学家、宇宙学家、科学史家惠特罗在他于1967年编的访谈录《爱因斯坦：其人及其贡献》（1986年出版）中首创。而“奇迹年”的拉丁名词原本是用来称呼牛顿的1666年的。

“你是电，你是光，你是唯一的神话，我只爱你，you are my super star（你是我的超级明星）”。现在，我们要把歌曲《Super star》中的这些歌词献给 26岁就创造“奇迹”的爱因斯坦——你是现代物理学空前绝后的唯一神话！

9．阿氏常数这样测——微粒公式借e建功

通过在1805年的实验，巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一的法国物理学家、化学家盖·吕萨克在1808年指出，同温、同压、同体积的不同种类的气体应含有相同数目的原子。但遗憾的是，他的这个假说遭到英国化学家、物理学家道尔顿等的强烈反对。

盖·吕萨克

康查罗尼

1811年，意大利化学家阿伏伽德罗发表了题为“原子相对质量的测定方法及原子进入化合物时数目比例的确定”的论文。论文以盖·吕萨克的实验为基础，引入“分子”（把盖·吕萨克说的“原子”改为“分子”）概念，并把分子与原子的概念区别和联系起来，提出了著名的阿伏伽德罗定律。这个定律和前面说到的盖·吕萨克的假说本质一样。当别人赞美阿伏伽德罗的创见时，他曾谦虚地说，他的理论不过是盖·吕萨克假说的发展。

同样遗憾的是，阿伏伽德罗定律当时也没有得到承认。直到半个世纪之后的1860年，由于另一位意大利化学家康查罗尼的力证，才得到科学界的公认。

纪念阿伏伽德罗逝世100周年邮票，1956年意大利发行

由阿伏伽德罗定律可知，每1摩尔的任何物质都含有相同的微粒数目，这个数目就是阿伏伽德罗常数 N。其实，这个“常数”是有单位（个/摩尔）的，不是一个纯粹的数字，因此更确切的名称应该叫阿伏伽德罗常量（以下简称阿常量）。

下面，我们来看测定N的一种方法。

设势能为0处的分子密度是n_00 ，势能为Ep 处的分子密度是n0r ，k是玻耳兹曼常量，T是热平衡的热力学温度，那么著名的玻耳兹曼分子按势能分布定律（以下简称玻耳兹曼定律）就是：

如右图所示，在重力场中取一处于热平衡和力学平衡状态的气柱，设h=0处单位体积的分子数（即分子密度）为n_00 ，根据玻耳兹曼定律，就得到高度为h处单位体积的分子数n0h ：这里的 mgh 就是在高度为 h 处分子的势能 Ep ，式（6.10）就是微粒按高度分布定律，即我们在标题中所说的“微粒公式”。这个定律也适用于液体。

微粒公式示意图

下面，我们用这两个定律结合布朗运动来测定N。

设一种液体的密度为σ，其中一个布朗微粒的质量为m，密度为ρ，则体积就是m/ρ，所受到的浮力为mσg/ρ。这样，这个布朗微粒的表观重量就是：

而这个布朗微粒在重力场中的势能就是：

用摩尔气体常量R=8.314焦/（摩尔·开），把式（6.11）代入式（6.9），并用k=R/N，就得到：

n0h =n_00 e−Nmgh(ρ−σ)/RTρ

这个式子就是：

从式（6.12）可以看出，只要测得难测的 n_00 /n0h 和 m，就可算得 N，因为其他的量要么已知，要么容易测定。

这个困难的任务由法国物理学家佩兰在1909年完成。他在研究藤黄微粒在水中的布朗运动时测得 n_00 /n0h ，并用斯托克斯公式测得m，进而由式（6.12）算得阿常量为7.2×10^23 个/摩尔。当然，现在用的更准确的值是6.022×10^23 个/摩尔。

斯托克斯是出生在爱尔兰的英国物理学家、数学家，他还发现了描述黏滞流体阻力的斯托克斯公式。

尽可能准确地测定N值，是物理学和化学的重要课题。为此，科学家们发明了诸如放射性法、油滴法、X光晶体密度法等多种方法，而且“热潮”持续到20世纪80年代。例如，在1983年，美国国家标准局（NIST）用X光-光学干涉仪，由一生致力于基本常数测量的美国物理学家德拉特斯等人测得阿常量为6.022 097 3（72）×10^23 个/摩尔，而同年联邦德国物理研究所贝克等人测得阿常量为6.022 129 7（72）× 10^23 个/摩尔。两个数值的差别被解释为系统误差而非样品不同引起。为了把阿常量的相对误差控制在 2×10-8 以下，各国气象局从 20 世纪 90年代初开始建立了国际阿伏伽德罗协作组织（IAC，又称阿伏伽德罗计划）。

斯托克斯

截至2014年年底，最新的阿常量有两种：（6.022 141 29±0.000 000 27）× 10^23 个/摩尔，由CODATA在2010年推荐；6.022 140 78（18）×10^23 个/摩尔，由IAC在2011年1月发布。

10．电光世界的宠儿——e和你时时相伴

电视机、收音机、录音机、数码照相机、DVD这些家用电器已经成为当今人们不可或缺之物。可是，你想到了吗？它们之中也有e。

右图是许多家用电器中常见的一个 RC 电路。其中ε是电源的电动势，K是单刀双掷开关，i是单位时间内流进电容左侧极板的电量，R 和 C（没有充电）分别是电阻和电容，uR 和uC 分别是电阻和电容两端的电压。

当双掷开关K和触点2接通的时候，电源向C充电。下面我们来研究uC 即uC （t）随时间t变化的规律。

RC电路

由电学原理可知，uR +uC =ε，而uR =iR，所以：

又由电学原理可得：

（式中q是电容左侧极板的电量，t是充电的时间）

和

把式（6.15）代入式（6.14）中，就得到：

再把式（6.16）代入式（6.13），就得到：式（6.17）就是uC （t）随t变化的微分方程。用分离变量法求得式（6.17）的通解是uC （t）=ε+A e-t/RC （式中A是常数）。将初始条件t=0时uC （0）=0代入式（6.17），可求得A=-ε，所以式（6.17）的特解是uC （t）=ε（1-e-t/RC ）。这个式子就是uC （t）随t变化的规律。你看，e在这里又和你相伴。

根据这个规律就可以绘制成右图所示的 RC 电路的电容充电曲线。

当电容电压充到ε之后，如果在RC电路中把K和触点 1 接通，电容就开始放电。这时也可以用类似的方法求得放电规律是uC （t）=εe-t/RC ，这个式子中也有e。根据它绘制的RC电路的电容放电曲线如下图所示。

RC电路的电容充电曲线

当然，电器中的电路远不止RC电路一种，例如还有RL电路（这里的L是电感）、CL电路、RCL电路等，它们的变化规律也各不相同。但是，只要涉及C和L，在描述它们变化规律的公式中就必定会出现e。

此外，在计算某些电子元件的参数时，也会涉及 e。例如，在计算热敏电阻在温度为 T（以热力学温度开为单位）时的零功率电阻值 RT 的经验公式中： 。这里的 RN 是该热敏电阻在额定温度 TN 时的电阻值，B 是它的材料常数，即热敏指数。

RC电路的电容放电曲线

不但如此，在光学中的许多变化规律也涉及 e。例如，光学中的兰伯特定律 中就有e。这里的I_0 是单束光或平行光的光强，I是I_0 经过厚度为l的均匀物质之后的光强，αa 是这种均匀物质的吸收系数（在一个大气压下空气的吸光系数αa ≈10-5 /厘米）。这个定律表明，光强在透明均匀介质（不限于空气）中随距离的增大呈指数衰减。这个定律也完全适用于声音在空气中传播的情形。我们曾经提到的瑞士-法国-德国数学家兰伯特也是一位有名的物理学家，他在1760年发现了这个定律。

如果是在透明溶液中，兰伯特定律可以改写为I=I_0 e−ACl 的形式。这里的 A是一个与溶液浓度无关的常量，C 是溶液的浓度。为什么可以这样改写呢？因为物理学和化学中的比尔定律说，αa 和C成正比。比尔是一位德国化学家、物理学家和数学家，他在1852年发现了比尔定律。

用上述光学中的这两个定律，可以解释光在物质中传播后会减弱以及在浓雾天、水下能见度会降低等现象。

当然，光学中涉及e的远不止上述定律，例如散射定律I=I_0 e−αl 就是其中的另一个。式子中的衰减系数α是吸收系数和散射系数的和。

11．不吃草的“马儿”——衰变时钟用e揭秘

一匹“马儿”跑呀跑，从宇宙大爆炸开始跑到今天。它不吃草不喝水，不歇不睡，还能长期准确计时，不受干扰。请你猜猜：这是一匹什么样的“马儿”？

这个谜语有点不好猜，那我们就暂时放一放，先讲第二次世界大战末期的一个故事。

（1）震惊艺术界的赝画案

1945年5月29日，荷兰首都阿姆斯特丹凯策斯格拉赫特街321号，两名警察奉命逮捕了本国画家米格伦。

原来，画家兼画商的米格伦曾在战争期间将荷兰著名画家弗美尔的油画《耶稣基督与奸妇》高价卖给德国空军部长、德意志第三帝国唯一的“帝国元帅”、战争恶魔戈林，有犯叛国罪之嫌。这里的“高价卖给”实际上是换回被纳粹分子在这期间里掠夺而去的200幅荷兰名画。

叛国罪之嫌让米格伦锒铛入狱，面临死刑或无期徒刑，他当然要为自己做无罪辩护。

可出人意料的是，米格伦虽然承认将这幅画卖给了戈林，但却不认为自己是在卖国，反而说自己是一位爱国者。他申辩的理由是，那幅画并不是弗美尔的原作，而是他临摹的赝品。把赝品卖给戈林，欺骗了敌人，当然不是叛国，而是爱国！他还于当年7月12日在狱中放话，这幅画和另外一幅非常美丽的《在埃马斯门徒中》以及另外几幅已被世人公认是弗美尔作品的真迹《在洗脚》《看乐谱的女人》《弹曼陀林的女人》等名画都是由他“克隆”的。

弗美尔

“完全不可能!”法官不屑一顾地摇头。想想也是，戈林是一位精明的名画（和其他文物）收藏家与疯狂的掠夺者，岂会被赝品忽悠？

“你们真的不相信？”一看法官摇头，米格伦说，“请把画笔、画架、面布和颜料拿进监狱，我可以当场画一幅弗美尔的画给你们看看!”

弗美尔的名画：《戴珍珠耳环的少女》

果真，米格伦画出了酷似弗美尔原作的油画!

法官不得不相信了，不再判米格伦叛国罪，仅以伪造名画罪于1947年10月12日判他一年徒刑。当然，支持这个罪名的还有由著名化学家、物理学家和艺术史家组成的国际鉴定小组。他们在鉴定米格伦出售的多幅画之后，提供了两个铁证：画中都发现了酚醛树料，这是一类以酚醛树脂为基本成分的塑料的统称，例如以木粉为填充材料的酚醛树脂俗称胶木或电木，由出生在比利时的美国化学家贝克兰于1907年在纽约发明，比弗美尔生活的年代晚了200多年；还在画中发现了一种在19 世纪欧洲才开始使用的无机合成颜料钴蓝。

原来，米格伦是一位毕业于海牙艺术学院的三流画家，他的作品不值钱，无人赏光。于是他“穷则思变”，通过伪造名画高价出售牟利。他总共伪造名画 14幅，卖掉了9幅，都没有露馅。这一回如果不是他为了表白自己是清白的爱国者而和盘托出底细，恐怕不会有人怀疑他那以假乱真的“名画”!

米格伦虽然被判刑了，但围绕现存弗美尔名画真伪的争议并没有随之烟消云散，反而越演越烈，并震惊欧洲。因为即使在专家们掌握了很多证据之后，仍有许多人不承认这些名画是米格伦的伪作，要求提供更多的科学证据。

为什么几幅假画就能“吹皱一池春水”，引来“白浪滔天”呢？原来，17 世纪的弗美尔是与荷兰著名画家伦勃朗齐名的一代大师，其传世之作仅有36件，所以他的真迹就成为文物市场上售价最高的作品之一。这样，出巨资购买弗美尔名画的收藏者心中没底，“从感情上”也难以接受。不过，这些“人间是非”对米格伦来说已经无所谓了。在被判刑两个多月之后的1947年12月30日，58岁的他就因为心脏病发作在监狱中死去。

然而，米格伦伪造名画案并没有随着他的“入土”而“为安”。于是，如何用更科学的手段鉴别弗美尔名画的真伪，就成了科学家们的一块心病。

治好这块心病的是卡纳吉-梅隆大学艺术家材料中心（位于匹兹堡）的美国化学家费雷尔与凯斯奇。米格伦“入土”之后20年的1967年，他们终于利用几种元素的放射性，鉴别出米格伦当年所卖的画中的材料是 20 世纪的，只有 30来年的时间，而不是260多年。所以，米格伦“克隆”的弗美尔的油画都是赝品。

法庭上的米格伦（前）

（2）不吃草的“马儿”大显神通

那么，科学家们怎样用元素的放射性炼成火眼金睛，去看穿名画的真伪呢？

谜底是衰变时钟（即考古时钟），我们所说的不吃草的“马儿”。这种时钟不需要另外供给能量，能永远准确地长期计时。

什么是考古时钟呢？

植物通过光合作用，把含有碳-14和碳-12（碳的同位素中的两种）的二氧化碳吸收入体内，动物吃了植物，也把这两种碳摄入体内。由于大气中的碳-14含量（碳-12和碳-14之比为1012∶1.2）始终不变，所以从古到今动植物体内的碳-14的含量都相同。但是，动植物死后就不可能再吸收大气中的碳-14了，而它们在生前摄入体内的碳-14 却会因衰变而日渐缓慢减少。这样就可以根据碳-14 的含量来测定这些“死者”生存的年代了。这就是考古时钟的工作原理，它并没有违反能量的转化和守恒原理，只不过是把原子能释放出来罢了。

考古时钟可以用来测定古代物品的年代。例如，在20世纪，埃及的考古学家曾在离尼罗河不远的山上发现了一座非常古老的谷仓。测定谷仓里小麦中碳-14衰变后的含量得知，这些小麦是六千多年前留下的。这里用的是碳-14这种能测量很长时间的考古时钟。

那么，用考古时钟又是怎么测定古代物品的年代呢？这得从一项荣获诺贝尔化学奖的成果谈起。

放射性物质（碳-14仅仅是其中的一种）因衰变而减少是一个普遍规律。前述凯斯奇就是通过测定油画颜料中钋-210 和镭-226 等的衰变率 λ，算出了油画中颜料的“年龄”来鉴别出米格伦的赝品的。

那什么是λ？又怎么具体计算呢？

λ 是描述放射性物质衰变快慢的物理量，又叫放射性衰变常数。放射性物质原子核的改变速度 显然与当时原子核的总数N和时间t成正比，即 。将这个式子积分，并设t=0时的N=N_0 ，就得到衰变公式：N=N_0 e−λt 或N（t）=N_0 e−λt 。衰变公式描述的就是著名的衰变定律。

在衰变公式中，我们看到e必然会成为“座上客”。

研究衰变问题，还有一个描述放射性物质衰变快慢的重要物理量，即半衰期T，它是指原子核的数目减少到原数目一半时所用的时间。由 可知， 。这个公式被称为半衰期公式。

几种放射性元素的半衰期 T 如右表所示。这里要特别说明，这些T值是指各元素衰减后分别变成另一种特定元素时的值，例如铀-238为45.6亿年，是指一半铀-238原子变成铅-205所需的时间。

碳-14 的半衰期约为 5600年，那么是谁用什么具体方法计算出来的呢？

几种放射性元素的半衰期

美国化学家利比从 1930年左右就开始了这方面的研究，终于在1947年获得对古化石年龄测定的技术。他经过10来年的精心测定，得到N（t）=N（10）的值（这里t的单位是年），进而求得 ，再由衰变公式得到 。这个式子两边取自然对数，就得到 。这 样 就 有 l （年）。因为这项成就，利比独享1960年诺贝尔化学奖。

利比

当然，由于测量的误差，其他科学家测定的碳-14 的半衰期就有 5730年等多种。

福岛第一核电站核事故现场

从衰变公式可以看出，核废料在丢弃多年之后仍有危险。所以，事故核电站[例如 1979年 3月28日美国三里岛、1986年4月26日苏联切尔诺贝利（在今乌克兰境内）、2011年 3月 11日日本福岛等地的核电站]放出的某些有害辐射会长期存在。这是因为它们的半衰期很长，所以能放出α、β和γ等有害射线的放射性物质衰减得很慢，而且永远不会消失。例如，其中所含的铀-238的半衰期就达到惊人的 45.6 亿年，而在福岛第一核电站附近曾检测出的锶-90的半衰期也长达29年。一个典型实例能说明这一点。从曼彻斯特大学心理学系的克拉克博士因患大脑肿瘤在1992年辞世起，到2009年3月初，有6名学者因各种癌症死亡。而他们都先后在英国著名物理学家卢瑟福待过的大楼内工作过。1909～1917年，卢瑟福在这座大楼内做过氡、钋等的放射性试验，1972年这座楼改为心理学系教学楼。另一个例子是，居里夫人年仅67岁就因白血病辞世，而病因就是放射线的伤害。在她辞世后50多年后，仍能检测到放射线从她留下的实验册、书籍和菜谱等物品中逸出。

“混沌初开，乾坤始奠。”那么，混沌在何时初开，乾坤在何时始奠呢？这就是地球年龄的问题。科学家借助多种放射性元素，用上述方法测得地球上最古老的岩石年龄约为 30 亿年。经过必要的修正和测算后得知，地壳的年龄大约是 46亿年。

对于那些不含碳的古物，当然不能借助于碳的同位素，但可以用相同的原理测定。例如，古代海洋的温度就是利用氧的同位素氧-16和氧-18的变化测定的。具体方法如下。

贝壳的主要成分是碳酸钙（CaCO_3 ），其中的氧主要由氧-16和氧-18组成，而且两者有基本上固定的比例500∶1。但是，当海水温度变化1摄氏度时，贝壳成分 CaCO_3 里两者的比例就会发生显著变化。海水温度升高时氧-16 的比例增大，海水温度降低时氧-16 的比例减小。这样，事先通过实验，测定在各种海水温度下贝壳成分CaCO_3 里的氧-16和氧-18的比例，再对考古发掘出的贝壳进行同位素测定，就能断定古代贝类生活的年代和当时海水的温度了。

当然，e在物理学中的应用远不止上述“大力士”与“衰变时钟”。例如，辐射能量维恩分布定律u=bλ-5 e-a/λT ，普朗克辐射定律u=aλ-5 /（eb/λT -1）[或u=hc^2 λ-5 /（ehc/kλT -1）]，瑞利-金斯定律 ，以及理想气体的熵函数公式S=νCv ln（T/T_0 ）+νRln（V/V_0 ）+S_0 （用T，V作为参量时）和S=νCv ln（T/T_0 ）-νRln （p/p_0 ）+S_0 （用T，p作为参量时）等都要用到e。

6.2 走进化学世界——反应速度和焓变

1．反应速度这样定——阿仑尼乌斯公式中的e

化学反应速度是科学家们关心的重要问题。虽然许多科学家进行过不懈研究，但对于这个复杂的问题，至今没有得到圆满而简洁的“万能公式”。

1850年，德国化学家、物理学家威廉米首先对化学反应速度进行定量研究，得出了化学反应过程的第一个数学表达式。1884年，首届诺贝尔奖（1901年颁发）化学奖的唯一得主、荷兰化学家范特霍夫提出了范特霍夫规则：温度每升高10开，一般反应的速率增加 2～4 倍。1889年，瑞典化学家阿仑尼乌斯得到了反应速度的常数 k、频率因子（也称指前因子或指数前因子）Z、活化能ε与反应温度T（热力学温度）的关系式——阿仑尼乌斯公式。他也因此独膺1903年的诺贝尔化学奖。

阿仑尼乌斯

设 R 是摩尔气体常量，阿仑尼乌斯根据经验得到的阿仑尼乌斯公式是k=Zeε/RT 。

从这个公式可以看出，e 也现身其中。还可以看出，标志反应速度的 k 随 T的增大而急剧增大，这可以解释我们在做化学实验时为什么经常要通过加热来加快反应速度。氢气和氧气在室温下作用极慢，几乎可以忽略不计，但如果温度升高到873开，将立即发生剧烈反应，甚至爆炸。

又被称为μ法则的阿仑尼乌斯公式有广泛的用途。例如，测量某个化学反应的k、Z和ε等，以实现对化学反应的监测。当然，它仅仅是一个在某些条件下近似适用的经验公式，科学家们在这方面还在不断进行后续研究。例如，亨利·艾林（1901—1981）在20世纪30年代创立了反应速率理论。他的这项研究获得过1966年美国国家科学奖以及其他许多著名大奖（包括另外的研究得奖）。然而，这位曾任1963年度美国化学会主席以及1965年度美国科学促进会主席的墨西哥裔美国理论化学家，却“错失”诺贝尔化学奖。美国神学家、哲学家麦克姆林相信他的落选是由于他的宗教信仰。

2．“伤寒病”这样治疗——焓变公式中的e

化学中有e的公式不止一个。

某些大学生在结识熵、焓这些难以读懂的“新朋友”感到很头疼时，就说得了“伤寒病”。其实，和其他任何事物一样，弄懂了就不难。

我们用G表示自由焓，ΔG表示自由焓变化，ΔG°表示标准状态下自由焓变化，那么，对于化学反应aA+bB=cC+dD（a，b，c，d是系数），在等温等压条件下就有以下公式：

其中的 ， ， ， 分别表示物质A、B、C、D处于任意状态（通常指非平衡状态）时的分压（例如反应起始时的分压）；T 是空气的热力学温度，R是摩尔气体常量。

用这个公式就可大体判断某个一般的化学反应在等温等压条件下能否进行：ΔG°＜0时进行反应的可能性大，ΔG°＞0时进行反应的可能性小。当然，准确判断还要看熵变△S的大小。

你看，e又出现在化学反应的公式中了。

6.3 生物学和医学——增殖中的e奥秘

1．生存竞争中的e

在一个海岛上，生活着狐狸和野兔。狐狸吃野兔，野兔吃翘摇草。当翘摇草生长旺盛的时候，野兔就多，狐狸也容易得到美餐，总数也就多了起来。但是，当狐狸数量多到没有足够的野兔充饥的时候，狐狸的总数量就会因饿死和相互间的残杀而减少。狐狸数量一减少，野兔相对就安全一些，总数又会增多，这又会引起狐狸总数新一轮的增加……

这就是生物之间弱肉强食的斗争和依存关系——食物链。

说起食物链，还有一段有趣的故事呢！在对大约 50万平方米的达尔沼泽湖生态系统的营养结构进行了3年研究之后，从美国耶鲁大学毕业的26岁青年学者雷蒙德·劳雷尔·林德曼终于在 1941年发表了研究报告《一个老年湖泊内的食物链动态》。报告指出，生物量从绿色植物向食草动物、食肉动物等按食物链的顺序在不同营养级上转移时，有稳定的数量级比例关系，通常后一级生物量只等于或者小于前一级生物量的1/10。他把生态系统中的这种必然的定量关系叫作十分之一定律。如果把这种关系表现在图上，用横坐标表示生物量，在纵坐标上把食物链中各级消费者的数量依次逐级标出，那么，整个图形就像一个金字塔，在生态学中叫群落中的数量金字塔。

雷蒙德·劳雷尔·林德曼

第二年，林德曼又发表文章，说明生态系统中能量与物质的流动在不同的营养级之间存在定量关系，这是维持所有生态系统稳定的重要因素。

那么，前面所说的狐狸和野兔之间的数量关系究竟是怎样的呢？

把数学方法用在生物学研究中，开始于20世纪初。最早把统计学用在遗传学和进化论研究中的是英国数学家、生物统计学的奠基人皮尔森。而最早用定量公式描述它们之间的数量关系的是意大利数学家沃尔泰拉。他用数学方法对生存竞争、弱肉强食现象进行研究之后，得到了定量的沃尔泰拉弱肉强食方程组，我们称之为生物方程。

在这个方程组中，x和y分别代表野兔和狐狸在t时刻的数量， 和 分别是野兔和狐狸的繁殖速度，m，n，p，q分别是正常数。mx表示野兔因草丰而增加的数量，-py 表示狐狸因种群扩大造成饥荒而减少的数量。xy 代表两者相遇的机会，所以-nxy和qxy分别代表野兔和狐狸因相遇而减少和增加的数量。

求解这个微分方程，就可以得到ym e-ny =kx-p eqx （式中k是正常数），这就是野兔和狐狸的弱肉强食关系。看，e又出现在弱肉强食的生物链中了！

用ym e-ny =kx-p eqx ，可以绘制出野兔和狐狸数量关系的曲线——一条封闭曲线。这就表明，两者的数量会周期性增减，始终呈波动性的生态平衡，而这正是我们所希望看到的。

其实，生物学、生态学都和数学密切相关。当代加拿大生物学家皮娄甚至认为：“生态学本质上是一门数学。”

说到生物链，我们要多说几句。

为了保护美国北亚利桑纳州凯巴伯森林中的4000多头鹿，西奥多·罗斯福总统（1901—1909年在任）在1906年宣布凯巴伯森林为全国狩猎保护区。到了1942年，鹿倒是增加到了10万头，但它们却遭到巨大的灾难，森林中所有植物的叶子在它们的饕餮大餐之后荡然无存，最后鹿也只剩下8000头。

这种破坏生态平衡的例子不胜枚举。人们为了得到更多的鱼而捕杀以鱼为食的水獭，但发现水獭被斩尽杀绝之后鱼也消失了。后来人们才知道，原来水獭吃的鱼中的大部分是游得慢的病鱼，水獭及时吃掉它们之后才防止了鱼瘟的蔓延。

用数学方法研究生物学的学科叫生物数学，属于应用数学的一个分支。生物数学是在1901年创立的，其标志是英国数学家、生物统计学的奠基人皮尔森和他的老师、英国差异心理学之父高尔顿以及英国生物统计学家韦尔顿在这一年共同创办的《生物统计学》杂志的问世。高尔顿是英国著名生物学家达尔文的姑表弟，“生物统计学”一词就是由他最早明确提出来的。出生在今乌克兰的美国理论生物学家、数学家拉舍夫斯基在1939年创办了《数学生物物理学通报》杂志，把数学和物理学的方法引进生物学的研究之中，使生物学得到进一步的发展。

1952年，两位英国生理学家、生物物理学家霍奇金与安德鲁·菲尔丁·赫胥黎建立了一组描述神经脉冲的兴奋与传导的霍奇金-赫胥黎方程，这是生物数学的重要进展。他俩因此分享了 1963年诺贝尔医学或生理学奖。近年，中国科学家也取得了许多新成果。

霍奇金

安德鲁·菲尔丁·赫胥黎

2．细菌增殖中的e

理想化的细菌增殖模型可由下面的推导得到。

设开始时刻培养皿内的细菌总数是 n_0 ，每个时间段的增殖率是 k。现在以 1小时为时间段，那么1小时末细菌的总数就是：

n_0 +kn_0 =n_0 （1+k）

2小时末细菌的总数就是：显然，t小时末细菌的总数就是n_0 （1+k）t 。

n_0 （1+k）+n_0 k（1+k）=n_0 （1+k）2

…

当然，细菌并不是等到某一小时末才开始增殖，而是在一个更短的时刻（我们设为1/m小时）结束时就开始增殖。这样，根据同样的方法，就可以得到t小时末的细菌总数：

nmt =n_0 （1+k/m）mt

当m→∞时的极限就是：

设k/m=1/p，则m=pk；当m→∞时，p→∞，所以，有：

n（t）=n_0 ekt 就是计算细菌增殖的公式。

下面，我们用这个公式计算由1个细菌开始（n_0 =1），经过24小时繁殖之后有多少个细菌。

由于细菌每小时是成倍增长的，所以k=2，这样n（24）=1×e^2 ×24 =e^48 ≈7× 10^20 ——一个有21位整数的天文数字。

当然，由于细菌也会死亡以及m并非趋于无穷大等原因，所以实际数字要比这小。但是，生物学家的研究表明，以分裂方式繁殖的细菌一昼夜可达72代，能增殖到百亿亿倍。这无疑能解释夏天有营养的食物会很快变质的原因。

3．《永生的海拉》传奇

1972年，尼克松再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克癌症。建议立即被采纳。美苏双方各赠对方供研究的致癌病毒或癌细胞标本23种和6种。次年 1月，美国国家癌症研究所将苏联赠送的癌细胞标本分送给几位科学家研究，其中的一份到了加州细胞培养实验所所长尼尔森·芮斯博士手上。

经过几番周折，尼尔森·芮斯终于弄清，苏方赠送的6个标本全是20多年前死去的非洲裔美国贫穷黑人妇女亨丽塔·拉克丝宫颈癌的癌细胞。

海拉细胞分裂电镜照片

拉克丝在1951年10月4日死于一种罕见的宫颈癌，年仅31岁。这种特殊的癌细胞海拉（Hela，北欧神话中死亡之国的女王）具有极强的繁殖力和生命力。从发现第一个病灶（约为1951年2月中旬）到拉克丝死亡，整个过程不足8 个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞的个数 n 竟以n=n_0 ×2x （n_0 是初期癌细胞的个数，x是癌细胞以天为单位增长一次所需的时间）的指数规律疯狂增长！1991年，海拉被命名为Helacyton gartleri——有人认为是一个新物种。

不难算出，如果海拉不死亡，而且x=1 天，那么 1 个月之后将会增加到 10亿倍以上。当然，海拉也会死亡，但1个月之后绝不会少于1000万倍！事实上，海拉比这还要凶猛。实验结果是，一般约两天就可达到3500万至4000万倍！这是因为它的x远少于1天。

基于海拉这么强大的繁殖力，尼尔森·芮斯撰文向全世界发出警告：“如果听任海拉舒舒服服、毫无抑制地生长，那么到现在为止，它们很可能已经占领整个世界！”他绝不是危言耸听，只须简单计算后就会知道，365天（设x=1天）后它会增加大约7.5×10^109 倍。

于是，年轻的“好事者”——美国女教师、记者、科普作家斯克鲁特用了10年时间来挖掘这段精彩的历史。2009年，她把拉克丝的这个传奇故事编撰成了一本书《永生的海拉》（The Immortal Life of Henrietta Lacks）。书名中的Henrietta Lacks被译为海拉，是因为科学家们把亨丽塔·拉克丝称为（永生不死的）海拉。2010年出版的《永生的海拉》，关注如何对付像海拉这样生命力强大的细胞，揭开人体实验的黑暗过去，探讨医学伦理以及身体组织所有权的法律问题等，也对“埋在鲜为人知的、没有标志的坟墓”中的拉克丝给予了充满人性光辉的同情。《永生的海拉》曾超过32周傲居《纽约时报》畅销书排行榜，当年11月10日荣获美国维康信托基金会的健康与医疗类图书奖。

斯克鲁特和《永生的海拉》

6.4 何时牵手“另一半”——相亲中的e

“老师，怎样才能找到理想的‘另一半’？”3个弟子前来求教老师——古希腊思想家、哲学家苏格拉底。

“你们一个一个沿着麦田埂走，只许前进，不许后退，而且只给一次机会——选摘一个最大的麦穗。”苏格拉底没有直接回答，而是把他们带到一片麦田之后才这样说。

第一个弟子走了几步就看见一个又大又漂亮的麦穗，高兴地摘了。但是，当他继续前进的时候，却发现有许多更大更漂亮的。他只得遗憾地走完了全程。

第二个弟子吸取了教训，每当他要摘时，总是提醒自己后面还有更好的。然而，当他快到终点的时候才发现，大而漂亮的麦穗没有了踪影——机会全错过了。

第三个弟子吸取了前两位的教训。当他走到 1/3 的时候，就把所看见的麦穗分成大、中、小三类，再走 1/3 验证是否正确，等到最后 1/3 路程时，果断选择了属于大类中的一个大而美丽的麦穗。虽说这不一定是最大最美的那一个，但他满意地走完了全程。

那么，第三个弟子的“1/3 法”是不是“最优的”呢？甭说，还真的接近最优。为什么呢？

这得从当今中国某电视台的相亲节目（每一期24个女生对五六个男生进行选择）谈起。问题是：如果某一个女生要在20期的约100个男生中选到“最佳麦穗”，那么她“该出手”的时机在哪里？

经过研究，哈佛大学教授吉尔伯特和莫斯特勒发现了“最优相亲理论”（以上述一个女生选大约 100个男生为例）：对前 100/e个（约 37个）男生竭尽挑剔而不忙“出手”，但要认定其中的“最佳麦穗”；在接下来的63个男生中，遇到条件超过“最佳麦穗”的第一个男生时，就立即把他定为未来的“另一半”，果断“出手”。

你看，37/100还真接近1/3呢！

好，再回到“苏格拉底的麦穗”上来。

苏格拉底问3个弟子：“你们该知道怎么才能找到理想的‘另一半’了吧？”

3个弟子都点了点头。

其实，最理想的“另一半”是不可能找到的，就像苏格拉底的 3个弟子那样。但是，相对理想的“另一半”却是可能找到的，就像苏格拉底的第三个弟子那样。

苏格拉底用他的睿智生动直观地诠释了这两个观点。

“最优相亲理论”在很多方面都适用。例如，在购房时只要假定好自己看房次数的“容忍度”，比如类似上述女生对100个男生的20次选择，那么在看完第20/e套（约为第7套）房屋之后，只要有比这7套房屋更好的，就应该出手。求职面试时对招聘、应聘双方也是一样。

第7章 掀起你的盖头来——e的质和量

黑夜给了我黑色的眼睛，我要用它来寻找光明。

——中国诗人顾城

7.1 e的性质——从无理数到超越数

1．e是无理数

e是π的“近亲”，它们都是无理数，也都是超越数。

但是，要证明e是无理数却比证明π是无理数容易得多。1744年，欧拉首先给出了证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成3种无限连分数，即：e=[2；1，2，1，1，4，1，1，6，1，1，8，1，1，10，1，1，12，1，1，14，…]= ，

并初步证明了e和e^2 也是无理数。

中国数学工作者夏道行、宁挺和张景中分别在 1964年的《π和e》、1985年的《说e》与2004年的《从 谈起》这3本书中，用本质相同、形式不同的方法证明了e是无理数。

2．e不是二次代数数

在代数中，除了把实数分为有理数和无理数这两大类之外，还可以把实数分为代数数和超越数这两大类。

设u是实数，如果存在整数a_0 ，a_1 ，a_2 ，…，an （an ≠0，n＞0）使得u适合方程a_0 +a_1 u+a_2 u^2 +…+an -1 un -1 +an un =0，那么u就是代数数。

u 能适合的整数系数代数方程可以不止一个，它们中次数最低的那个 n 就称为u的次数。

不是代数数的实数就叫超越数。

当然，对于复数，也可以完全类似地定义代数数和超越数的概念。

由于有理数u=p/q（p和q是整数，p≠0）适合方程px-q=0（1是代数方程的最低次数），所以有理数都是一次代数数。反过来，一次代数数也是有理数。

在无理数中，也有许多满足二次、三次……整数系数方程的数，例如 满足x^2 -2=0，黄金分割数 满足x^2 -x-1=0，所以它们都是二次代数数。

那么，e是不是二次代数数呢？

把 和 代入a_0 e^2 +a_1 e+a_2 =0（即a_0 e+a_2 e-1 +a_1 =0）之中，就得到：

用Sn 和Rn 分别表示上式左边的前n项及余项，并分别乘以（n-1）！，就得到：

（n-1）！Sn +（n-1）！Rn =0

而

（n-1）！Sn =（n-1）！（a_0 +a_1 +a_2 ）+（n-1）！（a_0 - a_2 ）+（n-1）（n-2）…×3（a_0 +a_2 ）+（n-1）（n-2）…×4（a_0 -a_2 ）+…+［a_0 +(−)1n−1 a_2 ］

因为 a_0 ，a_1 ，a_2 和 n 都是整数，所以上式的右边是整数，因而上式左边的（n-1）！Sn 也应当是整数。但是，因为

（这里用到绝对值不等式的性质 ），

所以由

就得到：

因为n＞0，所以

所以

取 ，就有 。

因为绝对值小于1 的整数只能是 0，所以有 ，由此得到(n−1)!Rn =0。

再根据(n−1)!≠0和前述

可得

用n！乘以这个式子并移项，就得到：将上式取绝对值并根据前述绝对值不等式的性质，可以得到以下不等式：

由于取 ，而且n的取值满足a_0 和（-1）n a^2 同号，即当a_0 a^2 ＞0时，取n为偶数；当a_0 a^2 ＜0时，取n为奇数。此时就有：

所以

此式可变为：

这样就得到 。

但是，n+1最小是2，所以 。由此可知 不可能成立。

那么，这个荒谬的结果是怎么得来的呢？是由前面说整数a_0 ，a_1 ，a_2 （an ≠0）存在，使得a_0 e^2 +a_1 e+a_2 =0成立得来的。这种矛盾说明e不是二次代数数。

既然e不是二次代数数，那么e是不是二次以上的代数数呢？

因为不是代数数就是超越数，如果 e 不是代数数，那就应该是超越数。那 e到底是不是超越数呢？

3．e是超越数

1844年，法国的刘维尔就猜测e是超越数，但没有给出严格证明。而在此之前的1667年，苏格兰的格雷戈里就试图证明e是超越数。

1873年，因为从小右腿跛瘸，一生总是拄着拐杖的法国数学家埃尔米特发表了一篇30多页的论文，用高超的技巧初步证明了e是超越数。这里的“初步”是指证明了系数和指数都是有理数的特殊情形。他给出了两种证明方法，其中第二种更为缜密。这样，e就成了人类证明的第一个“自然”超越数。这里的“自然”是指“非故意构造的”，而刘维尔数是“故意构造的”。

埃尔米特主要依据的是埃尔米特-林德曼（超越数）定理，即整数系数的代数数表达式 不可能等于0（其中An ≠0，αn 是互不相等的代数数表达式）；埃尔米特还用到了著名的欧拉公式eiπ +1=0。

埃尔米特-林德曼定理的最终证明是由冯·林德曼于1882年发表在德国杂志《柏林论文集》中的一篇论文完成的。但是，他用了大量的高等数学方法，所以证明非常繁难。3年以后的1885年，证明过程被魏尔斯特拉斯发表在同一杂志上的论文加以简化，但依然繁难，一般数学爱好者难以接受。这一定理被证明是研究超越数的大事。1999年7月，两位美国数学家阿巴德与阿巴奇把它列在“历史上最伟大的100个数学定理”中的第56位。

1893年，德国数学家果尔丹在德国《数学年鉴》第 43 卷第 222～224 页上发表论文《超越数与e……》，终于把证明再次简化到“一般人”可以接受的程度。接着，德国数学家霍尔维茨给出了一个初等证明。而德国数学家海因里希·马丁·韦伯在 1895年出版的《代数教科书》中给出了再次简化的“初等证明”。这个“初等证明”可以在德国数学史家德里撰写的《100个著名初等数学问题——历史和解》（上海科学技术出版社于1982年出版的中译本第150～158页）等书中找到。1955年，美国数学家、数学史家莫里斯·克莱因给出了更简单的描述。

《100个著名初等数学问题——历史和解》德文版和中文译本

4．证明e和π是超越数的轶事

除了中国教育家、数学工作者梅向明在中国《数学通报》杂志1980年第1期发表了e是超越数的一种证明之外，由商务印书馆在1930年出版的《数论、尺规作图及周率》第120～129页载有另一种证明。此外，在《数学通报》1963年第8期上的《代数数和超越数》（作者署名“召公”）中，还可看到另一种不同的证明。

虽然埃尔米特证明了e是超越数，但他也有一个遗憾——没能证明π是超越数。

不过，证明e是超越数却给了数学家们极大的鼓舞。1882年，在德国《数学年鉴》上，冯·林德曼在连续函数的意义下，借助于9年前埃尔米特的方法，终于严格地证明了e，π，π^2 是超越数。林德曼证明π超越性的论文有《关于鲁道夫数》和《关于数 π》两篇。埃尔米特知道以后非常高兴。鲁道夫是倾其一生算出圆周率35位小数的荷兰-德国数学家。

证明e是超越数，是数学领域的大事。1999年7月，美国数学家阿巴德与阿巴奇就把“e是超越数”列在“历史上最伟大的100个数学定理”中的第67位。

由此可见，e（和π）这类超越数是代数中“很无理”的数——与其他一般无理数相比，在性质上有更大的差异。后来，这方面的研究发展成为数论中的一个分支——超越数论。

7.2 e的定义和符号——是“贵人”也是“打工仔”

1．e的定义

（1）从数轴上定义e

在5.1节中，我们已得到形式像F（t）=（1+1/ t）t+1 和f（t）=（1+1/ t）t 的函数分别是递减和递增函数的结果。

还容易看出：F（t）=（1+1/ t）t （1+1/ t）≥（1+1/ t）t =f（t）（当t→∞时，“≥”取“=”）。

如右图所示，假设在时刻t，数轴上的动点p点和P与0点的距离分别为 f（t）=（1+1/ t）t 和F（t）=（1+1/ t）t+1 。在t=1时，两点以某一个瞬时速度开始同时移动，其中点p由f（1）=2开始向右连续移动，点P由F（1）=4开始向左连续移动。

图示

我们来看它们如上图所示的移动情况。

当t=2时，f（2）=9/4，p点到达A；F（2）=27/8，P点到达A′。

当t=3时，f（3）=64/27，p点到达B；F（3）=256/81，P点到达B′。

……

可以看出，p点和P点在逐渐接近。

然而，在有限的时间内，由于F（t）＞f（t），即P点总是在p点的右侧移动，所以在有限的时间内，两个点不会相遇，但是两者之间的距离缩短了。

d=F（t）- f（t）=f（t）/t

由于f（t）＜4，d＜4/ t就是一个随t的增大而无限变小的数，所以两个动点间的最终距离将是无穷小。当然，这个结论也可以从前面当t→∞时（1+1/ t）t （1+1/ t）=（1+1/ t）t 看出来。

要表达这种情况，只有假定数轴上2和4之间存在着一个定点，动点p和P分别从左右两侧逼近，但在有限的时间内达不到这个定点。那么，这个定点到 0点的距离就是e，即当t→∞时（1+1/ t）t+1 和（1+1/ t）t 共同的极限。

（2）由收敛级数之和定义e

如果级数1+1/1！+1/2！+1/3！+…+1/（n-1）！+…是收敛的，那么，有：

下面，我们来证明式（7.1）是收敛的。

显然，式（7.1）的前n项和Sn =1+1/1！+1/2！+1/3！+…+1/（n-1）！。容易看出：

而且有：

（中间一项的分母中有n-2个2相乘）

所以有：

Sn ＜1+1+1/2+1/2^2 +1/2^3 +…+1/2n -2

用等比数列的求和公式，就得到Sn ＜3。再结合式（7.2）就能看出，数列S_1 ，S_2 ，…，Sn ，…虽然逐渐增大，但始终小于3，所以式（7.1）是收敛的，而且 ，就是e＜3。

由于Sn 是e的“展开”，｛xn ｝递增且有上界，所以由收敛级数之和定义了e。

（3）用其他方法定义e

定义e的其他方法很多，包括极限法、几何法、微积分法等。限于篇幅，这里不再赘述这些等价的方法。

2．e的符号

（1）历史上e的5种符号b、c、e、訥和戊

为什么用e来专门表示自然对数的底2.718…呢？至今原因不明。有人猜测，可能是因为 e 是“指数”（exponential）的第一个字母。另一种猜测是，a、b、c和d经常有其他任务，接下来的“老五”e就成了首选。

已知第一次用字母符号来表示自然对数的底的是莱布尼茨在 1690年和 1691年给惠更斯的通信，但他用的字母符号是b。

1727年或 1728年，欧拉在手稿遗作《关于最近加农炮射击实验的思考》中第一次用e来作为自然对数的底。这份当时未发表的手稿在1862年才付印。在欧拉1731年的一封信中，字母e再次出现——表示某个微分方程之间的关系，他把它定义为“对数值为1的数”。正因为如此，后人为了纪念他，才用欧拉英文姓氏的第一个字母E的小写e来作为自然对数的底。至于欧拉用的e正好和他姓氏的第一个字母一样是有意为之还是巧合，已不得而知。也正因为如此，e 也叫欧拉数（Euler's number e）。不过，欧拉为人谦虚，总是恰当地肯定他人的工作，不大会借此“自我炒作”。

在公开出版物中，第一次用e来表示自然对数的底的是欧拉于1736年出版的《力学》一书的第1卷。在1747～1751年的文章中，欧拉都用e来表示自然对数的底。

后来，有研究者用字母c表示自然对数的底，但e更为常用，于是最终成为“标准符号”。接着，以下几位数学家也用e来表示自然对数的底：瑞士丹尼尔·伯努利在1760年，兰伯特在1764年，法国孔多塞在1771年，法国贝祖在1779年，法国克拉姆在1808年。

对数在17世纪传入中国以后，又有了几种专门表示e的符号。

例如，李善兰在1859年翻译的《代数学》卷首就有：“又訥（今简化为讷，下同——引者）字代二、七一八二八一八，为讷白尔（即纳皮尔——引者）的对数率。”由此可见，他用“讷”代表自然对数的底，但却误以为纳皮尔对数的底是2.718 281 8。

又如，在1873年，中国清代数学家华蘅芳与来华的英国-美国翻译家傅兰雅合译的英国数学家沃利斯所著的《代数术》卷十八中就有：“则得其常数为二·七一八二八一八四五九○四五不尽，此数以戊代之……可见戊即为讷对之底。”可以看出，他用“戊”代替讷来表示自然对数的底。显然，这与当时把 ABCDE 翻译成甲乙丙丁戊有关，e被译成了戊。

后来，中国的数学书改用横排和西文方式，就采用了e。

对此，德国数学家朗道在他于1934年出版的著作《微积分》中颇有感慨：“数字 e恐怕不会再用于表示除了这一正的通用常数（方程 lnx=1的解）之外的任何一个数了。”

（2）e的“第二职业”

虽然朗道说e是自然对数的底的专用符号，但是“贵人”e也会放下身段“下海”搞第二职业。

首先只用一个字母来表示圆周率的是德国巴伐利亚的奥尔多夫大学数学教授约翰·克里斯托夫·斯图姆，他在1689年用e来表示圆周率。

圆锥曲线中的椭圆、抛物线和双曲线等的离心率也用 e 表示，代表“eccentricity”（离心率）的第一个字母。

在物理学中，电子的符号也用e表示。

当然，这些e都与自然对数的底毫无关系。

此外，e的近似值也有“第二职业”。

美国谷歌（Google）公司在2004年首次公开募股，集资额不是通常的整数，而是2 718 281 828美元。当然，钟情数学常数的谷歌也不是仅此一举，它在2005年的一次公开募股中，集资额是14 159 265美元，这是圆周率π小数点之后的前8位数。

美国著名计算机科学家高德纳的软件METAFONT的版本号也特别青睐 e的近似值，分别是 2，2.7，2.71，2.718等，表示要无限趋近于e。高德纳被誉为现代计算机科学的鼻祖。

e还在章节的序号中从事“第二职业”。在美国科普作家霍夫曼所著的《数字情种——埃尔德什传》中，在第2章与第3章之间，从第81页开始，就有“第e章山姆和乔的故事”。山姆和乔（或称雅诺什）分别指美国（美国的一个绰号是“山姆大叔”）与1956年以后的匈牙利。厄尔多斯所讲的“山姆和乔的故事”梗概是：由于匈牙利与美国“重归于好”，所以厄尔多斯得到匈牙利专门为他颁发的特别护照，他可以自由进出匈牙利。这样，他不但可以随时见到母亲，而且还可以与匈牙利的同事继续合作研究数学。

7.3 计算e值——从欧拉到亚历山大·伊

1．如何快速计算e值

要计算精确度高的e值可不是一件太容易的事。

欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，给出了著名的表达式 。设其中的x=1，就得到 。

此时可能有人会说，要近似计算e值，把 中的n取得足够大就行了呗！美国著名科普、科幻作家阿西莫夫就曾在 1977年出版的《数的趣谈》中把计算n=1，2，3，…得到的级数自称为阿西莫夫级数。

好，我们就照这样试试看，计算阿西莫夫级数的一部分，结果如下表所示（从n=3开始，四舍五入到4位小数）。

从该表可以看出，算到n=100，1000，10 000时，才分别有1位、2位和4位准确小数的结果（不考虑四舍五入）。而要准确到5位小数，必须算到n=1 000 000。

那么，要计算n=100，1000，10 000时的值，这个工作量怎样呢？

对于现代人来说，这不过分别是几秒、几十秒或几分钟的问题，因为我们有电子计算器或电子计算机。但对古人来说就没有这些东西，必须花费几天、几个月甚至几年时间，做成百上千甚至几万次的计算，才能把e值算到相应的位数，更不用说算到n=1 000 000了！

于是，人们必须另辟蹊径，重开天地。

阿西莫夫级数（部分）

2．蹊径源于牛顿

1665年，牛顿写成了包含指数级数（幂级数）、对数级数、二项级数、正弦级数、余弦级数、反正弦级数展开式方面的、不太严谨且过于复杂的论文。牛顿给出的幂级数展开式是：

当然，这个式子也可以用泰勒展开式得到。

设这个式子中的x等于1，就得到我们熟悉的形式 。

e值的计算结果

现在，我们用它来计算 e 值，结果如右表所示。特别注意，单凭这些近似值是无法确定能准确到e的多少位小数值的。但是，如果把该表和上表进行对比，而且和e的准确值2.718 281…比较，就可以看出用这种方法计算比用 直接计算，能更快地得到准确的e值。

下面，我们来看当n=7的时候，如何确定能准确到e的多少位小数值。

对 而言，取它的n+1项的部分之和作为近似值，

那么引起的误差为：

而

所以

现在，取n+1=8，就有：

这时，计算n=7时各项的和：

就可以得到：

因此，从式（7.4）与e＞S_8 就得到：

又从e=S_8 +R_8 与式（7.3）、式（7.4）得到：

于是，从式（7.5）、式（7.6）就得到e≈2.7182。

当然，类似上面的计算也可简单叙述如下。

取 中等号右侧前n项之和作为e的近似值，则误差为：

它的来源是：

取n=8，则 。于是 （精确到小数点后第4位）。

这就是说，在前述表中n=7时，就能得到5位e值（末位误差不超过1个单位）。显然，这比前面用 并把其中的n取1 000 000才得到5位e值容易得多。

如果取 的前 11 项，即 来计算，就可以得到2.718 281 801 2。此时的误差为：

由此可以看出

此时已经算得准确到7位小数的e值2.718 281 8了。

进一步，如果取更大的n值，就可以得到更准确的e值了。

计算机的使用以及计算方法的改进，让快速计算e值的数学家们如虎添翼。

下表是计算e值的年表。

计算e值的年表

续表

第8章 妙趣横生的e——数学界的快乐天使

美的至高无上的部分，无法以彩笔描绘出来。

——英国哲学家弗朗西斯·培根

8.1 数学家的魔术——e的8类表达式

有限连分式（数）通常有11种表示方法。（例如）书写时为了节约篇幅，可以把样子像

或

的连分式，简写成ⓒ 。如果 b_0 为整数，而且其余所有的bm 为自然数，以及c_1 =c_2 =…=cm =1，那么这样的连分式称为简单连分式或正则连分式，可进一步简写为更节约篇幅的ⓔ［b_0 ；b_1 ，b_2 ，b_3 ，…，bm -1 ，bm ］，或ⓕb_0 +1/（b_1 +1/（b_2 +1/（b_3 +…+1/（bm -1 +1/（bm ））））），或ⓖ〈b_0 ；b_1 ，b_2 ，b_3 ，…，bm -1，bm 〉，或ⓗ m ，或ⓘ， 或ⓙ，或ⓚ 。

上述ⓑ、ⓗ与ⓘ这3种写法，分别是由3位德国数学家莱布尼茨、高斯和普林西姆发明的。ⓔ这种写法则出自意大利数学家邦贝利之手，他还在1572年所著的《代数学》一书中，首次用连分数表示一个数的平方根近似值，例如 。最先使用连分数这一名称的是英国数学家沃利斯，他在1655年（或1656年）出版的《无穷算术》一书（另一种说法是在他于1695年出版的《数学著作集Ⅰ》一书）中使用了这一符号。

对于无限简单连分式，也有类似于有限简单连分式的11种表示方法，例如类似于ⓓ的 ，类似于ⓔ的［b_0 ；b_1 ，b_2 ，b_3 ，…］，类似于ⓗ的 。

在数学家们的笔下，有关e的式子就像魔术师手中的魔术一样，有多类表达式。

第一类是e的连分数表达式。

我们在7.1节提到了e的3种连分数，其中的第一种e=[2；1，2，1，1，4，1，1，6，1，1，8，1，1，10，1，1，12，1，1，14，…] 可以表示成“脸蛋”更“靓”的下式：

它的渐近分数是：5/2，8/3，11/4，19/7，87/32，106/39，193/71，1264/465，1457/536，…。

而e的倒数的连分数是：1/e=[0；2，1，2，1，1，4，1，1，6，1，1，8，1，1，10，1，1，12，…]。它的渐近分数是：1/2，1/3，3/8，4/11，7/19，32/87，39/106，71/193，465/1264，536/1457，…。

第二类是我们知道的e的极限表达式 ，它与 等效。

第三类是我们知道的e的两种阶乘形式的级数表达式：

（正项级数）

n−1 （交错级数）

第四类是无穷乘积式。1976年，美国普林斯顿大学计算机专家皮彭格尔在一份用拉丁语写成的简短研究报告《一个具有一致比例的双曲对数新公式的确立》中给出了一个和谐优美的表达式，1980年该表达式被正式称为皮彭格尔积，即：

这类美得令人难以置信的式子还有：

和

皮彭格尔

西班牙数学家戈亚内斯和美国数学家桑道在 2008年合写的一篇论文或各自在21世纪初独写的论文中都记载了上述两个式子，以及下面的一个二次式和几个分数次式。

无穷乘积式中的二次式（e的指数是2）：

无穷乘积式中的“分数次式”（e的指数是分数）：

第五类是欧拉求得的两个我们所说的间接连分数式：

第六类是近似表达式，有趣的几个如下（括号内的数字是精确到小数点后的位数）：

第七类是连括号表达式：

最后，本书给出第八类简单分数表达式：

这里所说的简单分数是指分子为1、分母是自然数的只有一条分数线的分数。

那么，它是如何得来的呢？先看下面的式子：

首先，用 2.71…÷1 得到 2.71…，并取和 2.71…最接近的整数 3（右栏第一行所示）。显然，3 比 2.71…多出了 0.28…（中栏第一、二、三行所示），所以应该减去0.28…（即1÷3.54…），再取和3.54…最接近的整数4（右栏第二行所示）。接下来的过程类似。

当然，我们也可以从整数2开始计算，即从e=2+…开始。但此时会发现，将得到e=2+1+…，接下来会重复上面的过程而得到相同的结果。

8.2 乘积最大和开方最大——这里e也显神通

1．何时乘积最大

一个有趣的问题是：把一个正数a分成若干份，问怎么分才能使这些等份的乘积最大？

首先，我们知道，只有把a等分才能使这些部分的乘积最大。这个结论由下面的柯西不等式就可以得出来。

当且仅当ai =aj （1≤i＜j≤n）时，式子中的等号才成立。

这样，剩下的问题就是如何把a等分？

把a分成x等份，只要求得 （x是正实数，不一定是自然数）的极大值就行了，而这显然就是要求得函数 极大值点。为此，我们采用求导数找驻点求极值的方法。

把 的两边取自然对数，就得到 ，求导数后得到：

也就得到 。

因为x＞0 时， ，所以要使得 y′=0，就需要 。解这个方程，就得到 。再由 时，则 得知，当，得到y′＞0；而当 时，则 ，得到y′＜0。

这样就知道在区间（0， ]中， 是增函数，而在区间[ ，∞）中， 是减函数。这样，由于 唯一的驻点，所以当 ， 有唯一的极大值。也就是说，把a分成 等份，这些等份的乘积最大。

但应该注意到，由于不能肯定 个整数，而“分成分数等份”在日常生活中一般是讲不通的，所以应取与 最接近的整数。这一点也可以由函数的单调性证明。

我们在这里把分成两份作为例证。等分时，每一份是 ，乘积是 。不把a等分时，假设两份分别 和 （这里m是一个正数），它们的乘积就是 。由此可见， 。

前面得到的结论表明，例如要把10分成乘积最大的若干等份，就应该用 来求得这“若干”。不难算得 ="3.678 。

但是，把10分成“3.678…等份”，从“分成整数等份”的角度说，只能取与3.678…最接近的整数4。这样就得到把10分成4等份，每等份为 的结果。这样就得到2.5^4 =39.0625。

作为比较，如果分成 3 等份或 5 等份，就分别得到 和 的结果。可以看出，37.03…和32都小于39.0625。

用这种方法，读者不难得到20、50和100的分法。答案是：分别分成7等份、18等份和37等份。

当然，我们也可以不一定遵守“分成整数等份”的游戏规则。那么，上述例子就有近似结果2.7183.679 ≈39.6。这个39.6＞39.062 5，显然也是合理的。

附带的一个结果是：把一个自然数n分拆成若干个（不一定相等）自然数，怎么分才能使它们的乘积N最大？由于任何n都可以写成n=3a+b的形式（a和b都是非负整数，b≤2），所以答案是：N=3a （当b=0时），N=4×3a -1 （当b=1时），N=2×3a （当b=2时）。对应的例子是：9分为3、3和3（乘积为27），10分为4、3和3（乘积为36），11分为2、3、3及3（乘积为54）。

2．何时开方最大

另外一个有趣的问题是：如果x是正的变数，那么取什么值的时候根式 的值最大？这个问题是由生于瑞士伯尔尼的乌岑斯多夫、在德国柏林辞世的数学家斯泰纳在德国著名的《克列尔杂志》第40卷上最先提出来的，在他的一本数学著作的第2卷第423 页上也有记载。又名《纯粹和应用数学杂志》的《克列尔杂志》由德国铁路工程师、业余数学家克列尔在1826年创办，是至今仍在发行的最古老的数学期刊。

斯泰纳

提起创立射影几何基本定理的斯泰纳，我们必须多说几句。他虽然没有像“四大数学家”阿基米德、牛顿、高斯、欧拉那样划时代的伟大数学贡献，但他提出和解决的许多数学问题流传至今，让我们津津乐道。

斯泰纳用5种纯几何方法解决极大、极小问题，得出等周问题的解：在所有等周的平面图形中，圆的面积最大；它的逆定理也成立。要知道，用纯几何方法解决这个问题并非易事。

斯泰纳给出了新的、优美的庞斯列-斯泰纳定理的证明。这个定理说，所有用尺规作图法能作出的图都可以用直尺和已知固定的圆作出来。这个问题也被称为斯泰纳直尺问题，各国数学家对它的关注持续至今。庞斯列是一位在射影几何等领域有重大贡献的法国数学家，巴黎埃菲尔铁塔所刻“七十二贤”之一。

至今已有100多种证明方法的斯泰纳-莱姆斯问题（内角平分线相等的三角形是等腰三角形）160 多年来始终吸引着不少数学家和数学爱好者，直到21世纪还有不少相关论文发表，例如2007年11月芭芭拉在英国《数学公报》第91卷第528～529页上的《斯坦纳-莱姆斯定理的重新审视》，中国某数学杂志在2011年 8月发表的《对称地处理对称性问题——斯坦纳-雷米欧斯定理的最佳证法》（斯坦纳和雷米欧斯分别是斯泰纳和莱姆斯的另一种译名）。这个问题也曾被中国数学家吴文俊在研究几何定理的机器证明中引用。它是由柏林的数学教授（一说德国数学爱好者）丹尼尔·克里斯蒂安·鲁道夫·莱姆斯（1780—1863年）在 1840年写给他在巴黎综合理工学院当教授的朋友——瑞士-法国数学家雅克·查尔斯·弗朗索瓦·斯图姆的一封信中提出的，请求给他一个纯几何学的证明。但是，这位斯图姆不擅长几何，束手无策，向周围老师求解也没有结果。于是，莱姆斯写信给当时已经成名的斯泰纳。斯泰纳首先正确回答了这个问题，莱姆斯自己也在1850年想出了一个不同的证明。后来，这个问题就以“斯泰纳-莱姆斯定理”之名彰显于世。如果你有兴趣，不妨对这个看似简单但并非唾手可得的证明问题一试身手。这可是出生在英国但大部分时间居住在加拿大的数学家，也是20世纪最伟大的几何学家之一的考克斯特在谈到使他颇为赞叹的几何小品时所举的著名例子啊！

请证明：内角平分线相等的三角形是等腰三角形

斯泰纳脾气暴躁，举止粗鲁，言谈生硬，难以和人沟通，加之其他不利因素，以致终生未婚。他辞世后留下约9万法郎（当时约合2.4万美元）的遗产，其中1/3捐给了柏林学会，用来建立以他的名字命名的基金；750法郎给了他出生地的母校，以奖励擅长心算的学生；其余的给了他的亲友。

现在还是回到x取什么值才能使 最大的问题——斯泰纳问题上。

根据指数函数不等式 （当且仅当x=e 时取等号），可以得到 x，也就是 。

把 两边都开x次方，就得到 。这个式子用数学语言叙述就是：e是x为正的变数时，使 产生最大可能值的数。也就是说，在这种形式的数中， 即e1/e 最大。

容易算出，e1/e =1.444 667 861…≈1.445。作为比较，31/3 ≈1.442，21/2 ≈1.414，都小于e1/e 。

前面提到的 的证明如下。

设任意正数 ，则 变为 ，就得到 eX 。显然，。将两边同时乘方X次，就有1+X＜ （当x=e时取等号）中的 就相当于这个式子中的X，所以原式被证明（当且仅当x=e时取等号）。

下面的事实更有趣。当x=1时， ；当x→∞时， ，或者说 ——用微积分方法可以证明。这个事实说明，当x取1～∞时， 呈山峰形，其中 是“峰顶”，而 和 是“山谷”。当然，对整个 来说，1只能算是“山坡”，最低的“山谷”是0。我们不由得感叹，神秘的大自然把数学安排得如此美丽动人！

y= 随x而变，在x=e时峰值约为1.445

下面，我们把难度降低一些。设x是自然数，问x取什么值的时候 最大？

显然，由前面的 最大可知，一定是x最接近 e时 最大，所以x=3。事实上， 。

为什么在这两个问题中都是e而不是别的什么数“当大哥”呢？这是一个似乎暗藏玄机的结果，也是一个美妙的谜团。

关于 即e1/e ，欧拉证明了一个有趣的结果：如果0.065 988 035…=e-e ≤a≤e1/e =1.444 667 861…，那么当 （注意：这种“超乘方”按从上到下的顺序运算）的指数项的个数趋于无穷大时， 趋向于一个极限值（a不同，极限值不同）。马奥尔在《e 的故事：一个常数的传奇》中说，这个结果在美国数学家戴维·威尔斯在1986年出版的《有趣的数字词典》（简译名）中有记载。更有趣和不凡的是，如果设a=e1/e ，则 =e=2.718"，这里不但用到无穷多个a，而且用到与e有关的e1/e 的“超乘方”。

8.3 神秘的∞——争论、思考和余味

1．约翰·伯努利和莱布尼茨的争论

在18世纪，有3位著名的数学家和“ln（-1）=？”结下了不解之缘。

约翰·伯努利认为，ln（-1）=0，是实数。他的理由是：从 出发，可以得到lnx=ln（-1）。此时，设x=1，就得到ln（1）=ln（-1）=0。

可是，莱布尼茨却不同意这种说法。他说ln（-1）是虚数，也有如下理由。

因为 ，所以设其中x=-2时，就得到：

显然，这个数列是发散的。按照当时对虚数的理解，所以ln（-1）是虚数。

那么，约翰·伯努利和莱布尼茨中究竟谁对呢？

“ln（-1）=？”的激烈争论还发生在达朗贝尔等人和欧拉之间。

达朗贝尔说，ln（-x）=lnx，所以 ln（-1）=ln1=0。这是因为（-x）（-x）=x^2 ，“一视同仁”也应该有 ln［（-x）（-x）］=lnx^2 。根据对数的运算法则，这个式子左边等于2ln（-x），而右边也等于2lnx，所以在等式两边消去2之后就得到ln（-x）=lnx。

当然，达朗贝尔的“证明”是错误的，因为常规代数（即实数域的代数）的法则不一定能用于复数范围。常见的一个典型例子是“i^2 =1而不是i^2 =-1”的伪证。

邹腾

这个错误的证明发生在 这一步变化之中，事实上 。这是因为 ，只能在a和b中至少有一个是非负数时才成立。不过，不但达朗贝尔犯过这种忽略公式适用条件的错误，许多名家也犯过这种错误。例如，欧拉就得到过 。再如，丹麦数学家、数学史家邹腾在读中学时的一次期末考试中，当a和b是正数时，得出

公式的适用条件是我们在学习时要特别注意的。例如，对欧拉凸多面体公式——“V（顶点数）+F（面数）−E（棱数）=2”——也是这样。在一个正方体的6个面挖去6个“斗”之后，就成了右图那样的“六斗体”。1812年，瑞士数学家鲁伊利尔发现，对于“六斗体”，V+F−E=0≠2。这说明欧拉凸多面体公式并不适用于非凸多面体。欧拉当年没有完全注意到这个问题。这里的一段有趣史实是这样的。欧拉于1750年在写给哥德巴赫的信中明确提到了符合后来所称的欧拉凸多面体公式的事实：V+F−E=2。不过，在约1635年，法国数学家笛卡儿就早于欧拉发现了这类事实，只是他的有关手稿一度佚失。直到德国数学家莱布尼茨去世后，他所留下的一份笛卡儿手稿的副本在1860年被发现时，人们才知道笛卡儿的这一发现。1794年，法国数学家勒让德首先发现欧拉忽视了有凹洞的“凸几何体”——它们并不遵守欧拉凸多面体公式。到了1893年前后，法国物数学家庞加莱才给出了完善的欧拉凸多面体公式，并推广为欧拉-庞加莱公式。

“六斗体”

最后，欧拉解决了他和达朗贝尔等人的这个争论。1747年，他写信给达朗贝尔说，负数的对数一定是复数，而且它对应着无穷多个不相同的值。具体地说，对于eix =cosx+isinx，设x=π+2nπ，就得到ln（-1）=i（π+2nπ），n=0，±1，±2，…。由此可见，正确的答案是：ln（-1）是多值的。

高斯也在“纠缠不清的虚数”面前“吃过亏”。

“迄今这个引起许多纠缠不清的问题的主题（虚数），在很大程度上可以认为是不恰当的记法系统导致的。”高斯说，“比如，假设把+1、-1和 −1称为正、逆和侧的单位，而不是正、负及虚（甚至不可能）的单位，就不会有这样的麻烦了。”由此可见，在当时搅得数学家们头昏脑胀的虚数问题面前，年轻高斯的头脑也“纠缠不清”。当然，这个问题困扰了人类近两千年，直到18世纪末到19世纪初，数学家们才坦然接受虚数是“真实的数”。在打通“数学心结”之后的1799年，22岁的高斯在哥廷根大学的一篇论文中首先严格证明了代数基本定理——复系数的一元n次方程有n个根（包括复数根）。他也因此获得博士学位。

在回味18世纪这些著名数学家犯错而让后人获得真知时，我们想起了瑞士神经病学家、分析心理学的创始人荣格的精辟见解：“知识不仅仅依赖真理，也依赖错误。”

2．神秘莫测的无穷

这里说的无穷是指无穷大（量）（-∞、+∞或∞——可正可负）或无穷小（量） （极限为0的变量）。符号“∞”来自拉丁文“infinitas”，意思是“没有边界”，由英国数学家沃利斯在1655年（或1656年）出版的《无穷算术》中最早使用。在公元前1200～前900年写成的古印度手稿《夜柔吠陀》中，有关于无穷大的最早记载：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

“数学是无穷的科学。”德国数学家、理论物理学家外尔的这一说法指出了无穷在数学中的重要地位，虽然他所说的无穷具有多重含义。

无穷不仅是重要的，还是神秘莫测的。举例来说，包含全体偶数的全体整数竟然和全体偶数一样多：

著名科学家伽利略在这神秘莫测的无穷面前也曾困惑不解，这被称为“伽利略困惑”。现有自然数序列S_1 =｛1，2，3，…｝和自然数的平方序列S_2 =｛1^2 ，2^2 ，3^2 ，…｝，要回答的问题是：S_1 和 S_2 相比，哪一个的元素多？如果从一一对应的角度说，S_1 和S_2 的元素一样多，因为对于S_1 的每一个元素，S_2 都有唯一的元素和它对应（即 1^2 ，2^2 ，3^2 ，…分别对应于1，2，3，…）；如果从 S_2 是 S_1 的真子集的角度说，S_1 的元素多。那么，究竟哪个答案对呢？此时，不但横绝一世的科学天才伽利略也“傻了眼”，而且与他同时代的任何天才也“搞不懂”。

盖莫夫及1998年版《从一到无穷大》原著和中文译本

其实，“搞不懂”的人在伽利略之后的19世纪还有不少，高斯就是其中之一。“我反对把无穷量作为现实的实体来使用，在数学中这是永远不允许的。”1831年7月12日，高斯在写给施马赫尔的一封著名信件中说，“无限只不过是一种说话方式，我们说极限指的是某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无界地增加。”柯西与其他许多人也拒绝承认无限集合的存在，他们的依据就是存在着“伽利略困惑”。其实，即使后来德国数学家康托尔在 19 世纪 70 至 90年代创立了系统的无穷集合度量理论，以及后来出现了更加完善的现行集合论，“伽利略困惑”至今依然存在。由于涉及的问题很多，本书不赘述。

不过，对于伽利略这类似非而是的结果，出生在俄国敖德萨（今属乌克兰）的美国著名物理学家、天文学家、科普作家盖莫夫在1947年首次出版的《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》一书中，引用了德国数学家希尔伯特的下述著名解释。有无穷多个房间的旅店都已住满，这时来了一个新客人要住宿。“不成问题！”旅店服务员说，“让每个房间的旅客都依次搬到比原先房号大一号的房间里去就行了。”这样，第一号房被腾了出来，新客人被安排在一号房里。依此办法，第二个、第三个……第无穷多个新客人也住了进去。

金星凌日

3．壮观炫目的无穷

无穷不仅神秘莫测，还壮观炫目。有多么炫目壮观呢？

“我曾看到一个数在变得无穷大之后从正变到负，如金星凌日那般……我随它远去了。”英国首相丘吉尔在 1930年出版的《我的早年生活》一书中说出了这种炫目。而英国诗人、政论家弥尔顿则认为：“无穷大是一个黑暗的、无限的海洋，它没有边际。”哲学家、思想家、罗马帝国“五贤帝”之一的马库斯·奥勒利乌斯·安东尼努斯·奥古斯都的说法更为“恐怖”：“无穷大是一个深不可测的海湾，所有的东西都会在其中消失。”

加州半月湾的南瓜有“无穷多个”

镜子一面套一面直到无限远

镜中人像每次都矮一半

的确，无穷大是一个像金星凌日般炫目或像深海那样恐怖的数，我们一不小心就要被它“炫”或“淹”得头晕眼花。如果我们看了加州半月湾的“无穷多个”南瓜后还没有体会到无穷大的话，那就通过“镜中缘”来体验无穷的味道。好吧，不出房间就可以：取一面镜子放在另一个大镜子前，镜面对镜面。会发生什么事呢？你会看到一面镜子里有一面镜子，里面又有一面镜子……永无终结，深邃无限（见右图）。镜子中的“你”每次都矮一半。这时，可不要感到无穷的恐怖哟！

4．小心无穷深渊

无穷是一个深渊，即使是像莱布尼茨那样的大数学家也会在把 ln（-1）展开成“无穷”时掉进这个“深渊”。

所以，我们对待这个“躺着”的“8”时要百倍警惕，切莫把对“有限”适用的规律随便用到“无穷”中去。例如，面对0/0，∞/∞，∞-∞，0×∞，∞0 ，0^0 ，1∞ 这类不定式的时候，千万不能凭想当然作答！为什么会“不定”呢？例如，关于0/0之所以“不定”，就可以做出如下两种解释。

第一种是几何解释。在右图中，A和B在圆周上，D在半径OB上，C在半径OA上，AB∥CD。当B无限靠近A时，AB和CD的长度都趋于0，AB∥CD=0/0，而AB/CD的值却随着C的位置改变而改变。比如C在AO的中点时，AB/CD=2；而C在AO靠近O的那个三等分点时，AB/CD=3；如果 C 与 O 重合，AB/CD=∞。由此可见，0/0是不定式。

0/0不定式的几何解释

第二种是代数解释。例如，对于分式0x/x，x/x，2x/x，8x/x，x^2 /x，…，当其中的x趋于零时，就是0/0的情形。显然，此时这些分式的极限值分别为0，1，2，8，x，…，∞。由此可见，0/0是不定式。

又如，关于∞-∞，0×∞之所以“不定”，美国密西西比大学数学家特鲁克斯在1980年《数学教师》杂志5月号第359～360页上就分别有如下解释。

∞-∞不定式图示

在左图中，随着点P的无限右移，线段AP，GP，AE，CE，CP，PE 都将无限变长。因此，AP-GP，AE-CE，CE-CP都属于∞-∞型。那为什么是不定式呢？原来，(AP)2 −(GP)2 =(AG)2 ，也就是(AP−GP)(AP+GP)=(AG)2 ，于是 2 。随着点P的无限右移，AP+GP是无限长，AP-GP的极限是0；相反，随着点P的无限右移，AE-CE=AC 的极限是 2r，而 CE-CP=PE 是无限长。这样就看到了∞-∞型的3种情况：极限是0，极限是正数2r，极限不存在。于是，可以判定∞-∞型是不定式。

在右图中，随着点 F的无限右移，CB→0，EF→∞，CB ×EF属于0×∞型。在两个相似（直角）三角形ACB和FEA中，有 ，即CB×EF=EA×AC。从该图可以看出，EA×AC的极限是r×2r=2r^2 ，由于r可以是大于0的任何实数，所以0×∞型是不定式。

0×∞不定式图示

∞/∞也有“奇妙”的答案。把占全体自然数（无穷多个）一半的奇数删掉，就剩下全体偶数（也是无穷多个），于是∞/2=∞；类似，把全体自然数中不能被4整除的自然数删掉，也剩下∞个数，于是∞/4=∞；如此继续，还可得到∞/8=∞，∞/16=∞，…，直到∞/∞=∞。如果某个由自然数构成的无穷数列能被 2 无限整除，而且整除后得到的数列中依然有∞个数的话，那么，在这种条件下，∞/∞=∞。

∞/∞和0/0是现代分析学教科书里的“上宾”——最基本、最重要的不定式，它们各自有专门的符号 与 ，分别表示“无穷大分之无穷大型不定式”与“零分之零型不定式”。这两种形式的极限，由法国数学家罗必塔在1696年出版的《阐明曲线的无穷小分析》一书中最早提出。高等数学中著名的罗必塔法则就是他在这本书的第9章中记载并用来求解这两种形式的极限的。不过，罗必塔法则一词实际上是后人张冠李戴的误称，因为罗必塔在书中已经写明，这个法则是瑞士数学家约翰·伯努利在1694年3月17日写信告诉他的。不过，当初约翰·伯努利和罗必塔 等，直到1730年以后才用（19世都没有使用符号 ，而是用符号纪上半叶普遍使用） 。例如，出生在瑞士的法国数学家克莱默在1732年2月22日写给苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（1692—1770年）的信中就出现了这个符号。

此时，我们重温伽利略在1638年出版的名著《两门新科学的对话》中的一段话很有益：“无穷大和不可分元这两个概念超出了我们有限的认识。前者是因为它的巨大，后者是因为它的微小，想象一下这两者结合的情形吧。”毕竟，懂得“数学是上帝用来书写宇宙的文字”或“大自然这本书用数学的语言写成”的伽利略和大名鼎鼎的牛顿，还有在上述和达朗贝尔等人的争论中“表现优秀”的欧拉，都在这“两者”上栽过跟斗。

5．在无穷面前栽跟斗的牛顿和欧拉

牛顿栽跟斗的例子是他的无穷小量悖论。

牛顿在推导某些微积分公式的过程中，第一步用无穷小量作为分母进行除法运算（当然无穷小量不能为零，否则不能做分母）；第二步又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式。于是，爱尔兰哲学家贝克莱大主教在1734年出版的《分析学家：向异教徒的数学家的进言》一书中问：无穷小量究竟是“零”还是“非零”？这就是无穷小量悖论。此时已经在“天堂”的牛顿无法回答这个“人间”的问题，虽然他由此推出的公式是正确的。当然，即使此时牛顿在世，他也无法做出满意的回答。于是，一场激烈的争论爆发了，并由此引出了“第二次数学危机”……

由于“危机”没有在激烈的争论中消除，而微积分又亟需合适的基础，所以柏林科学院数学分部在1786年设奖征集无穷问题的最佳解答。“数学的功用，它所受到的尊敬，‘精确科学’这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰、证明的严密及定理的精确。”“征奖宣言”说，“为了确保知识体系中这一精致部分富有价值的优势，需要对所谓极限问题有一个清晰、精确的理论。”最后，虽然总共有 23篇应征论文，而且瑞士数学家鲁伊利尔获奖，但是“科学院认为我们的问题没有得到满意的答复”。

不过，在后世数学家特别是德国数学家魏尔斯特拉斯的努力下，在1860年（收入 1861年的《微分学》一书中）创立了“ε-δ”语言之后，无穷小量悖论才被彻底消除，微积分也就有了稳固的基础。

欧拉栽跟斗的例子是他的无穷分解。

对于恒等式x/（1-x）+x/（1+x）=0，欧拉对其中的每一项都进行所谓的无穷分解，从而得到…+1/x^2 +1/x+1+x+x^2 +…=0。但是我们知道，由于序列…+1/x^2 +1/x+1只有在︱x︱＞1时才收敛，而序列x+x^2 +…只有在︱x︱＜1时才收敛，所以把这两个序列简单“相加”没有意义。这样，他的“无穷分解”就是错误的。他这次栽跟斗的原因是，把无穷序列的值看成用该序列所表示的函数值。而现在我们都知道，只有在序列收敛的范围内才能进行无穷分解。

那么多著名数学家都在无穷面前栽过跟斗，这使我们在处理这类问题时，更应铭记出生在匈牙利的美国数学家波利亚的教诲：“抛下双锚，停靠稳当……（再问自己）你能一眼看到底吗？”

其实，问“你能一眼看到底吗”的波利亚也在无穷面前载过跟斗。活了98岁的他直到晚年才知道自己没能“一眼看到底”。

原来，波利亚在早年曾对2，3，…，10，…进行过素因子分解：2=2，3=3，4=2×2，5=5，6=2×3，7=7，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5，…。他发现前 n 个数中的第一类数（2，3，5，7，8，…）包含了奇数个素因子，其余的第二类数（4，6，9，10，…）包含了偶数个素因子。“可以看出”，在前n个数中，第一类数的个数不少于第二类数的个数；再继续往下，也是这样。于是，他在1919年发表的论文《数论的种种评论》中猜想，第一类数的个数不会少于50%：对于任意一个大于1的自然数n，从2到n的自然数中第一类数的个数不少于第二类数的个数。这就是著名的波利亚猜想。

波利亚猜想“看上去”顺理成章，每个第二类数都必然提前经历“有奇数个素因子”这一步“历练”。不过，虽然验证了所有小于250 000的数，波利亚猜想都成立，但是却一直没有得到严格证明。

1958年，英国数学家哈塞尔格洛夫证明，波利亚猜想存在无穷多个反例，从而推翻了这个猜想。不过，他并没有给出反例的具体例子，只是估计这个反例大约是1.845×10^361 。1960年，美国数学家莱曼在美国《计算数学》杂志第 14 卷第72期第311～320页上发表论文《关于刘维尔函数》，给出了一个确凿的反例n=906 180 359（此时第一类数的个数比第二类数的个数少1个），使波利亚猜想不再成立。而这个猜想的最小反例，直到1980年才被日本数学家田中稔发现，他就是n=906 150 257（此时第一类数的个数比第二类数的个数少1个）。也就是说，从2到906 150 256，波利亚猜想“看起来”都成立！

莱曼

像波利亚那样没能“一眼看到底”的另一个例子是梅尔滕斯猜想（以下简称梅猜想）。出生在波兰的奥地利数学家梅尔滕斯把没有重复因子的自然数称为 S类数；如果S类数中的因子个数是奇数，称为S-奇积数；因子个数是偶数时，称为 S-偶积数。他还把不大于n 的 S-奇积数与 S-偶积数之差用 M（n）表示，在1897年提出并在n＜10^4 的范围内验证了梅猜想 。类似但较弱的猜想，由出生在荷兰的法国数学家斯蒂尔吉斯在 1885年写给法国数学家埃尔米特与梅尔滕斯的信中谈到，没有公开发布。

在1897～1912年间，斯特内克验算了5×10^6 以内的n，梅猜想都成立，而且当n＞200时，还存在关系式M(n)≤0.5 。然而，在1960年，朱尔卡特却找到了当n＞200时的第一个反例： 43 946.076"。1979年，法国数学家亨利科恩与德莱斯验证到了n＜7.8×10^9 。1983年，波兰-美国数学家奥德里兹科与荷兰数学家里勒给出了彻底否定梅猜想的证明：有无穷多个n使得 。1985年，奥德里兹科还给出了 附近的一个巨大反例。

不过，被彻底否定的梅猜想余波未平。例如，在 1987年，匈牙利数学家亚诺什·平茨找到一个n＜10^65 的较小反例。奥德里兹科与里勒在1985年认为，在n＜10^20 内没有反例，这比当年梅尔滕斯估计的最小反例在n＜10^30 内又缩小了范围。又如，在2003年，荷兰数学家科特尼克与吕讷还验证到了n＜10^14 时梅猜想依然成立。

6．无穷的故事源远流长

关于无穷的传奇故事源远流长，一直持续到21世纪。

例如，美国科普、科幻作家和数学家皮科夫在2005年出版的《无穷大的钥匙》一书中就为这个“躺着的‘8’”宵衣旰食。

又如，英国生物数学家、科普作家史都华在2008年出版的图书《驯服无限：数学的故事》中，也为无穷殚精竭虑。这本书还谈到混沌理论，以及它如何影响与改变我们的社会和日常生活。而在20世纪盖莫夫写的《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》以及马奥尔写的《无穷之旅——关于无穷大的文化史》，也是数学爱好者眼中的“数学盛宴”。1992年，日本“谜题博士”、数学家仲田纪夫出版了《無限の不思議》一书，2001年中国大陆就以“无穷的奥秘及其演变”为书名出版了中文版。至于其他有关无穷的图书更是层出不穷。连皮科夫在1995年出版的《数学之恋：数字，拼图，疯狂，宗教，探求现实》一书，也在第六章“大数目和无限”中“顺手牵羊”地带上一笔。可以预料，关于无穷的论著和研究将一直连续下去，成为真正“无穷的故事”。

皮科夫

《无穷大的钥匙》

《数学之恋》

《不可思议的无穷》

《无穷的奥秘及其演变》

史都华

《驯服无限：数学的故事》

《无穷之旅——关于无穷大的文化史》1991年版

《无限大的秘密：突破科学与想象极限的「无限」简史》繁体版

7．无穷的故事还将是“无穷的故事”

“如果你从无限中移走或添加一部分，得到的还是无限。”这句很可能是最早谈到无穷大的话出现在古印度的手稿《夜柔吠陀》中。古印度的吠陀（veda），意思是“知识”，吠陀时期是指公元前2000～前1000年。《吠陀》即《吠陀经》，就是汇集这一时期祭祀知识、赞美诗等内容的手稿，也许是世界上最古老的手稿之一。《吠陀》分为四部分，其中第二部分就是《夜柔吠陀》。

这里的一个问题是，最早谈到无穷大的为什么很可能是古印度人？印度文化不害怕大数（印度佛教就使用过大数“1菩萨”=1037 218 383 881 977 644 441 306 597 687 849 648 128 ），是因为他们见惯了几千米的高山拔地而起与几千米宽的大河奔泻千里的景象吗？为什么他们有热情去努力构造最短的词组来表示那些巨大而友善的数字呢？古印度人会这样议论一位语法学家：如果某一语法规则的表述能省掉半个音节，他会像得了儿子那么高兴。对于古印度人而言，声音是神圣的，一个音节可以容纳无穷大：最小化的语词与庞大的数字并行不悖！

形象雕塑：符号∞

从《夜柔吠陀》算起，无穷的故事持续到21世纪已经有几千年，但还远远没有结尾。没有结尾的故事之一是无穷有多少种？

我们知道，无穷小分为高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小以及等价无穷小。类似，无穷大也分为几种。这里的问题是难道无穷大还要分大小吗？

是的，无穷大也要分大小。例如，假设有人声称自己找到了一个包含所有数的、有无穷多个数的数表 A，那么我们依然能找到 A 之外的数 B。A 之外的数的实例之一是，B 的首位小数与 A 中第一个数的首位小数不同，B 的第二位小数与A中第二个数的第二位小数不同，B的第三位小数与A中第三个数的第三位小数不同，依此类推。由此可见，“A加上B”这个无穷多比A中的无穷多还要多出一个数。

无穷大的开头三级

无穷算数的奠基人、德国数学家康托尔继在1873年证明实数集大于自然数集之后，又在 1893年用希伯莱文（共有 22 个字母，其中词尾发生形状变化的有5个）的第一个字母“אּ”（读音为“阿莱夫”）作为无穷大的符号。他还用这个符号对各种不同等级的无穷大建立了一个完整的序列——阿莱夫谱系。阿莱夫谱系是：אּ又分为אּ0 （第一级无穷大，表示全体整数的数目等），אּ1 （第二级无穷大，表示全体几何点的数目等），אּ2 （第三级无穷大，表示全体曲线的数目等），等等。可是，对于阿莱夫谱系中的אּ3 （第四级无穷大），至今还不知道用什么数目来表示。于是，美国数学家弗洛因德于1956年在纽约出版的《现代数学引论》中说：“看来，当我们与无限集合打交道的时候，我们的想象力还不允许我们算到אּ3 以上。”那么，有אּ3 或更大级别的无穷大吗？进一步问，无穷大“最终”会有多少级？

康托尔证明实数集大于自然数集，不但意味着无理数远多于有理数，而且意味着显然庞大的代数数与超越数相比也不过是“沧海一粟”。这像有人描绘的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星，而浩瀚无垠的夜空则由超越数构成。”更“不可思议”的是，在康托尔得出这一结论的1873年之前，人们知道的超越数仅有刘维尔在1844年创建的刘维尔数与1873年证明的e这两个（类）而已。于是，有人感叹，“无理数远多于有理数”是何等令人震惊的结果！

由上述可见，至今我们还没有完全理解和“驯服”无穷。那么，无穷能被理解和“驯服”吗？等待着我们的回答。

“无穷大！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。”面对深不可测和炫目的无穷，面对前人栽过无数跟斗的无穷，面对数学家们“欲罢不能”的无穷，德国数学家希尔伯特曾直抒胸臆，“然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清的了。”20世纪美国抽象派雕塑家里维拉被无穷“深刻地打动”之后，就“不务正业”地设计了名为“无穷大”的雕塑。这座位于华盛顿美国国家历史博物馆南大门口的雕塑（如下图所示）耗资104 520美元，于1967年3月28日由另一位美国抽象派雕塑家格索夫建成，它以黑色花岗岩为基座，顶部的抛光不锈钢圈（整体所占空间轮廓尺寸约为 4.11 米×2.44 米×4.88 米）以每 6 分钟 1圈的速度旋转。

无穷大雕塑

有人还制作了“∞戒指”，借以象征永恒。而20世纪中期美国最著名的诗人之一罗特克，则在诗集《远方的田野》中为这种象征赋予了诗意：“一切有限的东西都揭示了无穷。”

最后，我们用英国诗人、画家布莱克描绘无穷的浪漫诗歌《天真的预言》来结束这一节：“沙粒见世界/天堂野花中/时辰即永恒/掌上有无穷。”

“∞戒指”

8.4 不考虑它们的收敛——交错级数的悖论

1．1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…=？

在这里，我们研究交错级数 中的

正确答案是ln2，由意大利数学家、牧师蒙哥利在1647年最早证明。英国数学家布龙克尔最早通过其中的多项求和，从而得到 0.693 147 09。而 ln2 的准确值是0.693 147 180…。

看，e又“莫名其妙”地出现了！但是，这个ln2却来之不易。

这里顺便指出，本书多次用到的ln2=0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458…有一个专门的名称——（自然）对数常数。而快速计算ln2也是数学家们兴致盎然的课题之一。例如，它可以通过下面的快速收敛系列之一获得：

ln2=18arcth（1/26）-2arcth（1/4801）+8arcth（1/8749）

ln2=72arcth（1/127）+54arcth（1/449）+34arcth（1/4801）-10 arcth（1/8749）

ln2=144arcth（1/251）+54arcth（1/449）-38arcth（1/4801）+62 arcth（1/8749）其中arcth是反正切双曲函数，th是正切双曲函数tanh的简写。

在1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…=ln2两边乘以1/2，就得到：

现在，把1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…=ln2和式（8.2）两边分别相加，就

得到：

这时可以看到式（8.3）的左边和式（8.1）的左边完全一样，只不过排列顺序不同而已。然而，式（8.3）右边的值却是式（8.1）的值的3/2倍。这样，我们就“证明”了3（ln2）/2=ln2，即3/2=1。

怎么会有3/2=1的结果呢？显然，这又是一个悖论——无穷和悖论。

对此，德国-美国数学家柯朗在他的微积分学论文中写道：“很容易想象出，这种明显的悖论的发现对 18 世纪的数学家带来什么样的影响，他们习惯于运算无穷级数而不考虑它们的收敛。”

出现这种悖论现象的原因是：级数1−1/2+1/3−1/4+…之所以收敛，只是因为它的项有交错变化的正负号，因此可以部分地相互“补偿”。但是如果我们取这些项的绝对值的时候，将会得到发散的调和级数。

柯朗

这是两类收敛级数之间的一个主要区别：对于绝对收敛级数，其收敛过程与各项的正负号无关，而对于条件收敛级数，其收敛仅仅是因为各项的正负号交错变化。

前一类级数代表了收敛的较强类型，在这里之所以发生收敛是因为它的项自身可足够快地逼近零。

微积分学已经证明，如果级数 满足条件 an ≥an +1 与 ，那么这个级数收敛。这就是著名的莱布尼茨判别法。

微积分学还证明，只有在绝对收敛级数中，各项的任意重排才不影响它的和。这就是5.7节中提到的狄利克雷定理——不同于5.6节中提到的那个狄利克雷定理。

我们在这里再一次体会到，对有限计算总是有效的普通算术规则在牵涉无穷大的时候“一不小心”就可能失灵。难怪，古希腊人会“害怕无穷大”，因为“无穷大是人类大脑无法领会的那个没有边际的维度”。

2．“S=1−1+1−1+1-…=？”和它的“兄弟”们

如果按照 S=1−（1−1）−（1−1）−…来分组计算，就得到S=1。

如果按照S=（1−1）+（1−1）+…来分组计算，则得到S=0。

格兰迪

而意大利数学家格兰迪则在1731年写的《圆和双曲线求积法》对这两个“走极端”的解都不满意。他为此辩解说，得到 S=1 和 S=0 的可能性是相等的，所以另一个正确的答案是两者的算术平均值：S=（1+0）/2=1/2。他还用一个现实生活中的例子分别来说明S=1/2和S=0的“正确性”：一方面，两个儿子继承父亲的一块宝石，他们轮流保存这块宝石 1年，于是他们各拥有宝石的一半；另一方面，（1−1）+（1−1）+…=0，所以世界确实是从空无一物中创造出来的。

欧拉得到1/2的方法如下。他在得到等式1+x+x^2 +x^3 +…=1/（1-x）之后，设其中的x为-1，于是就有S=1−1+1−1+1-…=1/2。

当然，另外有多种方法也可以得到S=1/2。例如，一种方法是把1−1+1−1+…看作是首项为1，公比为−1的无穷等比级数，就得到S=1/[1-（-1）]=1/2。另一种方法是S=1−（1−1+1−1+…）=1−S，即S=1−S，从而得到S=1/2。

此外，莱布尼兹、雅格布·伯努利、约翰·伯努利、拉格朗日、泊松也算出或接受S=1/2的观点。

有趣的是，在欧拉得到错误的结果S=1/2的30多年之后，法国数学家卡莱采用了类似欧拉的方法，却得到了不同的结果：S=m/n，这里m和n都是任意自然数，m＞n。

这个著名的“求S”问题在捷克数学家波尔查诺写的《无穷大悖论》中有记载，所以被称为波尔查诺悖论。这本他去世前18天才写成的著名的小书，在他死后3年即1851年才在朋友的努力下出版。遗憾的是，他的大作在许多年后才受到人们的重视。但是，德国数学家康托尔在《集合论》一书中依然称赞他是“集合论的开路先锋”。

波尔查诺

那么，S 究竟是等于1、0 还是等于1/2、m/n 呢？当时，包括像欧拉、傅里叶这样的大数学家们都迷惑不解，愁苦忧虑了许多年。

直到19世纪下半叶，康托尔为“无穷大算术”奠基之后，这个问题才被彻底解决。正确的答案是，这种“无穷和”的运算不能像我们经常用的“有限和”那样搞“拉郎配”来随便“结合”或者“交换”，“无穷数学”中没有“结合律”和“交换律”。

近现代数学可以证明，S是发散的，即这个“和”根本就不存在。

“求S”的一个“兄弟”是，求M=1−2+4−8+16−32+64−…=？

按照M=1+（−2+4）+（−8+16）+（−32+64）+…这样来配对，M=1+2+8+32+…=∞。

按照M=（1−2）+（4−8）+（16−32）+…这样来配对，M=−1−4−16−…=−∞。

再按照M=（1+4+16+…）−（2+8+32+…）来算，M=∞−∞=0。

最后，按照M=1−2（1−2+4−8+16−…）=1−2M来算，M=1/3。

由于我们错误使用“结合律”来“包办婚姻”，竟得到4种不同的结果！不过，相信你能从前面的S问题得到“M=？”的正确答案。

“求 S”的另一个“兄弟”是，错误使用“结合律”来求 +"=？

第一种错误的算法是：

第二种错误的算法是：

不过，对于这些今天看起来似乎还是正确的但实际上是错误的计算，我们并不能找到确定无疑的证明，使所有的人都心悦诚服。因为正如达·芬奇所说：“有样东西不能证明自己，而且一旦它能够证明自己，它就不复存在。这个东西是什么？它就是无穷大！”

那么，正确的算法是什么呢？

我们也许能从求另一个级数 的和得到启发。1650年，意大利数学 家蒙哥利在求 ，于是得到时，注意到 当n→∞时 。

对于经常把我们引入歧途的无穷大，美国诗人、教育家朗费罗却写诗赞美：

在天堂的无限大地中，

静静地开放着，

一颗又一颗可爱的小星星，

它们是天使的勿忘草。

8.5 是整数吗——加德纳的愚人节玩笑

“三个无理数一台戏”——e、π两个超越数和一个一般的无理数 “能够”联合形成一个整数，这似乎太令人惊异了！

事实上，印度数学家拉马努金计算出 640 768 743.999 999…（小数点后有6位都是9），所以拉马努金推测 是个整数。后来，这个数被称为拉马努金常数。

事实果真如此吗？拉马努金之后半个世纪过去了，没有人能得出正确的答案。

1972年，人们用电子计算机计算，居然“得到”小数后200 万位都是 9 的结果。但是，它要是一个整数，人们必须证明其中的9应该“无限循环”。最后，美国亚利桑那大学的布里洛“证明”了这个数等于262 537 412 640 768 744。他真的证明了吗？

拉马努金

事实上，这个数并不是一个整数，而是和262 537 412 640 768 744仅相差大约10-12的数262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 862 707 537 410 378 210 647 910 118 607 312 951 181 346 186 064 504 193 083 887 949 753 864 044 905 728 714 477 196 814 852 322 432 039 116 478 291 488 642 282 720 131 178 317 065 010 452 226 878 01…。由此可见，这个“冒牌整数”的小数点之后第13位就“原形毕露”而不是9了，而前述1972年“小数后 200 万位都是 9”的计算有误。这个数字是如此著名，甚至法国著名数论专家瓦尔德施密特在2001年11月17日发表的论文《椭圆曲线和复杂的乘法》中还专门谈到它。此外，用盖尔丰德-施奈德定理可以证明，它是一个超越数。施奈德是一位德国数学家。

其实，说 是262 537 412 640 768 744，只是西方愚人节（每年4月1日）的一个数学玩笑。这个玩笑刊登在1975年4月出版的《科学美国人》月刊上。它的作者就是大名鼎鼎的美国数学家、科普作家马丁·加德纳。

不过，我们没有理由说拉马努金和1975年的那些“愚人们”不认识“冒牌整数” ，因为即使是在今天，对于小数点之后25位都相同（都是7.381 175 940 895 657 970 987 266 9）的（ ）与（ ）这两个数，要说清楚它们是完全相等或者是近似相等，都还颇费周折呢！这类“不可思议的巧合”或者“必然相等”的问题，今天还有人研究。

其实，像 这样的例子还不少，有时还不大容易看出来。例如，eπ -π=19.999…=20，sin（11）=-0.999 99…=-1，cos[ln（π+20）]=-0.999 999 999…=-1，就是其中的3个。其实，这3个数分别等于19.999 099 979…，-0.999 990 206 55…，-0.999 999 999 243 68…。

那么，被誉为神奇数学家的拉马努金为什么计算时没有“算到底”就推测 是整数呢？原来，他手中没有有效工具，当时还没有电子计算机，他是凭“有6位小数都是9”的直觉得出这一结论的。由此可见，直觉有时并不可靠。

说到直觉有时并不可靠，这里有一些让人目瞪口呆的实例。如下图所示，各有两条边长分别是17和25，但第三边不同（分别是26和28）的两个三角形，问它们的内切圆大小是否相同？如果凭有一边长为28的那个“大”三角形肯定“包含”有一边长为26的那个“小”三角形的直觉回答不相同的话，那就错了！算出各自的周长之半p（分别是34和35）后，用公式 （r是三角形的内切圆半径，a，b，c 是三角形的 3 条边）分别计算各自的内切圆半径： 。可以看出，这两个只有一边不同的三角形的内接圆大小竟然相同！

左：“不好意思，我的一边虽然比你（右）小2，但内接圆一样大”

其实，上述回答“不相同”所凭的“直觉”并不是正确的直觉。按下页中的图那样，把这两个三角形长度都是17的那一边重叠在一起，就会立即发现，有一边长为28的那个“大”三角形盖不住有一边长为26的那个“小”三角形！

这样的“三角形对”并非绝无仅有，边长分别为（97，169，122）和（97，169，228）的两个三角形是“更加惊人”的另一对（内切圆半径都是30）。它们之所以“更加惊人”，是由于前面的26和28“近在咫尺”，而122与228则“远隔天涯”！

事实上，上面这样有两边对应相等，只有第三边不等，但内切圆相等的两个三角形有无穷多对。能为某个定圆（例如半径为3的圆）画出无穷多个外切三角形的事实，就可以验证这个结论。只不过这些三角形的边长与内切圆半径都不一定是整数罢了。

我们在 5.6 节中已经说过，163 也是一个有趣的数字。一元二次方程n^2 -n+41=0或n^2 +n+41=0的求根公式的判别式Δ=1^2 -4×1×41=-163。而n^2 -n+41或n^2 +n+41则分别是欧拉和勒让德的“素数公式”。

一边长为28的“大”三角形盖不住“小”三角形

163还是一个有深刻内涵的数。1905年，拉比诺维茨证明：n^2 -n+（1+d）/4在n=1，2，…，（d-3）/4（d是除以4之后余数是3的自然数）时为素数与二次域 唯一分解域等价。而具有这种性质的最大的d值为163。此时，（1+d）/4=（1+163）/4=41，恰好在上述欧拉和勒让德的“素数公式”中！

163还是特朗斯特罗姆的幸运数。2011年，这位瑞典诗人独享诺贝尔文学奖，巧合的是，他从1954年出版第一部诗集《17首诗》，到2011年正好总共发表了163首诗。这些诗被译为50多种文字，让全世界的诗歌爱好者们奉为圭臬，捧读再三。

虽然 不是一个整数，也不可能用它或其他有限多个整数来表示准确π值或e值，但人们还是发现了多种趣味近似表示。例如，得到4位近似值π≈2^9 /163≈3.141和3位近似值e≈163/（3×4×5）≈2.71。此外，用163，π，e还可得到近似整数：163（π-e）=68.999 664…≈69。用 163 和 e 得到近似整数：163/ln163=31.999 998 738…≈32。

说到近似表示 e，就有一种用两个整数来表示 4 位近似 e 值的有趣方法：878/323（=2.718 266…）。这是用两个小于1000的整数所能得到的最接近准确 e值的方法，相对误差小于6×10-6 。它的趣味之处在于：不但其中的2和8为互补数，3和7为互补数，形成一种美妙的“分子和分母对称”，而且分子878和分母323 分别“自身对称”。878/323 还很好记忆——这让人联想到也很好记忆的 π≈113/355。当然，前10位准确e值也很好记忆：2.718 281 828…——2.7之后是“两个”1828，但千万别认为 e 值中有“1828”的循环节！对于878/323 和 113/355这两个奇妙的分数，我们想起了英国生物学家达尔文的话：“我们认识自然界的固有规律越多，这种奇妙对我们来说就更加不可思议。”

这个很好记忆的1828，对于熟悉美国历史的人来说，更是“从来不需要想起”的——安德鲁·杰克森就是在1828年当选美国总统的（1829—1837年在任）。于是，“对于那些熟悉美国历史的人来说，可以把e的前10位数字记忆为‘2.7安德鲁·杰克森’或者‘e=2.718 281 828’。”美籍匈牙利裔理论物理学家爱德华·泰勒、美国计算机科学家温迪·泰勒和美国应用科学家塔利合写了《物理夜话》一书。该书在第 81 页的一段注脚说：“从另一方面看，对于数学掌握得比较好的人来说，这也是一种记忆美国历史的好方法。”其中“可以把e的前10位数字记忆为‘2.7安德鲁·杰克森’”这句话，在美国数学家西蒙斯于1985年在纽约出版的《积分与解析几何》一书以及其他资料中也可以看到。

《物理夜话》

“离奇”的巧合是，安德鲁·杰克森的妻子雷切尔·多纳尔森·罗巴兹·杰克森也在1828年辞世；更“离奇”的巧合是，夫妇俩都生于1767年！

当然，如果你是俄罗斯人、法国人或挪威人，就会分别想起列夫·尼古拉维奇·托尔斯泰、车尔尼雪夫斯基、凡尔纳、易卜生的出生年份。如果你是奥地利人，就会说出舒伯特在哪一年辞世。这是因为他们都和“相同”的数字1828结缘。

此外，埃尔米特在证明 e 是超越数的后续工作中，还选了两个相同的整数分母（都是21 444）和整数分子构成了近似e值：e=58 291/21 444和e^2 =158 452/21 444。这两个e值分别为2.718 289 498…和2.718 291 101…，与准确e值的相对误差分别小于3×10-6 和4×10-6 （比用878/323表示e值更为精确）。

8.6 “准确”与“奇怪”——e的有趣谜团

1．“准确”表达π和e间简洁的实数关系式

在5.2节中，我们提到了π^4 +π^5 ≈e^6 ，拉马努金的两个π和e之间关系的式，以及本书中提到的其他π和e之间的关系式。现在要问：π和e有没有类似π^4 +π^5 ≈e^6 这种只包含实数的简洁的关系式？

有的。2ln2+2ln3+lnπ≈5（或2ln6+lnπ≈5）就是其中一个。

但是，人们并不止步于此，还想找到不是“近似”而是“准确”的π和e间简洁的实数关系式。那么，有这样的式子吗？

有的。中国《高等数学研究》杂志2009年第6期发表了中国学者陈文伟的论文《论新常数 μ、θ 和新公式 》，提出了新公式 ，式中新常数θ=1+γ+2μ=1.837 877 066 409 345 483 560 65…（其中γ=0.577…为欧拉常数；μ=0.130 330 700 753 906 311 477 07…，由 定义）。由此得知，陈文伟发现的π和e间简洁的实数关系是e=θ 2π。

那么，还有像e= 这样的准确简洁关系式吗？

2．“奇怪”的顺序颠倒

17世纪初，开普勒计算了行星的轨道。伽利略发明了望远镜后，研究星系十分火热。这就有必要处理过去一般人很少涉足的大数。

庞大数字的乘、除、乘方、开方等运算十分繁难，让不少人把大量宝贵的时间和精力都花在这里面。怎样才能简化计算的手续，把科学家从繁难的运算中解放出来呢？这成了当时一个迫切需要解决的问题。由于这种客观需要的推动，对数诞生了。

然而，奇怪的事实是当时欧洲的代数学还十分落后，连指数、底数这些概念都还没有建立，所以，无论是纳皮尔还是比尔吉都没有“底”这一概念。显然，他们都不是从 ax =N 这个关系出发来创立对数的。事实上，纳皮尔和比尔吉分别是从几何的运动角度和代数的级数对应角度各自创立对数的。

可以看出，对数的发明与概念的逻辑推演顺序相反。

对数的诞生竟比指数、底数还早，显然“不合逻辑”。这不能不说是数学史上的一大怪事。

伊夫斯及《数学史上的里程碑》中文译本

怪不得伊夫斯在《数学史上的里程碑》中说：“对数的发现早于指数的应用这个事实，是数学史上的反常现象之一。”

“对数的发明就像是一个晴天霹雳来到世界上。前人的任何工作都没能导致这项发明，没有任何东西预见到它或预示它的到达。”也怪不得英国默尔顿男爵有感于此，他在《纳皮尔300年纪念文集》的序言第3页中说。“这项发明是孤立的，它没有借助其他智力工作，也没有遵循原有的数学思想路线，就突然闯到人类思想中来了。”这些话是默尔顿于1914年在爱丁堡举行的对数发明（注意：不是常用对数表的发明）300年庆典上的致辞。而在同年举办的纳皮尔发明对数300年成就展览会上，英国数学家吉布森也对这项发明大加赞赏：“对数的发明是科学史上具有划时代意义的标志。”

其实，像对数那样“不合逻辑”的还有概率论中的数学期望这个概念。

在现代概率论中，概率是基本概念，数学期望是第二级概念。然而，在数学史上，顺序却正好相反，先有“期望”概念，而古典概率的定义则完全可以从“期望”中推导出来。事实正是如此，惠更斯在1657年的论文《论赌博中的计算》里首先提出了数学期望这一概念，古典概率论才由此诞生。

3．“逻辑怪胎”的启示

“人不是只有一个中心的圆，而是有两个焦点的椭圆，一个是事实，一个是理念。”从“对数先于指数”的事实以及这个事实不符合“对数源于指数”的理念来看，法国作家雨果在《悲惨世界》一书中的这句话是何等精辟！由此，我们要注意“逻辑有时会生出怪胎”。这是第一个启示，提醒我们必须“用事实说话”而不能囿于理念。

费马从方程出发研究它的轨迹，发明了解析几何；笛卡儿从轨迹出发研究它的方程，也独立发明了解析几何。从指数可以导出对数，通过纳皮尔、比尔吉那样的途径也可得到对数。虽然解析几何并不是逻辑怪胎，但这些事实还是会给我们第二个启示：条条大路通罗马，提醒我们在解决问题时不妨从多个角度和途径思考。这里引出的问题是：在数学发展中，是否存在类似生物进化论那样的规律，以及如何应用这些规律去做出更多的数学发现？匈牙利-美国数学家波利亚的答案是：类比、联想和似然推理。

波利亚

而中国陈文伟等3位学者于2011年在中国《智能系统学报》杂志第5期上发表的论文《数学进化中的知识发现方法》，则总结了“创造法”“包容法”“形式变换法”“等价变换法”和“进化变换法”这5种方法，对上述问题进行了有益的探索。创造法主要表现在数字、数学符号、图形等方面。包容法主要体现在数的进化和几何的进化中，包容了相互矛盾的对立面，如正数与负数、实数与虚数、欧氏几何与非欧几何等。形式变换法是用各种数学符号组成的表达式和方程进行描述和推演的。等价变换法是从已知推出未知，每推导一步都是在进行等价变换。进化变换法包括对变量的变换形成了函数，对函数的变换催生了微分和积分等。

第三个重要启示是：科学发现或技术发明有时应抛弃循规蹈矩的先后秩序，而要打破逻辑的藩篱，才能有所作为。各种各样的逆向思维就是其中的名例。

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编委会

前言

第1章 激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿

1.1 从第一级到第三级——数学运算步步高

1.2 “在离天很近的地方”——斯蒂费尔的遗憾

1.3 教授与贵族——激情相约爱丁堡

1.4 汗水、智慧加机遇——纳皮尔发明对数

1.5 科学更有力量——天才的遗憾

1.6 承伟业自有来人——从布里格斯到弗拉格

1.7 并非风景这边独好——“杀鸡杀喉”比尔吉

1.8 天文学家延寿一倍——拉普拉斯这样说

1.9 “迟到的爱”——对数在中国

第2章 无处不在的对数——“天地英雄”大显神通

2.1 吹拉弹唱也要讲数学——音乐中的对数

2.2 从希帕恰斯到普森——星星亮度的“对数尺”

2.3 借得贝尔寻规律——噪声的“对数尺”

2.4 里克特的尺子——地震中的对数

2.5 科学家笔下的曲线——实用的对数图

第3章 奇趣就在对数中——从“乌龙”到海难

3.1 2>3——欧拉时代的人自摆乌龙

3.2 对数的奇迹——速算大师、麦粒与金盘

3.3 狄拉克也会疏忽——3个2的奇趣

3.4 错误对数表惹祸——海难、蜜蜂和数学家

第4章 对数的华丽转身——“常用”和“自然”

4.1 以2为底的对数——神通广大，应用广泛

4.2 常用对数——爱你没商量

4.3 自然对数——不只是大自然的选择

4.4 e的又一用武之地——编造对数表

第5章 “王宫”中的漫游——数学殿堂中的e

5.1 关系你的钱包——无处不在复利律

5.2 数学珍宝——e和π的一家亲

5.3 弟弟帮哥哥——e为π开路立功

5.4 e连横合纵之后——3种“桃园三结义”

5.5 定义和纽带——对数积分和指数积分中的e

5.6 悄悄走近数学王子——素数研究中的e

5.7 从麦齐里阿克到陈景润——华林-哥德巴赫猜想中的e

5.8 吉利斯猜想——梅森素数个数中的e

5.9 自然数“切蛋糕”——整数分拆也要e

5.10 对数正态分布——概率计算中的e

5.11 数学的诗歌——三角级数中暗藏的e

5.12 从达·芬奇到伯努利——悬在空中的e

5.13 数学也要轻装上阵——e与微积分

5.14 e书荟萃

第6章 大众情人——走出王宫的e

6.1 物理学的宠儿——从大力士到衰变时钟

6.2 走进化学世界——反应速度和焓变

6.3 生物学和医学——增殖中的e奥秘

6.4 何时牵手“另一半”——相亲中的e

第7章 掀起你的盖头来——e的质和量

7.1 e的性质——从无理数到超越数

7.2 e的定义和符号——是“贵人”也是“打工仔”

7.3 计算e值——从欧拉到亚历山大·伊

第8章 妙趣横生的e——数学界的快乐天使

8.1 数学家的魔术——e的8类表达式

8.2 乘积最大和开方最大——这里e也显神通

8.3 神秘的∞——争论、思考和余味

8.4 不考虑它们的收敛——交错级数的悖论

8.5 〓是整数吗——加德纳的愚人节玩笑

8.6 “准确”与“奇怪”——e的有趣谜团